1、安一中20152016学年度高二（上）期末考数学（理）试卷本试卷考试范围：立体几何、选修2-2（导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数的引入）。试卷分第I卷和第II卷，共4页，满分150分，考试时间120分钟。请把答案写在答题卡上。第I卷（选择题，共60分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）：1 （ ）A B C D2复数的共轭复数对应的点位于复平面内（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）A B C D4函数，若，则a的值等于()A B C D 5下列函数求导运算正确的个
2、数为()；A B C D6设函数的图像如右图，则导函数的图像可能是下图中的()7如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（ ） A.B. C. D. 8若直线与曲线相切，则的值为（ ）A B C或 D9若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围 （ ）A B C D10若则（ ）A. B. C. D.111平面几何中，若的内切圆半径为，其三边长分别为则的面积。类比上述命题，若三棱锥的内切球半径为R，其四个面的面积分别为猜想三棱锥体积V的一个公式。若三棱锥的体积V，其四个面的面积均为，根据所猜想的公式
3、计算该三棱锥的内切球半径R为（ ）A B C D12已知定义在R上的函数满足，则曲线在点处的切线方程是（ ）A B C D第II卷（非选择题，共90分）二填空题（共4小题，每小题4分，共16分。）：13在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 . 14的值等于 . 15函数在处有极值10，求的值为 .16若函数=的图像关于直线对称，则的最小值是 .三解答题（本大题共6小题，共74分。):17（本小题12分）观察下列等式： 第一个等式 第二个等式 第三个等式 第四个等式照此规律下去：（）写出第五个等式；（）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想 18（本小题12分）已知函数（I）求
4、函数的单调递减区间；（II）若在上恒成立，求实数的取值范围；19（本小题12分）ABD1C1D1A1A1B1A1C1A1AA1BAA1CAA1EAA1DAA1三棱柱中，, ,，点、分别为、的中点。（1）求三棱锥的体积（2）求证：面(3) 求证：面面20（本小题12分）某种商品每件进价9元，售价20元，每天可卖出69件若售价降低，销售量可以增加，且售价降低元时，每天多卖出的件数与成正比已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件(）试将该商品一天的销售利润表示成的函数；(）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？A1D1A1C1D1A1B1D1C1D1A1BD1C1D1A1CBD1C1D1A1,，
5、DBD1C1D1A1M21（本小题12分）如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值22（本小题14分）已知函数 （）当时，求函数的单调递减区间； （）当时，设函数.若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围南安一中20152016学年度高二（上）数学（理）期中考答案一选择题：16 C D A D B D 712 D C B B A A二填空题：13 14 15 16三解答题:17解：（
6、）第5个等式 ； 2分（）猜测第个等式为，4分再用数学归纳法加以证明如下：（1）当时显然成立；5分（2）假设时也成立，即有 6分那么当时左边而右边这就是说时等式也成立11分根据（1）（2）知，等式对任何都成立 12分18（本小题12分）解：（）得 3分 函数的单调递减区间是； 5分 （）即 设则 9分 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增； 最小值实数的取值范围是； 12分19解：（1），又，且，BC是三棱锥的高。 4分（2）设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A1BD1C1D1A1A1B1A1C1A1AA1BAA1CAA1EAA1DAA1所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，C
7、(0，0，0)，A1(1，0，2) ，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)因此E(0，0)，D(1，0，1)所以=设平面BC1D的一个法向量n(x，y，z)，由得： n(1，2，1) 此时 n。 n面 8分 （3）设平面BCD的一个法向量m(x，y，z)，由得： m(1，0，)此时m n(1，0，)(1，2，1)=0m n得证：面面 12分20解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为，又每件商品的利润为元，每天卖出的商品件数为该商品一天的销售利润为（2）由令可得或 当变化时，、的变化情况如下表：06110+0759极小值极大值9750当商品售价为14元时，一天销售利润最大，最大值为975元2
8、1解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又M是AB的中点，所以CDMA且CDMA.连接AD1.因为在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，CDC1D1，CDC1D1，所以C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此，C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)方法一：连接AC，MC.由(1)知，CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形，所以BCADMC.由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.设C为坐标原点，建立如图所示的空间直角
9、坐标系C xyz.所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，)因此M，所以，.设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0，0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.22（本小题14分）解：（）的定义域为，当时，.由得或.当，时，单调递减.的单调递减区间为,.当时，恒有，单调递减.的单调递减区间为.当时，.由得或.当，时，单调递减.的单调递减区间为,.综上，当时，的单调递减区间为,；当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为, .6分（）当时，当时，在上单调递增.又在上恒成立.在上单调递增.由题意，得原问题转化为关于的方程在上有两个不相等的实数根. .9分即方程在上有两个不相等的实数根.令函数.则. 令函数.则在上有.故在上单调递增.，当时，有即.单调递减；当时，有即，单调递增.，的取值范围为 14分
