1、湖南省株洲市2019-2020学年高一数学下学期调研考试试题（含解析）第卷（选择题）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，因此，.故选：B.【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了指数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.如果，在同一条直线上，则的值为（ ）A. B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】根据，在同一条直线上，则有，再利用坐标求解即可.【详解】因为，所以 ，又因为，在同一条直线上，则，所以，解得.故选：D【点睛】本题主要考查点共线问题以及共线向量定理的坐标运算，还考查了运算求解
2、的能力，属于基础题.3.已知，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、三个数与的大小关系，由此可得出、的大小关系.【详解】，.故选：A.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题.4.下列哪个函数在区间上单调递增（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性判断函数的单调区间即可求解.【详解】对A，在定义域上是增函数，所以在上单调递增，故选项A正确；对于B，在上单调递减，故选项B错误；对于C，上单调递增，故C选项错误
3、；对于D，的对称轴为，函数在上单调递减，故D选项错误.故选：A【点睛】本题主要考查了基本初等函数单调性的应用，考查了推理能力，属于容易题.5.一个装有水的圆柱形玻璃杯的内半径为，将一个玻璃球完全浸入水中，杯中水上升了，则玻璃球的半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用球的体积等于水上升的体积即可求解【详解】由设玻璃球的体积为，水上升的体积为，则有，设玻璃球的半径为，则有，可得，所以，则玻璃球的半径为故选：B【点睛】本题考查球的体积的相关知识，属于基础题6.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平
4、移个单位【答案】B【解析】【分析】函数，根据平移规则，得到答案.【详解】因为函数，所以为得到得到函数的图象，需向右平移个单位从而得到故选：B.【点睛】本题考查描述正弦型函数图像的平移过程，属于简单题.7.已知是两条不重合的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，是异面直线，那么与相交B. 若/,，则C. 若，则/D. 若/，则【答案】D【解析】【分析】采用逐一验证法，结合线面以及线线之间的位置关系，可得结果.【详解】若，是异面直线, 与也可平行，故A错若/，也可以在内，故B错若也可以在内，故C错若/，则，故D对故选：D【点睛】本题主要考查线面以及线线之间的位置关系，属基础题.
5、8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由对数的性质可得，所给两对数求和再由可求出，得解.【详解】，即，.故选：C【点睛】本题考查对数的运算性质、同角三角函数的平方关系，属于基础题.9.已知函数分别由下表给出：123123131321则满足的的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 1和2【答案】B【解析】【分析】由题意按照、分类讨论，先求出内函数的函数值，再求出外函数的函数值，逐个判断即可得解.【详解】当时，不合题意；当时，符合题意；当时，不合题意；综上，满足的的值为2.故选：B.【点睛】本题考查了函数的表示法：列表法的应用，考查了运算求解能力，要注意先求出内函数
6、的函数值后再求外函数的函数值，属于基础题.10.某种产品的有效期（单位：天）与储藏的温度（单位：）满足关系式（，、为常数），若该产品在0下的有效期为192天，在33下的有效期是24天，则该产品在22的有效期为（ ）A. 45天B. 46天C. 47天D. 48天【答案】D【解析】【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出，的值，运用指数幂的运算性质求解即可【详解】解：为自然对数的底数，为常数）当时，当时，当时，故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解，属于基础题11.在三棱锥中，侧棱，两两垂直，、的面积分别为1、3，则三棱
7、锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】三棱锥中，侧棱、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的对角线就是球的直径，求出长方体的三度，转化为对角线长，即可求解外接球的表面积【详解】解：三棱锥中，侧棱、两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径，设长方体的三度为，由题意得：，解得：，所以球的直径为：它的半径为，球的表面积为；故选：A【点睛】本题是基础题，考查几何体的外接球的体积，三棱锥转化为长方体，两者的外接球是同一个，以及长方体的对角线就是球的直径是解题的关键所在12.设、分别是函数和的零点（其中），则的取值范围是（
8、 ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】函数的零点即方程的解，将其转化为图象交点问题，又由函数图象特点，得到交点的对称问题，从而求解【详解】解：由设，分别是函数和的零点（其中，可知是方程的解；是方程的解；则，分别为函数的图象与函数和函数的图象交点的横坐标；设交点分别为，由，知；又因为 和 以及的图象均关于直线对称，所以两交点一定关于对称，由于点，关于直线的对称点坐标为，所以，有，而则即故选：C【点睛】本题考查了函数的概念与性质、对数函数以及指数函数，属于中档题第卷（非选择题）二、填空题13.设函数，若是奇函数，则_【答案】（或）【解析】【分析】由是奇函数可得，代入即可得解.【详解
9、】因为是奇函数，所以，则.故答案为：【点睛】本题考查分段函数的性质、函数奇偶性的应用，属于基础题.14.已知，且是第三象限的角，则_.【答案】.【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系解方程即可得解.【详解】，是第三象限的角，即，由得：，所以.故答案为：点睛】此题考查同角三角函数基本关系，根据正切值求正弦值，利用平方关系建立等式，解方程求解.15.已知直线与圆相交于，两点，则_【答案】【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再由垂径定理求弦长【详解】解：因为，所以，圆心为，半径；直线，即，所以所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查利用垂径定理求弦长，属于
10、基础题16.如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题意作出满足条件的图形，由线面位置关系找出截面即可求出答案.【详解】当时，即Q为中点，如图，可得，故可得截面为等腰梯形，由上图当点Q向C移动时，满足，只需在上取点M满足，即可得截面为四边形，如图，截面四边形在底面上投影为梯形APCD，面积恒为定值,故当时，截面面积,故答案为：【点睛】本题主要考查正方体的截面问题，考查了学生的空间想象和思维能力，借助于特殊点分析问题是解决该题的关键，属于中档题.三、解答题17.如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边
11、与单位圆交于点，且点的纵坐标为（1）求，的值；（2）先化简再求值：【答案】（1），；（2）原式【解析】【分析】（1）由题意可得，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；（2）利用诱导公式化简，再代入求值即可；【详解】解：（1）由题知，因为，所以，又为第二象限角，所以，（2）原式【点睛】本题主要考查了三角函数定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题18.已知函数图象上相邻的两个最值点为，（1）求的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】（1）；（2）；（3）最大值2，最小值【解析】【分析】(1)由相邻的两个最值点为，可得出
12、及半个周期，可以求出，再代入求出，从而可求出的解析式；(2) 以为整体代入正弦函数的递增区间即可求出函数的单调递增区间；(3) 令，则函数可转化为再根据题意的已知条件，可得到，由时，可得出从而可得出有最大值2，有最小值；【详解】解析：由题知，周期方面：，所以，所以，代入点，有，又因，所以，所以（2）由，得，所以函数的单调递增区间为（3）令，则因为，所以，当时，所以当即时有最大值2；当即时，有最小值；【点睛】本题考查了根据图像上的点求三角函数的解析式，再由解析式求单调区间以及函数最值，属于一般题.19.如图，三棱柱中，面，点，分别是线段，的中点.（1）求证：面；（2）设平面与平面的交线为，求证【
13、答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】【分析】（1）首先由线面垂直的性质定理可得，再由，利用线面垂直的判定定理证明可得；（2）连接，首先可证平面，根据线面平行的性质定理可得线线平行；【详解】解：（1）证明：因为平面，平面，所以又因为，平面，平面，所以平面（2）连接，因为、分别是线段、的中点，所以，又平面，平面，所以平面因为平面，平面，平面平面，所以【点睛】本题考查线面平行的性质定理、判定定理的应用，线面垂直的性质定理及判定定义的应用，属于中档题.20.某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万
14、元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示（1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数；（2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？【答案】（1）甲产品的利润函数为；乙产品的利润函数为；（2）详见解析【解析】【分析】（1）由题意设、，分别代入点的坐标即可得解；（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，由题意列出总利润的函数，换元后利用二次函数的图象与性质分类讨论即可得解.【详解】（1）由题意设甲产品的利润函数为，乙产品的利润函数为由函数经过点，则即，所以；函数经过点，则即，所以；（2）设乙产品
15、的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，所获得总利润为万元，则，令，则，该函数图象开口向下，对称轴为，所以当即时，函数在上单调递增，当即时，有最大值；当即时，函数在上递增，在上递减，当即时，有最大值综上可知，当时，乙产品投资万元，甲产品不作投资，该公司可获得最大利润，最大利润为万元；当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元【点睛】本题考查了函数的应用，考查了二次函数性质的应用与分类讨论思想，解题的关键是根据实际问题建立适当的数学模型，属于中档题.21.在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
16、（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）先求出圆的标准方程，再根据过一定点求圆的切线问题，先判断点在圆外，再分切线斜率存在和不存在两种情况，再利用圆心到切线的距离为半径，求出切线方程.（2）根据，求出点的轨迹方程为圆，则为圆和所求轨迹方程圆的交点，再根据两圆相交的位置关系求出圆心的横坐标的取值范围.【详解】解析：联立，解得，得圆心，又圆的半径为1，所以圆的方程为因为，所以点在圆外面所以过点的圆的切线一定有两条，设所求切线的斜率为，则切线方程为，圆心到切线的距离为，由切线性质知，解得所以切线方程为，得又当切线的斜率不存在时，切线方程为，经验证
17、符合题意，所以所求切线方程为或（2）设，由得，平方得：整理得：即满足的点的轨迹为一圆，圆心为，半径为2又点在圆上，所以只需两圆有交点即可，即由题知，圆心在直线上，所以可设，代入上式可得，整理得，解得综上所述，实数取值范围是【点睛】本题考查了圆的标准方程，过定点的圆的切线问题，两圆的位置的关系相关问题.22.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“函数”（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上是“函数”，求的取值范围；（3）已知函数在定义域上为“函数”若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值【答案】（1）不是“函数”，理由
18、详见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）用反例判断函数不是“函数”；（2）根据函数在定义域 是“函数”，探索得到的关系式，再求得的取值范围；（3）在（2）的基础上，将不等式，应用分离变量求最值.【详解】解：函数不是“函数”，理由如下：若是“函数”取，存在，使得即，整理得，但是，矛盾，所以不是“函数”（2）在上单调递增，取，则存在，使得，如果，取，则存在，使得，因为在上单调递增，所以所以又，所以，上式与之矛盾，所以假设不成立，所以即，即，整理得因为，所以，又，所以的取值范围是因为，所以的取值范围是（3）函数的对称轴为，且，当在定义域上为“函数”时，必有所以函数在上单调递增，由（2）知，必有，即,解得由，对任意的恒成立，知整理得令，则在上单调递增，因为是存在，使得成立，所以综上所述，实数的最大值为【点睛】本题考查了函数的新定义的理解与应用，函数的单调性以及转化思想的运用，考查发现问题能力与解决问题的能力，是一道难度很大的题.
