1、 专题一 选择、填空题对点练集合与常用逻辑用语记概念公式1集合的基本概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(3)子集、真子集、空集、集合相等的概念2集合的基本运算(1)交集：ABx|xA，且 xB(2)并集：ABx|xA，或 xB(3)补集：UAx|xU，且 xA3运算性质及重要结论(1)AAA，AA，ABBA.(2)AAA，A，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U.(4)ABAAB，ABABA.4全称命题与特称命题(1)全称命题 p：xM，p(x)，它的否定綈 p：x0M，綈 p(x0)(2)特称命题 p：x0M，p(x0)，它的否
2、定綈 p：xM，綈 p(x)5四种命题用 p，q 表示一个命题的条件和结论，綈 p 和綈 q 分别表示条件和结论的否定，那么原命题：若 p 则 q；逆命题：若 q 则 p；否命题：若綈 p 则綈 q；逆否命题：若綈 q 则綈 p.览规律技巧1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2解决集合的运算时，一般先运算括号内的部分当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解3判断命题真假的方法(1)等价转化法：当一个命题的真假不好判断时，可转化为判断它的逆否命题
3、的真假(2)特值法：当判定一个全称命题为假或一个特称(存在性)命题为真时，可代入特值进行验证注意：判断有关不等式的充分条件和必要条件问题时，记住“小范围”“大范围”练经典考题一、选择题1设全集为 R，集合 AxR|x24，Bx|1x4，则 A(RB)()A(1,2)B(2，1)C(2，1 D(2,2)解析：选 C 由 x24，得2x2，所以 Ax|2x2RBx|x1 或 x4，所以 A(RB)x|2x12设全集 U1,2,3,4,5，集合 A2,3，集合 B1,3，则(UA)(UB)的子集有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：选 D UA1,4,5，UB2,4,5，则(UA)(UB)4,
4、5，所以其子集有 4 个3已知集合 Ax|log2x1，Bx|0 xc，若 ABB，则 c 的取值范围是()A(0,1 B1，)C(0,2 D2，)解析：选 D Ax|log2x1x|0 x0C对任意的 xR，x3x10D对任意的 xR，x3x10解析：选 C“存在 x0R，x30 x010”的否定是“对任意的 xR，x3x10”6设集合 Ax|x 3k1，kN，Bx|x5，xQ，则 AB()A1,2,5 B1,2,4,5C1,4,5 D1,2,4解析：选 B 当 k0 时，x1；当 k1 时，x2；当 k5 时，x4；当 k8 时，x5.所以 AB1,2,4,57已知集合 M，Ny|y3x2
5、1，xR，则 MN()ABx|x1Cx|x1 Dx|x1 或 x1 或 x0，Mx|x1 或 x0，又Ny|y1，MNx|x18命题“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的否命题是()A若 a，b 都是偶数，则 ab 不是偶数B若 a，b 不都是偶数，则 ab 不是偶数C若 a，b 都不是偶数，则 ab 不是偶数D若 a，b 不都是偶数，则 ab 是偶数解析：选 B 因为“都是”的否定是“不都是”，所以“若 a，b 都是偶数，则 ab 是偶数”的否命题是“若 a，b 不都是偶数，则 ab 不是偶数”9已知命题 p：函数 ye|x1|的图象关于直线 x1 对称，命题 q：函数 ycos2x6
6、 的图象关于点6，0 对称，则下列命题中的真命题为()ApqBp(綈 q)C(綈 p)qD(綈 p)(綈 q)解析：选 A 易知函数 ye|x1|的图象关于直线 x1 对称是真命题；将 x6代入 ycos2x6 中，得 y0，故函数 ycos2x6 的图象关于点6，0 对称是真命题p 和 q 都为真，所以 pq 为真命题10已知命题 p：当 a1 时，函数 ylog12(x22xa)的定义域为 R；命题 q：“a3”是“直线 ax2y0 与直线 2x3y3 垂直”的充要条件，则以下结论正确的是()Ap 或 q 为真命题Bp 且 q 为假命题Cp 且綈 q 为真命题D綈 p 或 q 为假命题解析
7、：选 A 当 a1 时，一元二次方程 x22xa0 的判别式 44a0 对任意 xR 恒成立，故函数 ylog12(x22xa)的定义域为 R.故命题 p 是真命题；直线 ax2y0 与直线 2x3y3 垂直等价于 a22(3)0，解得 a3，故“a3”是“直线 ax2y0 与直线 2x3y3 垂直”的充要条件，故命题 q 是真命题所以 p 或 q为真命题，p 且 q 为真命题，p 且綈 q 为假命题，綈 p 或 q 为真命题11设集合 Ax|x22x30，集合 Bx|x22ax10，a0若 AB 中恰含有一个整数，则实数 a 的取值范围是()A.0，34B.34，43C.34，D(1，)解析
8、：选 B Ax|x22x30 x|x1 或 x0，f(0)10，即44a10，96a10，所以a34，a43，即34a43.12下列命题中正确的是()A命题“xR，x2x0”的否定是“x0R，x20 x00”B命题“若 xy0，则 x0”的否命题为“若 xy0，则 x0”CmR，使 f(x)(m1)xm24m3 是幂函数，且在(0，)上单调递减D命题“若 cos xcos y，则 xy”的逆否命题为真命题解析：选 C A 中命题的否定是“x0R，x20 x00”，所以 A 错误；B 中“若 xy0，则 x0”的否命题为“若 xy0，则 x0”，所以 B 错误；C 中 m2 时成立；D 中“若
9、cos xcos y，则 xy2k 或 xy2k，kZ”，所以 D 错误二、填空题13已知集合 Ax|y x23x，By|y3x1，则 AB_.解析：A(，03，)，B(1，)，所以 AB3，)答案：3，)14已知命题 p：x1,2，x2a0，命题 q：x0R，x202ax02a0，若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析：由 x2a0，得 ax2，x1,2，所以 a1.要使 q 成立，则有 4a24(2a)0，即 a2a20，解得 a1 或 a2.因为命题“p 且 q”是真命题，则 p，q 同时为真，即a1，a1或a2，即 a2 或 a1.答案：(，2115当两个集合中一
10、个集合为另一集合的子集时称这两个集合构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两个集合构成“偏食”对于集合 A1，12，1，Bx|ax21，a0，若 A 与 B 构成“全食”或构成“偏食”，则 a 的取值集合为_解析：因为 Bx|ax21，a0，所以若 a0，则 B 为空集，满足 BA，此时 A 与 B构成“全食”若 a0，则 Bx|ax21，a01a，1a，由题意知 1a1 或 1a12，解得 a1 或 a4.此时 A 与 B 构成“偏食”故 a 的取值集合为0,1,4答案：0,1,416若 f(x)是 R 上的增函数，且 f(1)4，f(2)2，设 Px|f(xt)13，Q
11、x|f(x)4，若“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围是_解析：Px|f(xt)13x|f(xt)2x|f(xt)f(2)，Qx|f(x)4x|f(x)f(1)，因为函数 f(x)是 R 上的增函数，所以 Px|xt2x|x2t，Qx|x1，要使“xP”是“xQ”的充分不必要条件，则有 2t3.答案：(3，)函数的图象、性质及应用记概念公式1指数与对数式的运算公式amanamn；(am)namn；loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；logaMnnlogaM；alogaNN；logaNlogbNlogba(a0 且 a1，b0 且 b1，
12、M0，N0)2函数的零点与方程根的关系3零点存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)使得 f(c)0，这个 c 也就是方程f(x)0 的根览规律技巧1函数单调性和奇偶性的重要结论(1)当 f(x)，g(x)同为增(减)函数时，函数 f(x)g(x)为增(减)函数(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性(3)f(x)为奇函数f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数f(x)的图象关于 y 轴对称(4)偶函数的和、差、积、商是
13、偶函数；奇函数的和、差是奇函数，积、商是偶函数；奇函数与偶函数的积、商是奇函数2函数的周期性(1)若函数 f(x)满足 f(xa)f(xa)，则 f(x)为周期函数，2a 是它的一个周期(2)设 f(x)是 R 上的偶函数，且图象关于直线 xa(a0)对称，则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期(3)设 f(x)是 R 上的奇函数，且图象关于直线 xa(a0)对称，则 f(x)是周期函数，4a 是它的一个周期3函数图象的对称性(1)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于直线 xa对称(2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)
14、，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于点(a,0)对称(3)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称4利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较练经典考题一、选择题1已知函数 f(x)x，x0，x1x4，x0 时，f(x)ln x，则 f(e)()Ae BeC1 D1解析：选 D 由于函数 f(x)的图象关于原点对称，故 f(x)为奇函数，
15、故 f(e)f(e)ln e1.5已知函数 f(x)4x2，yg(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，g(x)log2x，则函数 f(x)g(x)的大致图象为()解析：选 D 因为函数 f(x)4x2 为偶函数，yg(x)是定义在 R 上的奇函数，所以函数 f(x)g(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除 A，B.当 x2 时，g(x)log2x0，f(x)4x20，所以此时 f(x)g(x)0，排除 C.6已知函数 f(x)ln x，则函数 g(x)f(x)f(x)的零点所在的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：选B 因为 f(x)1x，所以 g(x
16、)f(x)f(x)ln x1x.因为 g(1)ln 1110，所以函数 g(x)的零点所在的区间为(1,2)7函数 f(x)(x1)ln x1 的零点有()A0 个B1 个C2 个D3 个 8若当 xR 时，函数 f(x)a|x|始终满足 0|f(x)|1，则函数 yloga 1x 的图象大致为()解析：选 B 因为当 xR 时，函数 f(x)a|x|始终满足 0f|x|1，所以 0a0时，函数 yloga1xlogax，显然此时函数单调递增9已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意 xR 都有 f(x4)f(x)f(2)，则 f(2 014)()A0B3C4 D6解析：选 A 依题意
17、得 f(24)f(2)f(2)f(2)，即 2f(2)f(2)，f(2)0，f(x4)f(x)，故 f(x)是以 4 为周期的周期函数，2 01445032，因此 f(2 014)f(2)0.10奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当 x(0,1)时，f(x)3x12，则 f(log354)()A2B76C.76D2解析：选 A f(x2)2f(x2)f(x)，f(x)是以 4 为周期的周期函数又f(log354)f4log323 flog323 flog332 flog332，易知 0log3321，flog332 3log3321232122，f(log354)2.11.设平行于 y
18、 轴的直线分别与函数 y1log2x 及 y2log2x2 的图象交于 B，C 两点，点 A(m，n)位于函数 y2 的图象上若ABC 为正三角形，则 m2n()A8 3B12C12 3D15解析：选 B 由题意可得 BC2，则正三角形的边长为 2，设直线 BC：xt，则 tm 3，log2tlog2m1，t2m，则 tm 32m，解得 m 3.又 nlog2m2,2n2m,2n4m，所以 m2n4m24(3)212.12函数 f(x)cos x 与函数 g(x)|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为()A2 B4 C6 D8解析：选 B 将两个函数的图象同时向左平移 1 个单位，得到
19、函数 yf(x1)cos(x1)cos(x)cos x，yg(x1)|log2|x|的图象，则此时两个新函数均为偶函数在同一坐标系下分别作出函数 yf(x1)cos x 和 yg(x1)|log2|x|的图象如图，可知有四个交点，两两关于 y 轴对称，所以此时所有交点的横坐标之和为 0，所以函数 f(x)cos x 与函数 g(x)|log2|x1|的图象所有交点的横坐标之和为 4.二、填空题13已知偶函数 f(x)在0，)上单调递减，则满足 f(2x1)f 13 的 x 的取值范围是_解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(2x1)f(|2x1|)，所以 f(2x1)f 13 f(|2x1|
20、)13，解得x23，所以x的取值范围为，1323，.答案：，13 23，14已知函数 f(x)ln x3x8 的零点 x0a，b，且 ba1，a，bN*，则 ab_.解析：由于函数 f(x)ln x3x8，故函数 f(x)在(0，)上是增函数，又 a，bN*，f(2)ln 268ln 220，且 ba1，x02,3，即 a2，b3，ab5.答案：515已知函数 f(x)ln(1x)ln(1x)，有如下结论：x(1,1)，f(x)f(x)；x(1,1)，f(x)f(x)；x(1,1)，f(x)为增函数；若 f(a)ln 2，则 a13.其中正确结论的序号是_(写出所有正确结论的序号)解析：f(x
21、)ln(1x)ln(1x)ln1x1x，f(x)f(x)ln1x1xln1x1xln 10，f(x)f(x)，错误，正确；f(x)ln1x1xln1 21x，利用复合函数的单调性可知 f(x)为增函数，正确；f(a)ln1a1aln 2，1a1a2，a13，正确答案：16已知 f(x)为定义在 R 上的偶函数，当 x0 时，有 f(x1)f(x)，且当 x0,1)时，f(x)log2(x1)，给出下列命题：f(2 013)f(2 014)的值为 0；函数 f(x)在定义域上是周期为 2 的周期函数；直线 yx 与函数 f(x)的图象有 1 个交点；函数 f(x)的值域为(1,1)其中正确的命题
22、序号有_解析：结合函数图象逐个判断当 x1,2)时，x10,1)，f(x)f(x1)log2x，且 x0 时，f(x)f(x2)，又 f(x)是 R 上的偶函数，作出函数 f(x)的部分图象如图，由图可知，错误，都正确；f(2 013)f(1)f(0)0，f(2 014)f(0)0，所以 f(2 013)f(2 014)0，正确，故正确的命题序号是.答案：导数的运算及简单应用记概念公式1求导公式(1)(sin x)cos x；(2)(cos x)sin x；(3)(ln x)1x；(logax)1xln a；(4)(ex)ex；(ax)axln a.2导数的四则运算法则(1)u(x)v(x)u
23、(x)v(x)(2)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)(3)uxvx uxvxuxvxvx2(v(x)0)3导数与极值函数f(x)在x0处的导数 f(x0)0且f(x)在x0附近“左正右负”f(x)在x0处取极大值；函数 f(x)在 x0 处的导数 f(x0)0 且 f(x)在 x0 附近“左负右正”f(x)在 x0 处取极小值览规律技巧“切点”的应用规律(1)若题目中没有给出“切点”，就必须先设出切点(2)切点的三种情况：切点在切线上；切点在曲线上；切点处的导数值等于切线的斜率练经典考题一、选择题1已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，且满足关系式 f(x)x23xf(2)l
24、n x，则 f(2)的值等于()A2 B2 C.94D94解析：选 D f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2)1x，所以 f(2)223f(2)12，解得 f(2)94.2已知函数 f(x)2x1x 2ln x，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()A2xy20 B2xy20Cxy20 Dy0解析：选 B 函数 f(x)2x1x 2ln x，f(1)0，f(x)211x2 2x.曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为 f(1)2.从而曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y02(x1)，即 2xy20.3若曲线 f(x)13x3x2mx
25、 的所有切线中，只有一条与直线 xy30 垂直，则实数m 的值等于()A0 B2 C0 或 2 D3解析：选 B f(x)x22xm，直线 xy30 的斜率为1，由题意知关于 x 的方程 x22xm1，即(x1)22m 有且仅有一解，所以 m2.4.022x12x dx()A2ln 34 B2ln 3 C4 Dln 3解析：选 A 022x12x dx2ln(x1)x2202ln 34.5已知函数 f(x)的导函数 f(x)a(xb)2c 的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是()解析：选 D 由导函数图象可知，当 x0 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减，排除 A，B.当 0 x0
26、，函数 f(x)单调递增，因此，当 x0 时，f(x)取得极小值，排除 C.6函数 f(x)axx21(a0)的单调递增区间是()A(，1)B(1,1)C(1，)D(，1)(1，)解析：选 B 函数 f(x)的定义域为 R，f(x)a1x2x212a1x1xx212.由于 a0，要使f(x)0，只需(1x)(1x)0，解得 x(1,1)7函数 f(x)的图象如图所示，f(x)是 f(x)的导函数，则下列数值排列正确的是()A0f(1)f(2)f(2)f(1)B0f(2)f(2)f(1)f(1)C0f(2)f(1)f(2)f(1)D0f(2)f(1)f(1)f2f121f(2)0.8已知 a0，
27、函数 f(x)(x22ax)ex，若 f(x)在1,1上是单调减函数，则 a 的取值范围是()A.0，34B.12，34C.34，D.0，12解析：选 C f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex，由题意当 x1,1时，f(x)0 恒成立，即 x2(22a)x2a0 恒成立，即1222a12a0，1222a2a0，解得 a34.9定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)1，且对任意 xR 都有 f(x)x212的解集为()A(1,2)B(0,1)C(1,1)D(1，)解析：选 C 令 g(x)f(x)12(x1)，g(x)f(x)120，则 xx212f(x2)x
28、2120g(x2)0 x211x0，得到 a3.11已知函数 f(x)ax3bx22(a0)有且仅有两个不同的零点 x1，x2，则()A当 a0 时，x1x20B当 a0，x1x20 时，x1x20D当 a0 时，x1x20，x1x20解析：选 B 由于函数有且仅有两个不同的零点，因此必有一个零点是重零点，则令 f(x)a(xx1)(xx2)2ax3a(x12x2)x2ax2(2x1x2)xax1x22，则 ax1x222，ax2(2x1x2)0，当 a0 时，由式得，x10，x1x22x210 时，由式得，x10 且 x20，由式得，2x1x20，x22x1.因此，x1x2x10，x1x22
29、x210)的导数：先两边同取自然对数 ln yg(x)ln f(x)，再两边同时求导得到1yyg(x)ln f(x)g(x)1fxf(x)，于是得到 yf(x)g(x)g(x)ln f(x)g(x)1fxf(x)，运用此方法求得函数 yx1x(x0)的一个单调递增区间是()A(e,4)B(3,6)C(0，e)D(2,3)解析：选 C 由题意知 f(x)x，g(x)1x，则 f(x)1，g(x)1x2，所以 yx1x1x2ln x1x1x x1x1ln xx2，由 yx1x1ln xx20 得 1ln x0，解得 0 x0)与抛物线 yx2 所围成的封闭图形的面积为8 23，则 a_.解析：根据
30、定积分的应用可知所求面积为 2 a0(ax2)dx2axx33a08 23，即4a a38 23，解得 a2.答案：215已知向量 aexx22，x，b(1，t)，若函数 f(x)ab 在区间(1,1)上存在单调递增区间，则实数 t 的取值范围为_解析：f(x)exx22tx，x(1,1)，f(x)exxt，函数 f(x)ab 在区间(1,1)上存在单调递增区间，f(x)exxt0 在区间(1,1)上有解，即 texx 在区间(1,1)上有解，而在区间(1,1)上 exxe1，te1.答案：(，e1)16已知函数 f(x)ex(sin xcos x)(0 x2 015)，则函数 f(x)的各极
31、大值之和为_解析：函数 f(x)ex(sin xcos x)，f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)2exsin x令 f(x)0，解得 xk(kZ)，当 2kx0，原函数单调递增，当 2kx2k2(kZ)时，f(x)0或向右0，0)(2)ysin xysin x向左0或向右0，0)2整体法：求 yAsin(x)(0)的单调区间、周期、值域、对称轴(中心)时，将 x 看作一个整体，利用正弦曲线的性质解决3换元法：在求三角函数的值域时，有时将 sin x(或 cos x)看作一个整体，换元后转化为二次函数来解决4公式法：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为
32、2|，yAtan(x)的最小正周期为|.练经典考题一、选择题1已知函数 f(x)tan x(0)的图象的相邻两支截直线 y4所得的线段长为4，则 f 4的值是()A0 B1 C1 D.4解析：选 A 由题意知 T4，由 T4，得 4，f(x)tan 4x，f 4 tan 0.2已知 cos6 sin 4 35，则 sin6 的值是()A.45B45C.4 315D4 315解析：选 A cos6 sin cos cos6sin sin6sin 32sin 32 cos 3sin6 4 35，所以 sin6 45.3sin 25、cos 24、tan 61的大小关系正确的是()Acos 24si
33、n 25tan 61Bcos 24tan 61sin 25Ctan 61cos 24sin 25Dsin 25cos 24tan 61解析：选 D 因为 sin 25sin 66cos 241tan 61，所以 sin 25cos 24tan 61.4若将函数 f(x)34 sin x14cos x 的图象向右平移 m(0m)个单位长度，得到的图象关于原点对称，则 m()A.56B.6C.23D.3解析：选 A 因为 f(x)34 sin x14cos x12sinx6，所以将其图象向右平移 m(0m)个单位长度，得到 g(x)12sinxm6 的图象又因为函数 g(x)的图象关于原点对称，所
34、以函数 g(x)为奇函数，所以 m6k(kZ)，即 mk6(kZ)，又因为 0m0,02一个周期内的图象上的五个点，如图所示，A6，0，B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，在 x 轴上的投影为 12，则()A2，3B2，6C12，3D12，6解析：选 A 由题知，T4126，所以 2.因为 A6，0 在曲线上，所以sin3 0，又 00，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D(0,2解析：选 A 由题意可知2 22，则 2.因为 x424，4 22k，32
35、2k，kZ，所以2422k，432 2k，kZ，故124k542k，kZ.即 12，54.7在ABC 中，AC 7，BC2，B60，则 AB 边上的高等于()A.34B.32C.3D2 3解析：选 C 设 ABc，由 AC2AB2BC22ABBCcos B，得 7c242c2cos 60，c22c30，得 c3，因此1223sin 60123hAB(hAB 为 AB 边上的高)，所以hAB 3.8在ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 的对边，b2c(b2c)，若 a 6，cos A78，则ABC 的面积为()A.17B.15C.152D3解析：选 C b2c(b2c)，b2bc2c
36、20，即(bc)(b2c)0，b2c.又 a 6，cos Ab2c2a22bc78，c2，b4.SABC12bcsin A12421 782 152.9在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，其中 A150，b2，且ABC的面积为 1，则absin Asin B()A4(6 2)B4(6 2)C2(6 2)D2(6 2)解析：选 C 因为ABC 的面积 S12bcsin A1，A150，b2，所以 c2，所以 a2b2c22bccos A84 3，解得 a 6 2.设ABC 外接圆的半径为 R，则有 asin A2R，得 2R2(6 2)，所以absin Asin B2R2(
37、6 2)10已知函数 f(x)sin(2x)，其中|，若 f(x)f 6对 xR 恒成立，且 f 2 f 5Cf(x)是奇函数Df(x)的单调递增区间是k3，k6(kZ)解析：选 D 由 f(x)f 6恒成立知 x6是函数 f(x)图象的对称轴，即 262k，kZ，所以 6k，kZ.又 f 2 f()，所以 sin()sin(2)，即sin 0，所以 6，f(x)sin2x6.由22k2x622k，kZ，得3kx6k，kZ，故函数 f(x)的单调递增区间是k3，k6(kZ)11若 sin 1 3tan 10sin，则锐角 的值为()A40 B50C60 D70解析：选 B 原式可变形为 sin
38、(1 3tan 10)1，可得 sin(1 3tan 10)2sin 12cos 10 32 sin 10cos 102sin sin 40sin 80 2sin sin 402sin 40cos 401，所以 sin sin 50.又因为 为锐角，所以 50.12已知函数 f(x)2sin xcos x2sin2x1(xR)，若在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a 3，A 为锐角，且 fA8 23，则ABC 面积的最大值为()A.3 3 24B.34C.24D.3 23解析：选 A f(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin2x4，
39、fA8 23 2sin2A2 23 cos 2A13，2cos2A113，cos A 63，sin A 33.由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 b2c22 63 bc32bc2 63 bc，bc93 62，SABC12bcsin A1293 62 33 3 3 24，当且仅当 bc93 62时等号成立，故ABC 面积的最大值为3 3 24.二、填空题13已知角 的终边上一点的坐标为sin23，cos23，则角 的最小正值为_解析：由题知，tan cos23sin231232 33，且 sin23 0，cos23 cos x，给出下列四个结论：该函数是以 为最小正周期的周期函数；当且
40、仅当 xk(kZ)时，该函数取得最小值1；该函数的图象关于 x54 2k(kZ)对称；当且仅当 2kx22k(kZ)时，0f(x)22.其中正确结论的序号是_(请将所有正确结论的序号都填上)解析：如图所示，作出 f(x)在区间0,2上的图象由图象易知，函数 f(x)的最小正周期为 2；在 x2k(kZ)和 x32 2k(kZ)时，该函数都取得最小值1，故错误由图象知，函数图象关于直线 x54 2k(kZ)对称；当且仅当 2kx22k(kZ)时，00a 与 b 的夹角 为锐角或零角；若 ab0，使得c，d()A.6B.3C.2D解析：选 A 因为 a(1,0)，b(0,1)，cab(R)，所以
41、c(1，)，由图象可知 d(4,3)，所以 cosc，d 435 120，排除 C，D 项；当 435 1212，即 11296390 时，此方程无正根，所以无解，排除 B 项；当 435 12 32，即 39296110 时，此方程有两正根二、填空题13已知点 A(1，1)，B(3,1)，C(1,4)，则向量在向量方向上的投影为_解析：由 A(1，1)，B(3,1)，C(1,4)，得(2,3)，(4，2)，向量在向量方向上的投影为|cos，8620 55.答案：55答案：115如图，在ABC 中，B60，O 为ABC 的外心，P 为劣弧 AC 上一动点，且(x，yR)，则 xy 的最大值为_
42、解析：B60，AOC120，当 P 在 A 点时，x1，y0，xy1；当 P 在A，C 之间时，得 x0，y0，将两边平方得 x2y2xy1，(xy)213xy3xy2234(xy)2，即(xy)24，xy2，故(xy)max2.答案：216定义域为a，b的函数 yf(x)的图象的两个端点为 A，B，M(x，y)是 f(x)图象上任意一点，其中 xa(1)b(R)，向量若不等式k 恒成立，则称函数 f(x)在a，b上“k 阶线性近似”若函数 yx1x在1,2上“k阶线性近似”，则实数 k 的取值范围为_解析：由题意知 a1，b2，所以 A(1,2)，B2，52.所以直线 AB 的方程为 y12
43、(x3)因为 xMa(1)b2(1)2，(1,2)(1)2，52 2，522，所以 xN2，所以 M，N 的横坐标相同且点 N 在直线 AB 上，所以|yMyN|x1x12x3 x21x32，因为x21x2x21x 2，且x21x32，所以x21x32 32x21x 32 2，即的最大值为32 2，所以 k32 2.答案：32 2，数 列记概念公式1等差数列(1)定义式：an1and(nN*，d 为常数)(2)通项公式：ana1(n1)d.(3)前 n 项和公式：Snna1an2na1nn1d2.(4)等差中项公式：2anan1an1(nN*，n2)(5)性质：anam(nm)d(n，mN*)
44、若 mnpq，则 amanapaq(m，n，p，qN*)2等比数列(1)定义式：an1an q(nN*，q 为非零常数)(2)通项公式：ana1qn1.(3)前 n 项和公式：Snna1，q1，a11qn1q，q1.(4)等比中项公式：a2nan1an1(nN*，n2)(5)性质：anamqnm(n，mN*)若 mnpq，则 amanapaq(p，q，m，nN*)览规律技巧1数列an是等差或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法利用定义，证明 an1an(nN*)为常数；利用中项性质，即证明 2anan1an1(n2)(2)证明数列an是等比数列的两种基本方法利用定义，证
45、明an1an(nN*)为常数；利用等比中项，即证明 a2nan1an1(n2)2数列求和的常用方法(1)公式法；(2)错位相减法；(3)裂项相消法；(4)倒序相加法；(5)分组求和法练经典考题一、选择题1在等差数列an中，a21，a45，则an的前 5 项和 S5()A7 B15 C20 D25解析：选B 由等差数列的等差中项公式可得 2a3a2a46.因为 2a3a2a4a1a5，所以 S5a1a5522a35215.2设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 2a66a7，则 S9 的值是()A18 B36 C54 D72解析：选 C 2a66a7，a6a66a7，a5a76a7，a56，
46、S99a1a929a5a5254.3已知等比数列an的前三项依次为 t，t2，t3，则 an()A4 12nB42nC4 12n1D42n1解析：选 C 由于 t，t2，t3 成等比数列且为等比数列an的前三项，则有(t2)2t(t3)，解得 t4，所以 a14，a22，a31.设等比数列an的公比为 q，则 qa2a12412，ana1qn14 12n1.4在正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，则 a1a11 的值是()A10 000 B1 000 C100 D10解析：选 A 在正项等比数列an中，lg a3lg a6lg a96，由对数运算法则及等比数列的性质，知 lg
47、 a3a6a96，a3a6a9106，a36106，a6100，a1a11a26100210 000.5已知等差数列an和bn的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且SnTn5n2n3，则a2a20b7b15()A.10724B.724C.14912D.1493解析：选 A 法一：设 Sn5n22n，则 Tnn23n.当 n1 时，a17，当 n2 时，anSnSn110n3，a17 符合上式，an10n3，同理 bn2n2，a2a20b7b1510724.法二：由题知，a2a20b7b15S21T2110724.6在等比数列an中，a1an34，a2an164，且前 n 项和 Sn62，则项数
48、n()A4 B5 C6D7解析：选 B 在等比数列an中，a2an1a1an64，又 a1an34，解得 a12，an32 或 a132，an2.当 a12，an32 时，Sna11qn1qa1qan1q 232q1q 62，解得 q2，又 ana1qn1，所以 22n132，解得 n5.同理当 a132，an2 时，由 Sn62，解得 q12，由 ana1qn132 12n12，得 12n1 116 124，即 n14，n5.综上，项数 n5.7一个等差数列的前 20 项的和为 354，前 20 项中偶数项的和与奇数项的和之比为 3227，则该数列的公差 d()A1 B3 C5D7解 析：选
49、B 法 一：设 等 差 数 列 的 首 项 为a1，由 题 意 可 得20a120192d354，10a1d10922d10a110922d3227，解得 d3.法二：由已知条件，得S奇S偶354，S偶S奇3227，解得S偶192，S奇162，又 S 偶S 奇10d，所以 d192162103.8数列an满足 a13，ananan11，An 表示an前 n 项之积，则 A2 016()A3 B2 C1 D1解析：选 C 因为 a13，ananan11，所以 a223，a312，a43，数列an是以3 为周期的数列，且 a1a2a31.2 0163672，A2 016(1)6721.9已知等比数
50、列an的前 n 项和为 Sn，若 S37，S663，则 S9 的值是()A255B256 C511 D512解析：选 C 法一：依题意，设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，S37，S663，a11q31q7，a11q61q63，解得a11，q2，S9511.法二：等比数列an的前 n 项和为 Sn，S3，S6S3，S9S6 成等比数列，S37，S663，S9S6448，S9448S644863511.10设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，S45S2，则a3a8a25 的值为()A2 或1 B1 或 2C2 或1 D1 或 2解析：选 C 当公比 q1 时，S45S20，成立当 q1
51、 时，S4，S2 都不等于 0，S4S2S2q24，q2.故原式a3a8a25 q2 或1.11设等比数列an的各项均为正数，公比为 q，前 n 项和为 Sn.若对nN*，有 S2n3Sn，则 q 的取值范围是()A(0,1 B(0,2)C1,2)D(0，2)解析：选 A 若 q1，则 S2n2na13na13Sn，所以 q1 符合要求；当 q1 时，a11q2n1q1，则可得 q2n3qn20，即(qn1)(qn2)0，即 qn1 不可能满足对任意 n 值都有 qn1 不符合要求；若 0q0，即 qn1，因为 0q1，所以对任意 n 值都有 qn1，所以 0q0，故 q12.由 a12a21
52、 得 a12a1q1，a112.因此 an 12n.又 bnlog2a1log2a2log2an(12n)nn12，1bn2nn121n 1n1，1b1 1b2 1bn2112 1213 1n 1n1 2nn1，数列1bn 的前 10 项和为2011.二、填空题13设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a6S312，则an的通项公式 an_.解析：因为 S3a1a2a33a2，a63a212，得 a612，a24，所以 a6a24d8，解得等差数列的公差 d2，所以数列an的通项公式 ana2(n2)22n.答案：2n14已知等比数列an的公比 q2，其前 4 项和 S460，则 a2_.
53、解析：S4a11q41qa11241215a160a14，a2a1q428.答案：815若等比数列an的各项均为正数，且 a7a14a9a1221010，令 bnlg an，则数列bn的前 20 项和为_解析：an为等比数列，且 a7a14a9a1221010，a7a14a9a122a10a1121010，a10a111010，数列bn的前 20 项和为 lg a1lg a2lg a20lg(a1a2a20)lg(a10a11)10lg(1010)10lg 10100100.答案：10016在等比数列an中，若 a5a6a7a8154，a6a798，则1a51a6 1a7 1a8_.解析：由等
54、比数列的性质知 a5a8a6a7，1a5 1a6 1a7 1a8a5a8a5a8 a6a7a6a7 a5a6a7a8a6a715498103.答案：103不等式记概念公式1不等式的性质注意不等式的乘方与开方对符号的要求，如(1)ab，c0acbc，ab，c0acb0，cd0acbd；(3)ab0anbn(nN，n1)；(4)ab0n an b(nN，n2)2几个重要不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)ab2 ab(a0，b0)；(3)abab22(a，bR)览规律技巧1两类基本不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2bxc0(a0)，再求相应一元二次方程 ax2b
55、xc0(a0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集(2)简单分式不等式的解法变形fxgx0(0(b0，则下列不等式不成立的是()A.1a|b|Cab2 abD.12a 12b解析：选 D 法一：ab0，1a|b|，ab2 ab，12a0，f(x)x8xx8x24，当且仅当 x8x，即 x4 时，等号成立故 f(x)的最大值为 4.3已知函数 f(x)22x，x1，2x2，x1，则满足 f(a)2 的实数 a 的取值范围是()A(，2)(0，)B(1,0)C(2,0)D(，10，)解析：选 D 当 a1 时，f(a)22a2，解得 a12，此时 a1；当
56、a1 时，f(a)2a22，解得 a0，此时 a0.综上，实数 a 的取值范围是(，10，)4已知 x，y 满足yx，xy2，xa，且 z2xy 的最大值是最小值的 4 倍，则 a 的值是()A.34B.14C.211D4解析：选 B 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，由yx，xy2 得 B(1,1)，由xa，yx得 C(a，a)，当直线 z2xy 过点 B(1,1)时，目标函数 z2xy 取得最大值，最大值为 3；当直线 z2xy 过点 C(a，a)时，目标函数 z2xy 取得最小值，最小值为 3a.由条件得 343a，a14.5不等式(a2)x22(a2)x40 的解集为 R，则
57、实数 a 的取值范围是()A(2,2)B(2,2C(，2 D2,2)解析：选 B 当 a2 时，不等式化为40，恒成立；当 a2 时，由条件知a20，4a2216a20，解得2a0 的解集是2,3，则 ab的值是()A1 B2 C4 D8解析：选 C(xa)(xb)0，即(xa)1(xb)0，即(xa)x(b1)0，b0，则以下不等式中不恒成立的是()A(ab)1a1b 4Blga214 lg aC.a2b22ab2D.1a2 1b2ab2 2解析：选 B a0，b0，(ab)1a1b baab24，当且仅当 ab 时等号成立，A 恒成立；a2142a12a，当且仅当 a12时等号成立，lga
58、214 lg a，B 不恒成立；a2b222a22b24a22abb24ab2，当且仅当 ab 时等号成立，C 恒成立；a0，b0，1a2 1b221a2 1b2 2ab，当且仅当1a2 1b2时等号成立，又 2abab22abab2 2，当且仅当 2abab 时等号成立，1a2 1b2ab2 2，当且仅当1a2 1b2，2abab，即 ab4 2时取等号，D 恒成立8已知实数 x，y 满足约束条件xy10，4x3y120，y20，则 z2xy1x1的最大值为()A.54B.45C.916D.12解析：选 B 因为 z2x2y1x12y1x1，所以要求 z 的最大值，只需求 zy1x1的最小值
59、画出可行域，如图阴影部分所示，可得，使 zy1x1取得最小值的最优解为A32，2，代入得 z2xy1x145.9若函数 f(x)ax2bxc(a，b，c0)没有零点，则acb 的取值范围是()A(1，)B1，)C(2，)D2，)解析：选 A 函数 f(x)ax2bxc(a，b，c0)没有零点等价于 b24acb24，所以acb 2 acb2b24b1，所以acb 的取值范围是(1，)10已知 x，y 满足xy60，xy0，x3，若 zaxy 的最大值为 3a9，最小值为 3a3，则 a 的取值范围为()Aa1 Ba1C1a1 Da1 或 a1解析：选 C 由题知，已知不等式组表示的平面区域是一
60、个三角形，其顶点坐标分别为(3,3)，(3，3)，(3,9)根据已知得 3a33a33a9，解得1a1.11设 a0，b1，若 ab2，则2a 1b1的最小值为()A32 2B6C4 2D2 2解析：选 A 由题可知 ab2，ab11，2a 1b12a 1b1(ab1)22b1a ab1132 2，当且仅当2b1a ab1，即 a2 2，b 2时等号成立12设实数 x，y 满足不等式组xy10，2xy60，xyk20，且 x2y2 的最小值为 m，当 9m25时，实数 k 的取值范围是()A.172k5B.172k5C.172k5D.1720，y0，x2y12(x2y)2x1y 1244yx
61、xy 24yx xy4，当且仅当4yx xy，即 x2，y1 时等号成立答案：414设 aR，若 x0 时均有(x2ax5)(ax1)0 成立，则 a_.解析：当 a0 时，显然不能使原不等式对 x0 恒成立，故 a0.当 x1a，a0 时原不等式恒成立，易知 a0.对于方程 x2ax50，设其两根为 x2，x3，且 x2x3，易知 x20.当 x0 时，原不等式恒成立，故 x1a是方程 x2ax50 的一个根，代入解得 a12.答案：1215若不等式 x2ax4x4x在1，5上有解，令 h(x)x4x(x1,5)，h(x)x4x2 x4x4(当且仅当 x2 时等号成立)，要使不等式在1,5上
62、有解，应有 a4.答案：(4，)16已知 a，b 是正数，且满足 2a2b4，那么 a2b2 的取值范围是_解析：作出不等式表示的平面区域，如图阴影部分所示(不包括边界)，O 到直线 a2b2 的距离 d 25，|OB|4，显然 d2a2b2|OB|2，即45a2b20)(3)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的两端点是 A(x1，y1)，B(x2，y2)2椭圆的定义、标准方程及几何性质(1)定义：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)(2)标准方程当焦点在 x 轴上时，x2a2y2b21(ab0)；当焦点在 y 轴上时，y2a2x2b21(ab0)(3)
63、几何性质离心率：eca1b2a2(0,1)；过焦点且垂直于长轴的弦叫通径，其长度为2b2a.3双曲线的定义、标准方程及几何性质(1)定义：|MF1|MF2|2a(2a0，b0)；当焦点在 y 轴上时，y2a2x2b21(a0，b0)(3)几何性质离心率：eca1b2a2(1，)；过焦点且垂直于实轴的弦叫通径，其长度为2b2a；双曲线x2a2y2b21(a，b0)的渐近线方程为 ybax，焦点到渐近线的距离等于 b.4抛物线的定义、标准方程及几何性质(1)焦点在 x 轴上的抛物线方程为 y22px(p0)，其焦点为 Fp2，0，准线方程为 xp2；焦点在 y 轴上的抛物线方程为 x22py(p0
64、)，其焦点为 F0，p2，准线方程为 yp2.(2)抛物线 y22px(p0)，点 C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线上焦半径|CF|x1p2；过焦点的弦长|CD|x1p2x2p2x1x2p.览规律技巧1判定直线与圆位置关系的两种方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：0相交，0相离，0相切(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为 d，则 dr相离，dr相切(主要掌握几何方法)2求椭圆或双曲线方程就是求出其中的 a，b.由于椭圆中 a2b2c2，双曲线中 c2a2b2，因此只要能够找到两个独立的条件，列出关于 a，b，c 的两个方
65、程即可组成方程组求出 a，b.3在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围4直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交由于椭圆是封闭的曲线，故这三种关系分别对应直线与椭圆无交点、有一个切点、有两个交点5直线与双曲线或抛物线有且只有一个交点时，不一定有 0，还有可能是直线与曲线相交练经典考题一、选择题1已知圆 C：x2y2mx40 上存在两点关于直线 xy30 对称，则实数 m 的值为()A8 B4C6 D无法确定解析：选 C 圆上存在关于直线 xy3
66、0 对称的两点，则 xy30 过圆心m2，0，即m230，m6.2与圆 C：x2y22x4y0 关于直线 l：xy0 对称的圆的方程是()Ax2y24x2y0 Bx2y22x4y0Cx2y24x2y0 Dx2y22x4y0解析：选 A 圆 C 的标准方程为(x1)2(y2)25，圆心坐标为(1，2)，设其关于直线 xy0 对称的点的坐标为(a，b)，则1a2 2b20 且b2a11，解得 a2，b1，即圆 C 的圆心关于直线 xy0 对称的点的坐标为(2，1)，由于对称的圆的半径不变，故所求圆的方程为(x2)2(y1)25，即 x2y24x2y0.3已知双曲线x2a2 y21a21(a0)的离
67、心率为 2，则 a 的值为()A.12B.22C.13D.33解析：选 B 双曲线的离心率 eca1a 2，则 a 22.4若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点分别为 F1，F2，线段 F1F2 被抛物线 y24bx 的焦点分成 53 两段，则双曲线的离心率为()A.4 1515B.2 33C.15D.3解析：选 A 设抛物线 y24bx 的焦点为 F(b,0)，则|FF2|cb382c，所以 c4b，所以 a c2b2 15b，所以 eca 4b15b4 1515.5在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 l：ykx1 与圆 C：x2y24 相交于 A，B 两点，以 OA，OB
68、 为邻边作平行四边形 OAMB，若点 M 在圆 C 上，则实数 k 等于()A1 B2 C1 D0解析：选 D 由题意知圆心到直线 l 的距离等于12r1(r 为圆 C 的半径)，所以|k001|k211，解得 k0.6设 F1，F2 分别为椭圆x24y21 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且2 3，则F1PF2()A.6B.4C.3D.2解析：选 D 法一：设F1PF2，根据余弦定理|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos，即 12|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos.由2 3，得 12|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos.两式相减得 4|
69、PF1|PF2|cos 0，cos 0，2.法二：因为O 为坐标原点，2 3，所以|PO|3，又|OF1|OF2|3，所以 P，F1，F2 在以点 O 为圆心的圆上，且 F1F2 为直径，所以F1PF22.7已知以 F 为焦点的抛物线 y24x 上的两点 A，B 满足，则弦 AB 的中点到准线的距离为()A.83B2 C.43D.53解析：选 A 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得(1x1，y1)3(x21，y2)，得 x143x2，又，得，即 x113(x21)，得 x13x22，所以 43x23x22，解得 x213，进而 x13，所以 AB 中点的横坐标为x1x2253，其到
70、准线的距离为53183.8已知直线 AxByC0 与圆 x2y21 相交于 P，Q 两点，其中 A2，C2，B2 成等差数列，O 为坐标原点，则()A1 B0 C1 D1解析：选 A 依题意 A2B22C2，圆 x2y21 的圆心到直线 AxByC0 的距离 d|C|A2B2 22，圆 x2y21 的半径为 1，故POQ90，可得0.011.9已知圆 C1：x2y22mx4ym250 与圆 C2：x2y22x2mym230，若圆 C1 与圆 C2 相外切，则实数 m()A5 B5 或 2C6 D8解析：选 B 对于圆 C1 与圆 C2 的方程，配方得圆 C1：(xm)2(y2)29，圆 C2：
71、(x1)2(ym)24，则圆 C1 的圆心 C1(m，2)，半径 r13，圆 C2 的圆心 C2(1，m)，半径 r22.如果圆 C1 与圆 C2 相外切，那么有|C1C2|r1r2，即 m12m225，则 m23m100，解得 m5 或 m2，所以当 m5 或 m2 时，圆 C1 与圆 C2 相外切10已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且最小值的取值范围是34c2，12c2，则该双曲线的离心率的取值范围为()A(1，2 B 2，2 C(1，2)D2，)解析：选 B 设 P(x0，y0)，则(cx0，y0)(cx
72、0，y0)x20c2y20a21y20b2 c2y20，当 y00 时，上式取得最小值 a2c2，根据已知34c2a2c212c2，即14c2a212c2，即 2c2a24，即 2ca2，所以所求离心率的取值范围是 2，211已知 F1 为双曲线 C：x214y2111 的左焦点，直线 l 过原点且与双曲线 C 相交于 P，Q 两点若0，则PF1Q 的周长等于()A2 1110 B2 1410C22 D24解析：选 C 根据已知 F1(5,0)由0 可知，PF1QF1，PQF1 是以 PQ为斜边的直角三角形，所以|PQ|2|OF1|10.设双曲线 C 的右焦点为 F2，根据双曲线的对称性可得|
73、PF1|QF2|.根据双曲线定义得|QF1|QF2|2 14，把|PF1|QF2|代入得|QF1|PF1|2 14，所以|QF1|22|QF1|PF1|PF1|256，又|QF1|2|PF1|2|PQ|2100，所以2|QF1|PF1|44，所 以|QF1|PF1|QF1|PF1|2|QF1|22|QF1|PF1|PF1|2 1004412，所以PF1Q 的周长等于 101222.12已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)和圆 O：x2y2b2，若 C 上存在点 M，过点 M 引圆 O 的两条切线，切点分别为 E，F，使得MEF 为正三角形，则椭圆 C 的离心率的取值范围是()A.12，1
74、B.22，1C.32，1D.0，32解析：选 C 由于点 O，M，E，F 四点共圆，当MEF 为正三角形时，EOF120，O 到 EF 的距离为12b，且|EF|3b，此时正MEF 的高为 32 3b32b，可得点 M 到点 O的距离为 2b.问题等价于椭圆上存在点 M 到坐标原点的距离为 2b.设 M(x0，y0)，则 x20y20 x20b21x20a2 c2a2x20b2，由于 0 x20a2，所以 b2c2a2x20b2c2b2a2，所以 b24b2a2，所以 4(a2c2)34，所以 eca 32，又 e0，即 a10.圆心(1,2)到直线3x4y150 的距离为 4.数形结合可得，
75、当圆 x2y22x4ya50 上有且仅有两个点到直线 3x4y150 的距离为 1 时，圆的半径 r 满足 3r5，即 3 10a5，即15aa2a3，a3a43)0.5，P(X1)P(X5)0.8，所以 P(X1)1P(X1)0.2，P(1X3)P(X3)P(X1)0.50.20.3.8某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 棵，设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 56 和 45，且每棵大树是否成活互不影响则移栽的 4 棵大树中至少有 1 棵成活的概率是()A.13 B.23 C.887900D.899900解析：选 D 设 Ak 表示第 k 棵甲种大树成活，k1,2；Bl 表示第 l
76、 棵乙种大树成活，l1,2，则 A1，A2，B1，B2 相互独立，且 P(A1)P(A2)56，P(B1)P(B2)45，则至少有 1 棵大树成活的概率为 1P(A1 A2 B1 B2)1P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)1 162 152899900.9将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到300 在第营区，从 301 到 495 在第营区，从 496 到 600 在第营区，三个营区被抽中的人数依次为()A26,16,8 B25,17,8C2
77、5,16,9 D24,17,9解析：选 B 依题意及系统抽样可知，将这 600 名学生按编号依次分成 50 组，每一组各有 12 名学生，第 k(kN*)组抽中的号码是 312(k1)令 312(k1)300，得 k1034，因此第营区被抽中的人数是 25；令 300312(k1)495，得1034 k42，因此第营区被抽中的人数是 422517.10某学校随机抽查了本校 20 名同学平均每天在课外从事体育锻炼的时间(单位：分钟)，根据所得数据的茎叶图，以 5 为组距将数据分为 8 组，分别是0,5)，5,10)，35,40，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是()解析：选 B 根
78、据频率分布直方图，样本数据位于区间15,20)内的有 200.0252 个，位于区间20,25)内的有 200.0454 个，据此检验只可能是选项 B 中的图11在区间1,5和2,4上分别取一个数，记为 a，b，则方程x2a2y2b21 表示焦点在 x 轴上且离心率小于32 的椭圆的概率为()A.12 B.1532C.1732D.3132解析：选 B x2a2y2b21 表示焦点在 x 轴上且离心率小于32的椭圆，ab0，a2b，它对应的平面区域如图中阴影部分所示，则方程x2a2y2b21 表示焦点在 x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为 PS阴影S矩形11213212121241532.1
79、2已知圆 C：x2y212，直线 l：4x3y25.则圆 C 上的点 A 到直线 l 的距离小于 2 的概率为()A.16 B.14C.12D.56解析：选 A 圆 C 的圆心到直线 l 的距离为2542325.设 l为与直线 l 平行且与直线l 的距离为 2 的直线，圆 C 上到直线 l 的距离小于 2 的点为 l截圆的劣弧上的点，此时圆心到直线 l的距离为 3，又圆的半径为 2 3，得 l截得的劣弧所对的圆心角为3，所以所求的概率为3216.二、填空题13为了解某市甲、乙、丙三所学校高三数学模拟考试成绩，采取分层抽样方法，从甲校的 1 260 份试卷、乙校的 720 份试卷、丙校的 900
80、 份试卷中进行抽样调研，若从丙校的 900 份试卷中抽取了 45 份试卷，则这次调研共抽查的试卷份数为_解析：抽取比例为 120，故抽取的试卷份数为(1 260720900)120144.答案：14414已知观测所得数据如下表：未感冒感冒总计用某种药252248500未用某种药224276500总计4765241 000由 K2nadbc2abcdacbd，算得 K21 00025227622424825005004765243.143.则约有_以上的把握认为用某种药与患感冒有关系下面的临界值表供参考：P(K2k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.072
81、2.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：由 3.1432.706 得，约有 90%以上的把握认为用某种药与患感冒有关系答案：90%15一个大正方形被平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)，记投中最左侧 3 个小正方形区域的事件为 A，投中最上面 3 个小正方形或正中间的 1 个小正方形区域的事件为 B，则 P(A|B)_.解析：由题意知 P(AB)19，P(B)49，所以 P(A|B)PABPB 14.答案：1416面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本某白酒酿造企业市场部对该企业 9 月份的产品
82、销量(单位：千箱)与单位成本(单位：元)的资料进行线性回归分析，得到结果如下：x 72，y 71，i16x2i 79，i16xiyi1 481.则销量每增加 1 千箱，单位成本约下降_元(结果保留 5 位有效数字)附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法公式分别为：bi1nxiyin x yi1nx2in x 2，a y b x解析：由题意知 b1 48167271796 7221.818 2，a71(1.818 2)7277.36，所以y1.818 2 x77.36，所以销量每增加 1 千箱，则单位成本约下降 1.818 2 元答案：1.818 2算法、复数、推理与证明记概念公式1复数的四则运算
83、法则(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i；(3)(abi)(cdi)acbdc2d2 bcadc2d2 i(a，b，c，dR，cdi0)2复数运算中常用的结论(1)(1i)22i；(2)1i1ii；(3)1i1ii；(4)baii(abi)；(5)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，其中 nN*.3两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程：试验、观察 联想、类推 猜测新的结论览规律技巧1算法的三种基本逻辑结构是：顺序结构、条件结构和循环结构循环结构的过程
84、由两个变量控制，一个是计数变量，一个是累加变量，这是两个有规律变化的量，控制着循环的过程，解题时首先要搞清楚这两个量是什么，这两个量的变化规律是什么，然后通过逐步执行程序得到问题的答案2类比推理用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，类比的结论不一定正确3归纳推理是由部分推知整体的一种合情推理，和类比推理一样，“合乎情理”是其主要特征，即我们作出的归纳首先要适合“部分”4分析法的特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件5综合法的特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件练经典考题一、
85、选择题1若复数 z 满足3iz 1i，i 是虚数单位，则|z|()A.2 B2 C.5D5解析：选 C z3i1i3i1i224i212i，|z|1222 5.2复数534i的共轭复数为()A34i B.3545i C34i D.3545i解析：选 D 534i534i34i34i34i53545i，因此复数534i的共轭复数为3545i.3若复数 z 满足(32i)z43i，则复平面内表示复数 z 的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限D第四象限解析：选 A 由(32i)z43i 得 z43i32i 6131713i，则复平面内表示复数 z 的点在第一象限4若某程序框图如图所示，则该程序
86、运行后输出的值是()A4 B5 C6 D7解析：选 A 程序在执行过程中，S，k 的值依次为 S1，k1；S123，k2；S32311，k3；S11211100，k4，循环结束，输出 k4.5设 a 是实数，且 a1i1i2 是实数，则 a()A.12 B1 C.32 D2解析：选 B 因为 a 是实数，a1i1i2 a1i21i2 a11ai2是实数，所以a1.6执行如图所示的程序框图，输出一列数，则这个数列的第 3 项是()A870 B30 C6 D3解析：选 B 当 N1 时，A3，故数列的第 1 项为 3，N2，满足继续循环的条件，A326，当 N2 时，A6，故数列的第 2 项为 6
87、，N3，满足继续循环的条件，A6530，当 N3 时，A30，故数列的第 3 项为 30.7如图，程序框图运行后输出的结果为()A.910B.1910C.1011D.2111解析：选 B 1nn11n 1n1，n110 成立，执行第一次循环，s1112，n112；n210 成立，执行第二次循环，s1112 1213，n213；依次类推，n910 成立，执行第九次循环，s1112 1213 19 110 2 1101910，n9110，n10 不成立，输出 s 的值为1910.8执行如图所示的程序框图，输出的 T()A29 B44 C52 D62解析：选 A 执行程序框图，有 S3，n1，T2；
88、不满足条件 T2S，S6，n2，T8；不满足条件 T2S，S9，n3，T17；不满足条件 T2S，S12，n4，T29；满足条件 T2S，退出循环，输出 T 的值为 29.9某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是()Af(x)|x|xBf(x)cos xx 2x2Cf(x)2x12x1Df(x)x2ln(x21)解析：选 C 根据程序框图知输出的函数为奇函数，并且此函数存在零点经验证：f(x)|x|x 不存在零点；f(x)cos xx 2x2 不存在零点；f(x)x2ln(x21)为偶函数；f(x)2x12x1的定义域为全体实数，且 f(x)f(x)，故此函数为奇函数，令
89、f(x)2x12x10，得 x0，函数 f(x)存在零点10观察下列等式：132332,13233362,13233343102，根据上述规律，132333435363()A192B202C212D222解析：选 C 1312.下面考查 1,3,6,10 的规律，由于 1122，3232，6342，10452，由此可猜想，132333n3nn122，所以 132333636722212.11执行如图所示的程序框图若输入 a3，则输出 i 的值是()A2 B3 C4 D5解析：选 C 第一次循环，a9，i1；第二次循环，a21，i2；第三次循环，a45，i3；第四次循环，a93，i4.结束循环，
90、输出 4.12x表示不超过 x 的最大整数，例如：3.S1 1 2 3 3，S2 4 5 6 7 8 10，S3 9 10 11 12 13 14 15 21，依此规律，那么 S10()A210 B230C220 D240解析：选 A 因为 S13232；S210452；S321672，所以 S1020212210.二、填空题13若 a1i1bi，其中 a，b 都是实数，i 是虚数单位，则|abi|_.解析：a，bR，且 a1i1bi，则 a(1bi)(1i)(1b)(1b)i，a1b，01b，a2，b1，|abi|2i|2212 5.答案：514已知223223，3383 38，4 4154
91、 415，若6at6at(a，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测 a，t 的值，at_.解析：照此规律：a6，ta2135，at63541.答案：4115已知实数 x0,10，执行如图所示的程序框图，则输出的 x 不小于 47 的概率为_解析：执行程序框图，得输出结果为 8x7.由题意可知，8x747，解得 x5，故由几何概型得到输出的 x 不小于 47 的概率 P10510 12.答案：1216已知 112232，112213253，1 122132 14274，由以上不等式推测得到一个一般结论：对于 n2，nN*,1 122 132 1n2_.解析：根据已知的三个不等式，推理得出 11221321n22n1n.答案：2n1n
