1、必考解答题中档巩固练(一)立体几何1如图，已知四边形ABCD是矩形，AB2BC2，PAB是正三角形，且平面ABCD平面PCD.(1)若O是CD的中点，证明：BOPA；(2)求二面角BPAD的余弦值(1)证明平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，AD平面ABCD，而四边形ABCD是矩形，ADCD，AD平面PCD.又PD平面PCD，ADPD，同理BCPC.直角ADP和直角BCP中，ADBC，PAPB，PCPD.取AB的中点Q，连接OP，OQ，则OC，OP，OQ两两垂直以O为原点，分别以OC，OP，OQ为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系AB2BC2，A(1,0,1)，B(1,0,1
2、)又PAB是正三角形，PCD是等腰三角形，OP，P(0，0)从而，(1,0，1)，(1，1)，1(1)0()(1)10.所以，BOPA.(2)解由(1)，(1，1)，(2,0,0)设平面BPA的法向量为n1(x1，y1，z1)，由取y11，解得所以平面BPA的一个法向量为n1(0,1，)又(1，1)，(0,0,1)，设平面DPA的法向量为n2(x2，y2，z2)，由取y21，解得所以平面DPA的一个法向量为n2(，1,0)cos.因为法向量n1和n2均指向二面角BPAD外，所以二面角BPAD的平面角与角互补，故二面角BPAD的余弦值为.2如图，几何体ABCDB1C1D1中，四边形ABCD为菱形
3、，BAD60，ABa，平面B1C1D1平面ABCD，BB1，CC1，DD1都垂直于平面ABCD，且BB1a，E为CC1的中点，F为AB的中点(1)求证：DB1E为等腰直角三角形；(2)求二面角B1DEF的余弦值(1)证明连接BD，交AC于O，四边形ABCD为菱形，BAD60，BDa，BB1，CC1都垂直于平面ABCD，BB1CC1，又平面B1C1D1平面ABCD，BCB1C1，四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1BCa.BB1，CC1，DD1都垂直于平面ABCD，则DB1a，DE，B1E，DE2B1E23a2DB，DB1E为等腰直角三角形(2)解取DB1的中点H，O，H分别为DB，DB1
4、的中点，OHBB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，则D，E，B1，F，1(0，a，a)，.设平面DB1E的法向量为n1(x1，y1，z1)，则n110，n10，即ay1az10且ax1y1az10，令z11，则n1(0，1)，设平面DFE的法向量为n2(x2，y2，z2)，则n20，n20，即ax2ay20且ax2y2az20，令x21，则n2，则cos，则二面角B1DEF的余弦值为.3在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，且ABPABC(a0)(1)当a1时，证明：BDPC；(2)若BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD，求此时二面角APDQ的余弦值(
5、1)证明连接AC，当a1时，底面ABCD为正方形，BDAC.又PA平面ABCD，BDPA，又ACPAA，BD平面PAC，又PC平面PAC，BDPC.(2)解AB、AD、AP两两垂直，分别以它们所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，不妨设AB1，则B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，P(0,0,1)，设BQm(0ma)，则Q(1，m,0)，(1，m，1)，(1，am,0)要使PQQD，只要1m(am)0，1m(am)2，解得a2.由此可知a2时，BC边上存在点Q，使得PQQD，当且仅当mam，即m时，BC边上有且只有一个点Q，使得PQQD，由此可知a2
6、，(1,1,0)，(0，2,1)设平面PQD的法向量p(x，y,1)则，即，解得p，p为平面PQD的一个法向量取平面PAD的一个法向量q(1,0,0)，由图可知，的大小与二面角APDQ的大小相等，cos，二面角APDQ的余弦值为.4如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)求证：A1C平面BCDE；(2)试在线段A1D上确定一点M，使得CM与平面A1BE所成的角为45.(1)证明折起前BCAC，DEBC，DEAC.折起后，仍有DEA1D，DECD，DE平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，DECDD，A1C平面BCDE.(2)解如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A1(0,0,2)，D(0,2,0)，B(3,0,0)，E(2,2,0)(3,0，2)，(1,2,0)设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则由nn0，得令x2，则y1，z，n(2,1，)依题意设t，又(0，2,2)，(0，2t,2t)，(0,2,0)(0，2t,2t)(0,22t,2t)CM与平面A1BE所成的角为45，sin45|cos|，解得t，即，故当M为线段A1D的中点时，CM与平面A1BE所成的角为45.
