1、3.3随机数的含义与应用【入门向导】数学与我们的生活密切相关，我们最好能将学到的数学知识用到生活中，更加可贵的是，同学们能主动发现生活中的问题，然后再考虑用什么数学知识来解决，遇到没学过的知识还能积极探索！现举一例：我们每天都与公交车打交道！每个人都可能会有这种想法，刚到车站，公交车就来了，不用等待，这是多么好的事件那么，不用等待的概率是多少呢？这是一个概率问题，但是用古典概型无法解决本节，我们共同研究几何概型就可以解决这个问题几何概型有两个主要特点，即基本事件的无限性和发生的等可能性，由它们可判断一个概型是不是几何概型几何概型的概率计算公式为P(A)求几何概型概率的关键有二：(1)明确类型，
2、即要明确是长度型、面积型，还是体积型，判断的方法是看基本事件发生在一个几维空间内；(2)准确求出相应的几何度量例1如图，在矩形ABCD中，AB，BC1，以A为圆心，1为半径作圆弧DE交AB于点E.(1)向矩形内随机投掷一点，求该点落在扇形DAE内的概率；(2)在圆弧DE上任取一点P，求直线AP与线段BC有公共点的概率解(1)S扇形12，S矩形1，该点落在扇形DAE内(设为事件A)的概率P(A).(2)如题干图，若使直线AP与线段BC有公共点，须使点P在直线AC的下方，tanBAC，BAC30，所以直线AP与线段BC有公共点(设为事件B)的概率P(B).几何概型问题中，所有可能出现的基本事件有无
3、限个几何概型中的“几何”并非仅仅是数学上的长度、面积或体积，许多相关或类似问题其性质与长度、面积或体积相似，也可归结为几何概型问题如时间问题，其性质与直线问题相似，所以与时间相关的概率问题也可以看作几何概型问题计算几何概型问题的重点是怎样把具体问题(如时间问题)转化为相应类型的几何概型问题；难点是基本事件总体与事件A包含的基本事件对应的区域的长度、面积、体积的运算例2从甲地到乙地有一班车在930到1000到达，若某人从甲地坐该班车到乙地转乘945到1015出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解到达乙地的时间是930到1000之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是945到1015之间的
4、任一时刻，如果在平面直角坐标系中用x轴表示班车到达乙地的时间，y轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为0.5的正方形设“他能赶上车”为事件A，则事件A的条件是xy，构成事件A的区域为图中的阴影部分由几何概型公式，得P(A)0.875，即他能赶上车的概率为0.875.利用随机模拟试验，可以估计几何概型的概率，也可以估算不规则图形的面积例3甲、乙两辆班车都要停在同一停车位，它们可能在一天中的任意时刻到达如果这两辆班车的停车时间都是一个小时，求有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率分析甲、乙两辆班车停在同一停车位的时刻都是一天24小时中的任
5、何时刻，可以分别用两组0,24区间上的均匀随机数x，y表示，两辆车在同一个小时内到达停车场的条件为|xy|1，可以用随机模拟方法求概率解记事件A有一辆班车停车时必须等待一段时间S1用计数器N记录所做试验的次数，用计数器N1统计满足|xy|1的点的个数首先置N0，N10.S2用变换rand()*24产生两个024之间的随机数x和y，用它们来表示班车的横坐标和纵坐标S3统计N和N1的值S4计算频率，即有一辆班车停车时必须等待一段时间的概率例4利用随机模拟方法计算图中阴影部分(曲线y2x与x轴、x1所围成的部分)的面积分析在坐标系中画出正方形，可以用随机模拟的方法求出阴影部分的面积与正方形的面积之比
6、，从而求得阴影部分的面积解S1用计数器N记录所做试验的次数，用计数器N1统计满足b2a的点的个数，首先置N0，N10.S2用变换rand()*21产生两个11之间的随机数a和b，用它们表示点的横坐标和纵坐标S3统计试验总次数N和落在阴影内的点数N1(满足条件b2a的点(a，b)的个数)；S4计算频率，即落在阴影部分的概率的近似值；S5设阴影面积为S，则用几何概型公式求得点落在阴影部分的概率为P.所以，所以S即为阴影部分面积的近似值注解决本题的关键是利用随机模拟法和几何概率公式求得几何概率，然后通过解方程求阴影部分面积的近似值选错几何度量例在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一
7、条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率错解设“AMAC”为事件A.在AB边上取ACAC，在ACB内任作射线CM可看作是在线段AC上任取一点M，过C，M作射线CM，则概率为P(A).正解设“AMAC”为事件A，在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM在任何位置都是等可能的，在AB上取ACAC，则ACC67.5，故满足条件的概率为P(A)0.75.1数形结合思想例1小王在公共汽车站等车上班，可乘坐6路车和4路车，6路车10分钟一班，4路车15分钟一班，求小王等车不超过8分钟的概率解如图，设x轴表示4路车的到站时间，y轴表示6路车的到站时间记“8分钟内乘坐6路或4路车”为事件A，则构
8、成事件A的区域为图中阴影部分，面积为81078136，整个区域的面积为1015150，那么P(A).故小王等车不超过8分钟的概率为.点评本题中两路公共汽车到站时间恰好是两个变量，抓住两车到站时间的间隔，即可化为“约会型”概率问题几何概型是最典型的应用数形结合思想解决问题的数学模型求解符合几何概型事件的概率时，关键是正确构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的测度之比求随机事件的概率2转化思想例2在1,1上任取两个实数a、b，求二次方程x22axb20有两个非负实数根的概率分析方程x22axb20有实根时，应有4a24b20即|a|b|，且事件A应使方程x22axb20有两个非负实根，所以1a0
9、.所以a、b满足还需满足1b1，因此事件A要同时受到a、b的制约，所以构成事件A的区域应为二维空间，所求概率应为在平面直角坐标系中，满足的区域面积和a1，b1四条直线围成的区域面积的比值解在平面直角坐标系中，点(a，b)所在的区域为如右图所示的正方形及其内部若使方程x22axb20有两个非负实根，则必须满足设x22axb20有两个非负实根为事件A，则A所在的区域为图中阴影部分(包括边界)，阴影部分的面积为1，所以事件A发生的概率为P(A).点评在了解几何概型的基础上，解决实际几何概型问题与古典概型一样，都属于比例型解法，本题图中的a、b也可以交换位置，得出的结果将会是相同的；几何概型有长度型、
10、面积型、体积型等类型1(2009辽宁)四边形ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A. B1C. D1解析如图，要使图中点到O的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P1.答案B2(2011福州模拟)为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其色包含在内，并向正方形内随机投掷800个点已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是_解析由题意得正方形面积为S正36.点落在阴影部分的概率为P阴影部分的面积为S阴369.答案93(2011湖南)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，则P(A)_.解析由题意可得，事件A发生的概率P(A).答案
