1、2011年高考数学抢分必备专题六 立体几何【选题理由】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考的热点内容。该部分新增加了三视图，对三视图的考查应引起格外的注意。立体几何在高考解答题中，常以空间几何体（柱，锥，台）为背景，考查几何元素之间的位置关系。另外还应注意非标准图形的识别、三视图的运用、图形的翻折、求体积时的割补思想等，以及把运动的思想引进立体几何。最近几年综合分析全国及各省高考真题，立体几何开放题是高考命题的一个重要方向，开放题更能全面的考查学生综合分析问题的能力。考查内容一般有以下几块内容：1、平行：包括线线平行，线面平行，面面平行；2、垂直：包括线线垂直，线面垂直，面面垂直；3、角度
2、：包括线线（主要是异面直线）所成的角，线面所成的角，面面所成的角；4、求距离或体积；高考中的立体几何题的解法通常一题多解，同一试题的解题途径和方法中常常潜藏着极其巧妙的解法，尤其是空间向量这一工具性的作用体现的更为明显。因此，这就要求考生通过“周密分析、明细推理、准确计算、猜测探求”等具有创造性思维活动来选择其最佳解法以节约做题时间，从而适应最新高考要求。立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分偏底的题型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空间思维网络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定会突破解答立几考题的道道难关.【押题1】在多面体中，点是矩形的对角线的交点，三角形是
3、等边三角形，棱且（）证明：平面； （）设，求与平面所成角的正弦值。|【押题指数】【解析】（）取CD中点M，连结OM1分在矩形ABCD中，又，则，3分连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形5分又平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE 6分 （）连结FM，由（）和已知条件，在等边CDE中，BACDOEFMG 且，又因此平行四边形EFOM为菱形，8分过作于，平面，因此平面所以为与底面所成角10分在中， 则为正三角形。点到平面的距离为，12分所以即与平面所成角的正弦值为。14分【方法与技巧】转化转化平行问题的转化：面面平行线面平行线线平行；【押题2】已知为平行四边形，是长方形，是的中点，平面平
4、面，（）求证：；（）求直线与平面所成角的正切值【押题3】在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=BC=1，侧棱AA1=，M，N分别为棱AA1、BC的中点，点P在边A1B1上，且A1P=2PB1。 （1）求证：MNAP；（2）求二面角MANP的正切值。【押题指数】【解析】（1）证明：过点N作NHAB于H，连结MN。ABCA1B1C1为直三棱柱，且NHAB，NH面ABB1A1，MH为MN在面ABB1A1内的射影，且AH=由三垂线定理知MNAP。 6分 （2）取B1C1的中点D，连结DN、DA1过点P作PFAD于E，过E作EFAN于F，连结PF，由三垂线定理知：PFE为二面角MANP的平
5、面角。故二面角MANP的正切值为12分【方法与技巧】 垂直转化转化问题的转化：面面垂直线面垂直线线垂直；证明线线垂直方法有两类：一是通过三垂线定理或逆定理证明，二是通过线面垂直来证明线线垂直；异面直线所成的角的计算异面直线所成角的方法 （1）平移法（2）补形法【押题4】如图，在矩形中，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面 （）求证：； （）求二面角的大小 【押题指数】【解析】如图所示， （）证明：因为，所以，即，2分取的中点，连结，则， 又平面平面，可得平面，即得，5分从而平面，故 7分（）如图建立空间直角坐标系，则、，从而，。9分来设为平面的法向量，则可以取 11分设为平面的法向量
6、，则可以取 13分因此，有，即平面平面，故二面角的大小为。14分【方法与技巧】直线和平面平行（垂直）的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用证线面平行（垂直）往往转化为证线线平行（垂直），而证线线平行（垂直）又将转化为证线面平行（垂直）在应用线面平行（垂直）的判定与性质定理时，要注意认清条件，另外这两个定理在证题时往往需要在交替使用，但要注意这种交替不是循环，而是步步向前推进的由已知想性质定理，由结论想判定定理 【押题5】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC=90，AB=BC=2，AA1=4，M、N分别为CC1、A1C2的中点。 （I）求证：AM平面B1MN；（II）求二面角MAB1A
7、1的大小。【押题指数】解法二：（I）分别以BA、BB1、BC为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Bxyz，AM平面B1MN 5分（II）为面A1AB1的法向量。设面MAB1的法向量为 11分故二面角MAB1A1的大小为12分【方法与技巧】本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。折叠问题一直以来是立体几何解答题中的热门问题，这类问题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面考查空间点线面关系的推理能力，解决这类
8、问题时，要注意到折叠前与折叠后空间关系与空间量的变化情况，一般来说，在拆线的同一侧，空间关系与空间量是没有变化的，在拆线的异侧，空间关系与空间量是可能变化的.【押题6】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABC=BAD=90，为AB中点，F为PC中点. （I）求证：PEBC；（II）求二面角CPEA的余弦值；（III）若四棱锥PABCD的体积为4，求AF的长.【押题指数】【解析】（I）PABCBC平面PAB又E是AB中点，平面PABBCPE.6分（II）建立直角坐标系则B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），由（I）知，BC平面PAE，是平面PA
9、E的法向量.设平面PEC的法向量为则二面角CPEA的余弦值为10分 （III）连结BC，设AB=a，是直角三角形，14分【方法与技巧】立体几何的内容就是空间的判断、推理、证明、角度和距离、面积与体积的计算，这是立体几何的重点内容,本题实质上求解角度和距离,在求此类问题中,尽量要将这些量处于三角形中,最好是直角三角形,这样计算起来,比较简单,此外用向量也是一种比较好的方法,不过建系一定要恰当,这样坐标才比较好写出来. 求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法 【押题7】已知在四边形ABCD中,AD=DC=2,AB=4
10、,BC=2,沿AC折叠,使D在底面ABC上的射影P在边AB的高线上. (1) 设E为AC中点,求证: ;(2)求BD与平面ABC的所成角的正切值.【押题指数】【解析】(1):注:考生用坐标法求解,可酌情给分.【方法与技巧】本题通过对折叠问题处理考查空间直线与直线的位置关系，在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键。通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象能力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。折叠问题一直以来是立体几何解答题中的热门问题，这类问题一方面考查学生的空间想象能力，另一方面考查空间点线面关系的推理能力，解决这类问题时，要注意到折
11、叠前与折叠后空间关系与空间量的变化情况，一般来说，在拆线的同一侧，空间关系与空间量是没有变化的，在拆线的异侧，空间关系与空间量是可能变化的.【押题8】如图，已知是正三棱柱，D是AC中点，。（I）证明（II）求异面直线所成的角（III）求以为棱，与为面的二面角的度数。【押题指数】【解析】（）A1B1C1-ABC是正三棱柱，四边形B1BCC1是矩形连结B1C交BC1于E，则B1E=EC 连结DE，在AB1C中， AD=DC，DEAB1， 又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，AB1平面DBC14分（）设D1是A1C1的中点，则DD1平面ABC所以，以DB为x轴，DC为y轴，DD1为z轴（如图）建
12、立空间直角坐标系设AB=2，则，即，AB1与BC1所成的角为908分（）BC的中点，可取平面CBC1的法向量为设平面BC1D的法向量为，则 可取，面DBC1与面CBC1所成的二面角为4512分【方法与技巧】棱柱是几何中的重要载体，在学习中除了牢固的把棱柱的有关概念和性质，面积公式掌握好之个，还要灵活地运用有关知识进行位置关系的判断和论证进而达到计算的目的.【押题9】如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为菱形，平面AA1C1C平面ABCD （1）证明：BDAA1；（2）证明：平面AB1C/平面DA1C1（3）在直线CC1上是否存在点P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置
13、；若不存在，说明理由【押题指数】【解析】连BD， 面ABCD为菱形，BDAC2分由于平面AA1C1C平面ABCD，则BD平面AA1C1C 故： BDAA14分连AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性质知AB1/DC1，AD/B1C，AB1B1C=B1,A1DDC1=D6分由面面平行的判定定理知：平面AB1C/平面DA1C18分存在这样的点P9分因为A1B1ABDC，四边形A1B1CD为平行四边形A1D/B1C在C1C的延长线上取点P，使C1C=CP，连接BP，10分因B1BCC1，BB1CP，四边形BB1CP为平行四边形则BP/B1C，BP/A1DBP/平面DA1C112分【方法
14、与技巧】直线和平面平行（垂直）的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用证线面平行（垂直）往往转化为证线线平行（垂直），而证线线平行（垂直）又将转化为证线面平行（垂直）在应用线面平行（垂直）的判定与性质定理时，要注意认清条件，另外这两个定理在证题时往往需要在交替使用，但要注意这种交替不是循环，而是步步向前推进的由已知想性质定理，由结论想判定定理 【押题10】如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 ，侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.()求该几何体的体积；()求二面角的余弦值.，显然二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为.12分【方法与技巧
15、】作出二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确地作出应当有严格的逻辑推理作为基石.【押题11】 如图在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E。（1）求证：DEPC； （2）当PA/平面EDB时，求二面角EBDC的正切值。【押题指数】【解析】（1）证明：平面DEF1分又平面ABCD又从而DE平面PBC 5分（2）连AC交BD于O，连EO由PA/平面EDB及平面EDB平面PAC于EO知PA/EO6分是正方形ABCD的对角线AC的中点为PC的中点又设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG/CO交BD于G，则HGDB，EH/P
16、D平面CDB。由三垂线定理知EGBD故为二面角EBDC的一个平面角。9分易求得二面角EBDC的正切值为12分【方法与技巧】作出二面角的平面角常用方法是作平面的垂线,然后过垂足作棱的垂线，最后连接.【押题12】如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，当E、F分别在线段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2，现将梯形ABCD沿EF折叠，使平面ABFE与平面EFCD垂直。（1）判断直线AD与BC是否共面，并证明你的结论；（2）当直线AC与平面EFCD所成角为多少时，二面角ADCE的大小是60。【押题指数】【解析】（1）、是异面直线 （1分）则有，可取平面的法向量（8分）此时，设与平面所成角为
17、，则即当直线AC与平面EFCD所成角的大小为时，二面角的大小为（12分）【方法与技巧】本题主要考查直线与平面垂直的性质、二面角的求法以及空间想象能力和化归思想。需要强调的是，用传统方法解答时，必须要明确所求的空间角转化为平面角的过程。备选题【押题1】如图是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图在直观图中，是的中点. 侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，有关数据如图所示.()求该几何体的体积；()求证：.【押题指数】【解】(),. 6分（）由三视图可知，取中点,连结，又. 12分ABCPDE【押题2】如图，PA平面ABC， ABBCAD垂直于PB于D，AE垂直于PC于
18、EPA，ABBC=1（1）求证：PC平面ADE；（2）求AB与平面ADE所成的角；（3）Q为线段AC上的点，试确定点Q的位置，使得BQ平面ADE【押题指数】【解】 法一：（1）证明：因为，又平面得,所以，Q为AC的中点13分【押题3】如图，棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱。（I）若P为线段A1B的中点，求证（II）若求二面角A1AC1B的大小。解法二：取AB中点O，以O为坐标原点建立如图直角坐标系，设AB=2a，AA1=h，则，1分（I）5分（II）7分 则求得平面的一个法向量为8分 又， 求得平面BAC1的一个法向量为9分 11分所以二面角A1AC1B的大小为12分【押题4】如图，四棱锥中，
19、底面是直角梯形，侧面底面，且为等腰直角三角形，为的中点. 求证：； 求二面角的大小.【押题指数】【解】 F、G分别为EB、AB的中点，FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC， 四边形FGCD为平行四边形，FDGC，又GC面ABC， FD面ABC.（2）AB=EA，且F为EB中点，AFEB 又FGEA，EA面ABCFG面ABC G为等边ABC，AB边的中点，AGGC.AFGC又FDGC，AFFD 由、知AF面EBD，又BD面EBD，AFBD.（3）由（1）、（2）知FGGB，GCGB，GB面GCF.过G作GHFC，垂足为H，连HB，HBFC.GHB为二面角B-FC-G的平面角.易
20、求PABCDMN【押题5】在四棱锥中，底面，直线与底面成60角，点分别是、的中点.（）求二面角的大小； （）当的值为多少时，为直角？【押题指数】【解】（）PD面ABCD，AB面ABCD，ABPD，又ABAD， AB面PAD. 又MN是PAB的中位线，MNAB，从而MN面PAD.PMD为二面角PMND的平面角4分PABCDMNxyz由已知，在RtPAD中，易证：PAD=60，而M是PA的中点，PMD=120.即所求二面角PMND的大小为120.6分（）令，不妨设AD=2，则，.8分以D为原点，DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），N（1，2，），C（0
21、，4x，0），（1，2，），（1，2-4x，）；10分若CND为直角，则必有，即于是有，解得.当时，CND为直角.14分【押题6】三棱锥中是边长为4的等边三角形，为等腰直角三角形，平面面ABC，D、E分别为AB、PB的中点。（1）求证；（2）求二面角的正切值。（3）求三棱锥与三棱锥的体积之比； 【押题指数】【解】（1）取AC中点O，又面面ABC面，连OD，则P，则面，3分（2）连OB，过E作于FQ面POB面ABC EF面ABC 过F作连EG知EG 为二面角E-AC-B的平面角在中，在中，P 8分（3） E为PB中点 即13分【押题7】如图1，在直角梯形ABCD中，ABCD，BAD90，AB2，
22、AD3，CD1，点E、F分别在AD、BC上，且AEAD,BFBC现将此梯形沿EF折至使AD的位置（如图2）（）求证：AE平面ABCD； （）求直线CE与平面BCF所成角的正弦值【押题指数】【解】（）：由题意：，即，2分又， 平面4分（）解：以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则， ，6分设平面的法向量，由得9分记直线与平面所成的角为，则 所以，直线与平面所成角的正弦值为12分【押题8】如图，在三棱锥SABC中，O为BC的中点(I)线段SB的中点为E，求证：平面平面SAB；(II)若SB=，求三棱锥S-ABC的体积来【押题指数】【解】（1） ， 又 ，/ - 2分 - 3分又- 4分且有 -
23、 5分而 - 6分（2）连接 ，显然 又 ， - 7分又 - 8分 9分 - 10分-11分 - 12分【押题9】如图，平面ABCD，点O在AB上，EA/PO，四边形ABCD为直角梯形，BCAB，BC=CD=BO=PO，（1）求证：BC平面ABPE；（2）直线PE上是否存在点M，使DM/平面PBC，若存在，求出点M；若不存在，说明理由。【押题指数】【解】（1）平面ABCD，平面ABCD，BCPO又BCAB，所以BC平面ABP，又EA/PO，平面ABP，平面PAB， 平面ABPE。 6分（2）点E即为所求的点，即点M与点E重合。取PB的中点F，连结EF，CF，DE，由平面几何知识知EF/AB，且
24、EF=DE，四边形DCFE为平行四边形，所以DE/CF，CF在平面PBC内，DE不在平面PBC内，平面PBC。 12分【押题10】如图：PA平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30，点F是PB的中点，点E在边BC上移动.（1）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由； （2）无论点E在边BC的何处，PE与AF所成角是否都为定值，若是，求出其大小；若不是，请说明理由；（3）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45.EFABCPD【押题指数】【解】法一:（1）当点为的中点时，与平面平行.在中，、分别为、的中点， 又平面而平面 平面. （3）设平面的法向量为，由，得：，而平面的法向量为,二面角的大小是,所以=，得 或 （舍）.
