1、第五节指数与指数函数考情展望1.直接考查指数函数的图象及其性质.2.以指数与指数函数为知识载体，考查指数幂的运算和函数图象的应用.3.以指数函数为载体与函数方程、不等式等内容交汇命题一、指数幂的概念与性质1根式的定义若xna，则x叫做a的n次方根，其中n1且nN*.式子叫做根式2根式的性质：()n_a_；3分数指数幂(1)正分数指数幂是：a(a0，m，nN*，n1)；(2)负分数指数幂是：a(a0，m，nN*，n1)；(3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义4有理数指数幂的运算性质：arasars(a0，r、sQ)；(ar)sars(a0，r、sQ)；(ab)rarbr(a0，b0，
2、rQ)二、指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1当x0时，0y0，且a1)的图象可能是()【解析】当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，排除A，B.当0a1时，yax为减函数，且在y轴上的截距为10，故选D.【答案】D考向一 022指数幂的化简与求值化简：(1)(a0，b0)；(2)(0.002)10(2)1()0.【思路点拨】将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算【尝试解答】(1)原式a1b12ab1.(2)原式150010(2)11010201.规律方法11.这类问题的求解，首先将根式、分数指
3、数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序2当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数3运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数对点训练计算：(1)；(2)(0.027)2(1)0；(3)已知mm4，求.【解】(1)原式(aa)(aa)(a3)(a2)aa1.(2)原式(7)2149145.(3)mm4，mm1216，mm114，mm1114115.考向二 023指数函数图象的应用已知f(x)|2x1|，(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)f(x)x2
4、零点的个数【思路点拨】(1)作出f(x)的图象，数形结合求解(2)在同一坐标系中分别作出f(x)、f(x1)图象，数形结合求解(3)在同一坐标系中分别作出函数f(x)与yx2的图象，数形结合求解【尝试解答】(1)由f(x)|2x1|可作出函数的图象如图因此函数f(x)在(，0)上递减；函数f(x)在(0，)上递增(2)在同一坐标系中分别作出函数f(x)、f(x1)的图象，如图所示由图象知，当|2x011|2x01|时，解得x0log2，两图象相交，从图象可见，当xlog2时，f(x)f(x1)；当xlog2时，f(x)f(x1)；当xlog2时，f(x)f(x1)(3)将g(x)f(x)x2的
5、零点转化为函数f(x)与yx2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f(x)|2x1|和yx2的图象如图所示，有四个交点，故g(x)有四个零点规律方法2 1.指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解.2.一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解.对点训练若直线y2a与函数y|ax1|(a0，a1)的图象有两个公共点，求实数a的取值范围【解】分底数0a1与a1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：从图中可以看出，只有当0a1，且02a1，即0a
6、时，两函数才有两个交点所以实数a的取值范围为.考向三 024指数函数的性质及其应用(1)函数f(x)x24x3的单调递减区间为_，值域为_(2)(2014威海模拟)已知函数f(x)1(a0且a1)是定义在(，)上的奇函数求a的值；求函数的值域；当x(0,1时，tf(x)2x2恒成立，求实数t的取值范围【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解(2)由f(0)0求a，借助ax的范围求值域，借助二次函数恒成立的知识求t的取值范围【尝试解答】(1)令g(x)x24x3(x2)27，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上为单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减又g(x
7、)(x2)277，f(x)737.【答案】(，2)37，)(2)f(x)是定义在(，)上的奇函数，f(0)0，即10.解得a2.y，2x.由2x0知0，1y1.即f(x)的值域为(1,1)不等式tf(x)2x2等价于2x2，即(2x)2(t1)2xt20.令2xu，x(0,1，u(1,2又u(1,2时，u2(t1)ut20恒成立解得t0.故所求t的取值范围为0，)规律方法3 1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.2.对于同时含ax、a2x的表达式
8、，通常可以令tax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系.对点训练(1)函数yxx1在x3,2上的值域是_(2)已知函数f(x)(a0且a1)求f(x)的定义域和值域；讨论f(x)的奇偶性；讨论f(x)的单调性【解析】(1)因为x3,2，若令tx，则t，则yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.【答案】(2)f(x)的定义域是R，令y，得ax.ax0，0，解得1y1，f(x)的值域为y|1y1f(x)f(x)，f(x)是奇函数f(x)1.设x1，x2是R上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).x1x2，当a1时，ax2ax10
9、，从而ax110，ax210，ax1ax20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的增函数，当0a1时，ax1ax20，从而ax110，ax210，ax1ax20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)为R上的减函数.思想方法之五指数幂大小比较的绝招构造法构造法是通过对问题的观察、分析，抓住特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造新的数学模型来达到解题目的在幂的大小比较中，常用的构造方式有两种：(1)构造幂函数，该方法适合“同指不同底”的两个实数的大小比较(2)构造指数函数，该方法适合“同底不同指”的两个实数的大小比较在此基础上，借助该函数的性质(单调性等)比较两个数值的大小1个示范例1个对点练(2012天津高考)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()AcbaBcabCbac Dbca【解析】b0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cba.设y140.9，y280.48，y31.5，则()Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3 Dy1y3y2【解析】y140.921.8，y280.4821.44，y31.521.5.1.81.51.44，且y2x在R上单调递增，y1y3y2.【答案】D
