1、浙江省湖州中学2020届高三数学下学期模拟测试试题（三）（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别计算集合，然后根据交集的概念可得结果.【详解】由，所以由所以，则，故选：B【点睛】本题考查交集的运算，本题重在计算，属基础题.2. 设，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，先求得的值，进而求得，从而求得、的值.【详解】由，得，所以，则，所以，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本
2、关系式，属于基础题.3. 若复数(是虚数单位)，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则以及即可求解.【详解】，.故选：D【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.4. 已知等比数列中，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.【详解】设等比数列的公比为，由得：，又，解得：，充分性成立；由得：，又，解得：或，当时，必要性不成立.“”是“”的充分不必要条件.故选：.【点睛】
3、本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.5. 若正数满足，则的最小值为（ ）A. 4B. 6C. 9D. 16【答案】A【解析】【分析】利用已知条件把变形成积为定值的形式，然后利用基本不等式可求得最小值.【详解】方法一：由，可得，所以.由为正数且，可得，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：A.方法二：由，可得，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：A.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是凑出积或和为定值.6. 已知，是双曲线的左，右焦点，若双曲线左支上存在一点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试
4、题分析：由已知到直线的距离为，所以由双曲线的定义得，故，注意到，所以，所以即，解得，所以离心率为考点：双曲线离心率7. 已知关于的方程有解，其中不共线，则参数的解的集合为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】将式子变形，然后根据不共线，可得，简单计算可得结果.【详解】由题可知：则，由于不共线，所以或，所以故选：B.【点睛】本题考查向量向量的应用，审清题意，细心计算，属基础题.8. 已知四边形中，再将沿着翻折成三棱锥的过程中，直线与平面所成角均小于直线与平面所成角，设二面角，的大小分别为，则（ ）A. B. C. 存在D. 的大小关系无法确定【答案】B【解析】【分析】根据题意
5、在三棱锥中，作平面于，则，分别为，与平面所成的角，过作，垂足分别为，连接，则，由，的大小得到，的大小，然后求出，的正切值后可得，的大小关系.【详解】如图，在三棱锥中，作平面于，则，分别为，与平面所成的角，直线与平面所成角均小于直线与平面所成角，过作，垂足分别为，连接，则，分别为二面角，的平面角，设，在中，,设的中点为，则为的中线，由可得点在的左侧（如图所示），又，又，为锐角，.故选：B【点睛】本题考查线面角和二面角的求法，解题时可先作出相关角，并由角的大小得到相关线段的大小关系，然后再根据空间角的定义求出角即可，解题的关键是正确作出图形，并将角的大小的问题转化为线段的长度问题求解，考查了作图能
6、力与运算能力，属于中档题.9. 已知函数，满足且，则当时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据开口向上的二次函数的特点可得，然后计算可得结果.【详解】因为函数是上凹函数，所以，因此故选：A.【点睛】本题考查二次函数的性质，本题难点在于的使用，属基础题.10. 如图，过椭圆的左、右焦点分别作斜率为的直线交椭圆上半部分于两点，记的面积分别为，若，则椭圆离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】作点B关于原点的对称点B1，根据面积比可得，然后椭圆方程与直线方程联立使用韦达定理，最后计算，可得结果.【详解】作点B关于原点的对称点B1，如图则有，所以.将直线
7、方程，代入椭圆方程后，由韦达定理解得，由可得，又，所以则离心率.故选：A【点睛】本题考查椭圆的离心率，本题关键在于得到，考查分析能力以及计算能力，属中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11. 孙子算经是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子”根据这个问题，得到橘子最多的人所得的橘子个数是_；得到橘子最少的人所得的橘子个数是_ .【答案】 (1). 18 (2). 6【解析】【分析】假设得橘子最少的个数为，
8、根据等差数列的前项和公式可得，然后简单计算可得结果.【详解】设得橘子最少的个数为，公差为3所以所以得橘子最多的个数为故答案为：18，6【点睛】本题考查等差数列的应用，掌握公式，审清题意，属基础题.12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，表面积是_【答案】 (1). 5 (2). 15+【解析】由三视图还原可知，原图形是一个长方体左右两边各切去了一个角，所以体积为13. 若将向量围绕起点按逆时针方向旋转，得到向量，则向量的坐标为_，与共线的单位向量_【答案】 (1). (2). 与【解析】【分析】假设，计算，可得，然后计算即可.【详解】设所求向量为，由向量围绕起点按逆时针方向旋转
9、则，所以由，所以与共线的单位向量为与故答案为：，与【点睛】本题考查向量的共线向量以及向量的坐标运算，考查计算能力，属中档题.14. 在这个自然数中，任取个数，（1）这个数中恰有个是偶数的概率是_；（用数字作答）（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）则随机变量的数学期望_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用组合数以及古典概型概率计算公式以及求出的分布列，再利用数学期望的公式即可求解.【详解】（1）记“这3个数恰有一个是偶数”为事件A，则；（2）随机变量的取值为的分布列为012所以的数学期望为故答案为：；【点睛】本题考查了组合数的应用、
10、古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于基础题.15. 已知单位向量的夹角为，且，则的取值范围为_【答案】，4【解析】【分析】将向量放在直角坐标系中，转化为坐标，利用的几何意义是点到线段上的点的距离，再根据点到直线的距离公式即可求解.【详解】如图，记，则点的坐标为，记，则点的坐标为，因为，所以，记，得点轨迹为线段，的几何意义是点到线段上的点的距离，又点点到直线的距离最小，最大，直线的方程为，所以，所以的取值范围为，4.故答案为：，4【点睛】本题主要考查向量的几何意义、余弦定理、点到直线的距离，意在考查转化和化归能力、数形结合的思想，属于中档题.16. 若点为的重心，且，
11、则的最大值为_【答案】【解析】【分析】设中点为，连接，可得，利用平面向量加法和减法运算得出，由此可得，化简得出，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值，进而可求得的最大值.【详解】设中点为，连接，角、的对边为、，为的中点，所以，即，可得，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，所以，.因此，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.17. 设，数列xn满足.若1x72，则x8的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，用表示出，结合的范围，利用线性规划即可求得目标式的范围.【详解】由已知得，因为，所以，结
12、合，在坐标下所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为，所以目标函数在点处取得最小值，在点处取得最大值，.故答案为： 【点睛】本题考查不等关系的应用，以及利用线性规划求目标函数的范围，属综合中档题.三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18. 已知函数（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）利用降次公式和辅助角公式化简，由此求得的值.（2）根据绝对值符号对三角函数单调性的影响列不等式，解不等式求得的单调递增区间.【详解】解：（1）化简得，所以（2）由于，故，解得函数的单调递增区间为，.【点睛】本
13、小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间的求法，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.19. 如图，在四棱锥中，（1）证明：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证出，利用线面垂直的判定定理可得，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）利用余弦定理以及勾股定理求出，设点到平面的距离为，与平面所成角为，利用等体法：，求出，即可得出.【详解】（1）因为，所以，所以取的中点，连接，所以所以平面，又平面，所以（2）在中，根据余弦定理，得，所以，又因为，所以，所以，即设点到平面的距离为，与平面所成角为，因为，即，所以，
14、所以，所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、性质定理、求线面角，考查了考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题.20. 已知函数.（）求在点处的切线方程；（）已知在上恒成立，求的值.（）若方程有两个实数根，且，证明：.【答案】（）；（）；（）证明见解析【解析】【分析】（）根据导数的几何意义求解即可.（）求导分析函数单调性,并构造函数根据单调性分析可得只能在处取得最小值求解即可.（）根据（）（）的结论可知,在上恒成立,再分别设 的解为、.再根据不等式的性质证明即可.【详解】（）由题,故.且.故在点处的切线方程为.（）设恒成立,故.设函数则,故在上单调递减且,又在上单调递增.又,即且,故只能在处取得最小值,当时，此时,且上,单调递减.在上,单调递增.故,满足题意；当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；当时，此时有解,且在上单调递减,与矛盾；故（）.由（）,在上单调递减且,又在上单调递增,故最多一根.又因为,故设的解为,因为,故.所以在递减,在递增.因为方程有两个实数根,故 .结合（）（）有,在上恒成立.设 的解为,则；设的解为,则.故,.故,得证.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及根据函数的单调性与最值求解参数值的问题.同时也考查了构造函数结合前问的结论证明不等式的方法.属于难题.
