1、第3讲函数的奇偶性基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1(2013渭南模拟)下列函数中既是偶函数,又在区间(0,)上单调递增的函数是()Ayx3By|x|1Cyx21Dy2x解析因为A是奇函数,所以不成立C在(0,)上单调递减,不成立,D为非奇非偶函数,不成立,所以选B.答案B2(2013咸阳二模)若函数f(x)是奇函数,则a的值为()A0B1C2D4解析由f(1)f(1),得,(1a)2(1a)2解得a0.答案A3(2014上饶模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0且a1),若g(2)a,则f(2)()A2BCDa2解析依题意知f(x
2、)g(x)g(x)f(x)axax2,联立f(x)g(x)axax2,解得g(x)2,f(x)axax,故a2,f(2)22224.答案C4(2013重庆卷)已知函数f(x)ax3bsin x4(a,bR),f(lg(log210)5,则f(lg(lg 2)()A5B1C3D4解析f(x)ax3bsin x4,f(x)a(x)3bsin(x)4,即f(x)ax3bsin x4,得f(x)f(x)8,又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2),f(lg(log210)f(lg(lg 2)5,又由式知f(lg(lg 2)f(lg(lg 2)8,5f(lg(lg 2)8,f(lg(
3、lg 2)3.答案C5函数f(x)是周期为4的偶函数,当x0,2时,f(x)x1,则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3)B(1,1)C(1,0)(1,3)D(1,0)(0,1)解析f(x)的图像如图当x(1,0)时,由xf(x)0,得x(1,0);当x(0,1)时,由xf(x)0,得x;当x(1,3)时,由xf(x)0,得x(1,3)x(1,0)(1,3),故选C.答案C二、填空题6(2014临川二中)f(x)为奇函数,当x0时,f(x)log2(1x),则f(3)_.解析f(3)f(3)log242.答案27(2013青岛二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(
4、x2)f(x)对任意xR成立,当x(1,0)时f(x)2x,则f_.解析因为f(x2)f(x),故fff1.答案18设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间0,2上单调递减,若f(1m)f(m),则实数m的取值范围是_解析f(x)是偶函数,f(x)f(x)f(|x|)不等式f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0,2时,f(x)是减函数解得1m.答案三、解答题9f(x)为R上的奇函数,当x0时,f(x)2x23x1,求f(x)的解析式解当x0时, x0,则f(x)2(x)23(x)12x23x1.由于f(x)是奇函数,故f(x)f(x),所以当x0时,f(x)2x23x1.因为f(x
5、)为R上的奇函数,故f(0)0.综上可得f(x)的解析式为f(x)10设f(x)是定义域为R的周期函数,最小正周期为2,且f(1x)f(1x),当1x0时,f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性;(2)试求出函数f(x)在区间1,2上的表达式解(1)f(1x)f(1x),f(x)f(2x)又f(x2)f(x),f(x)f(x),f(x)是偶函数(2)当x0,1时,x1,0,则f(x)f(x)x;进而当1x2时,1x20,f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)能力提升题组(建议用时:25分钟)一、选择题1(2013吉安模拟)已知偶函数f(x)对任意xR都有f(x2)f(x),且当x1,0时f
6、(x)2x,则f(2 013)()A1B1CD解析由f(x2)f(x)得f(x4)f(x),所以函数的周期是4,故f(2 013)f(45031)f(1)f(1)21.答案C2(2014榆林模拟)已知函数f(x1)是偶函数,当1x1x2时,f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立,设af,bf(2),cf(3),则a,b,c的大小关系为()AbacBcbaCbcaDabc解析f(x1)是偶函数,f(x1)f(x1),yf(x)关于x1对称又1x1x2,f(x2)f(x1)(x2x1)0,知yf(x)在1,)是增函数,又ff,且23,f(2)ff(3),即bac.故选A.答案A二、填空题3设函数
7、f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x1)f(x1),已知当x0,1时,f(x)1x,则:2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)x3.其中所有正确命题的序号是_解析由已知条件:f(x2)f(x),则yf(x)是以2为周期的周期函数,正确;当1x0时0x1,f(x)f(x)1x,函数yf(x)的图像如图所示:当3x4时,1x40,f(x)f(x4)x3,因此正确,不正确答案三、解答题4已知函数f(x)在R上满足f(2x)f(2x),f(7x)f(7x),且在闭区间0,7上,只有f
8、(1)f(3)0.(1)试判断函数yf(x)的奇偶性;(2)试求方程f(x)0在闭区间2 014,2 014上根的个数,并证明你的结论解(1)若yf(x)为偶函数,则f(x)f2(x2)f2(x2)f(4x)f(x),f(7)f(3)0,这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0矛盾;因此f(x)不是偶函数若yf(x)为奇函数,则f(0)f(0),f(0)0,这与f(x)在闭区间0,7上只有f(1)f(3)0矛盾;因此f(x)不是奇函数综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)由f(4x)f(14x)f(x)f(x10),从而知函数yf(x)的周期T10.由f(3)f(1)0,得f(11)f(13)f(7)f(9)0.故f(x)在0,10和10,0上均有两个解,从而可知函数yf(x)在0,2 014上有404个解,在2 014,0上有402个解,所以函数yf(x)在2 014,2 014上共有806个解