1、巩固层知识整合提升层题型探究平面的基本性质及应用【例1】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ，直线A1C与平面BDEF的交点为R.(1)证明：B，D，E，F四点共面(2)证明：P，Q，R三点共线(3)证明：DE，BF，CC1三线共点证明(1)连接B1D1，因为EF是D1B1C1的中位线，所以EFB1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，所以EFBD所以EF，BD确定一个平面，即B，D，E，F四点共面(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为，又设平面BDEF为，因为QA1C1，所以
2、Q.又因为QEF，所以Q.则Q是与的公共点，同理，P点也是和的公共点，所以PQ.又因为A1CR，所以RA1C所以R且R.则RPQ.故P，Q，R三点共线(3)因为EFBD，且EFBD，所以DE与BF一定相交，设交点为M，因为BF平面BCC1B1，DE平面DCC1D1，且平面BCC1B1平面DCC1D1CC1，所以MCC1，所以DE，BF，CC1三线共点1证明点共线问题的常用方法基本事实法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本事实3证明这些点都在交线上同一法选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上2.证明线共点问题的方法证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线
3、的交点，再证明其他直线都经过该点而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点3证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合1如图，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()AA，M，O三点共线BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O不共面DB，B1，O，M共面A连接A1C1，AC，则A1C1AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为MA1C，所以M平面ACC1A1
4、，又M平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，因为平面ACC1A1平面AB1D1AO，所以MAO，所以A，M，O三点共线平行问题【例2】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由解当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图，连接AC和BD交于点O，连接FO，则PFPB四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点OFPD又OF平面PMD，PD 平面PMD，OF平面PMD又MAPB，MAPB，PFMA，PFMA四边形
5、AFPM是平行四边形AFPM.又AF平面PMD，PM 平面PMDAF平面PMD又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC平面AFC平面PMD(1)证明线线平行的依据,平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理.(2)证明线面平行的依据定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质.(3)证明面面平行的依据,定义；面面平行的判定定理；垂直于同一直线的两平面平行；面面平行的传递性.2已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的有_(写出所有正确命题的序号)若，则；若mn，m，则n；若n，m，m，则mn；若
6、m，mn，则n.对于，若，则与的位置关系是垂直或平行，故错误；对于，若mn，m，则n可能在内或平行于，故错误；对于，若n，m，m，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断mn，故正确；对于，若m，mn，则n可能在内或平行于，故错误垂直问题【例3】如图所示，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，AD2BC，DABABP90.(1)求证：AD平面PAB；(2)求证：ABPC证明(1)因为DAB90，所以ADAB因为平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCDAB，所以AD平面PAB(2)由(1)知ADAB，因为ADBC，所以BCAB又因为ABP90，所以PBAB因为PBBC
7、B，所以AB平面PBC，因为PC平面PBC，所以ABPC在本例(1)中，若点E在棱PD上，且CE平面PAB，求的值解过E作EFAD交PA于F，连接BF.因为ADBC，所以EFBC所以E，F，B，C四点共面又因为CE平面PAB，且CE平面BCEF，平面BCEF平面PABBF，所以CEBF，所以四边形BCEF为平行四边形，所以EFBCAD在PAD中，因为EFAD，所以，即.证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，
8、判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想几何体的表面积和体积【例4】已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_36如图，连接AO，OB，SC为球O的直径，点O为SC的中点，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，设球O的半径为R，则OAOBR，SC2R.VSABCVASBCSSBCAOAO，即9R，解得R3，球O的表面积为S4R243236.球及其切、接问题的解决方法(1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是
9、外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.(2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.3算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么，近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中
10、的近似取为()AB C DB圆锥的体积Vr2hh，由题意得12，近似取为，故选B简单的空间角问题【例5】已知四棱锥P ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为()AB CDC设四棱锥PABCD的棱长为1，ACBDO，则O是AC与BD的中点，连接OE，又E是PB的中点，所以由三角形中位线定理，得OEPD，OEPD，则AEO或其补角是异面直线AE与PD所成的角又PAB是等边三角形，所以AEAB.易得OAOBOCOD，在OAE中，由余弦定理，得cosAEO，即异面直线AE与PD所成角的余弦值为.用平移法求异面直线所成的角的步骤一作即根据定义作平行线，作
11、出异面直线所成的角二证即证明作出的角是异面直线所成的角三求解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角4如图，在圆锥PO中，已知PO底面O，PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值解(1)证明：连接OCPO底面O，AC底面O，ACPO.OAOC，D是AC的中点，ACOD又ODPOO，AC平面POD又AC平面PAC，平面POD平面PAC(2)在平面POD内，过点O作OHPD于点H.由(1)知，平面POD平面PAC，又平面POD平面PACPD，OH平面PAC又PA平面PAC，PAOH.在平面PAO中，过点O作OGPA于点G，连接HG，则有PA平面OGH，PAHG.故OGH为二面角BPAC的平面角C是的中点，AB是直径，OCAB在RtODA中，ODOAsin 45.在RtPOD中，OH.在RtPOA中，OG.在RtOHG中，sinOGH.cosOGH .故二面角BPAC的余弦值为.
