1、数学人教B必修2第一章1.2.1平面的基本性质与推论1理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论2了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系3能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用1空间点和直线的基本性质(1)连接两点的线中，_最短(2)过_有一条直线，并且只有一条直线2平面的基本性质文字语言图形语言符号语言基本性质1如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上的_都在这个平面内这时就说，直线_或平面_若Al，Bl，A，B，则_基本性质2经过不在同一条直线上的三点，_一个平面，简称为不共线的三点_一个平面若A，B，C三点不共线，
2、则有且只有一个平面，使A，B，C基本性质3如果不重合的两个平面_，那么它们_一条过这个点的公共直线这条公共直线叫做这两个平面的_若A，A，则l且Al【做一做11】若点B在直线b上，b在平面内，则B，b，之间的关系可以记作()ABb BBbCBb DBb【做一做12】若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是()A1个B2个C1个或无数个D无数个且在同一条直线上【做一做13】如果直线a平面，直线b平面，Ma，Nb且Ml，Nl，那么()Al BlClM DlN3平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，_个平面推论2：经过两条_直线，有且只有一个平面推论3：经过两条_直线，有且只有一
3、个平面空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们_【做一做21】下列命题正确的是()一条直线和一个点确定一个平面；两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面；四个点确定一个平面A BC D【做一做22】由4条平行直线最多可以确定()A2个平面 B4个平面C5个平面 D6个平面4空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内_平行直线_没有_不同在任何一个平面内没有【做一做3】下列说法正确的是()A四边形是平面图形B有三个公共点的两个平面必重合C两两相交的三条直线必在同一个平面内D三角形是平面图形5异面直线(1)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出
4、它们既不_又不_的特点，即_的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如下图(2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线【做一做4】在正方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1成异面直线的棱有_条1对异面直线的理解剖析：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线例如，如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面2平面的基本性质的作用剖析：(1)基本性质1的作
5、用利用基本性质1可以判断一条直线是否在一个平面内基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义，从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形，在每个平面内都可以用初中的平面几何知识另外，该基本性质也是判断点在平面内的方法，还可借此用直线来检验平面(2)基本性质2的作用作用之一是确定平面，作用之二是可用它来证明点、线共面问题(3)基本性质3的作用平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定两个平面的交线有着重要的作用其一，它是判定两个平面是否相交的依据，也就是说，只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交；其二，它可以证多点共线的问题若点是某两个平面的公共点，则
6、该点必定在这两个平面的交线上3教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？剖析：都共面，如图所示，abA，过b上任意一点B作ca，则a，c可确定一个平面.因为Aa，所以A.又因为Bc，所以B，所以AB，即b.所以a，b，c共面同理在a上任取一点作b的平行线，都与a，b共面，所以这些平行线都共面题型一 文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示l，Al，AB，AC.分析：本题实质是数学的三种语言：符号语言、文字语言、图形语言之间的互译反思：符号语言简洁，
7、层次感强文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便题型二 共线问题【例2】如图所示，已知ABC的三边所在的直线分别与平面交于P，Q，R三点求证：P，Q，R三点共线分析：证明P，Q，R三点均在平面ABC与平面的交线上反思：证明点共线，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这一直线上，也可证明所有点都在一条特定直线(两平面交线)上题型三
8、共面问题【例3】如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交求证：a，b，c三线共面分析：有两种方法(1)先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；(2)先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内反思：本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路是先用部分对象确定一个平面，后证明剩余对象亦在其中题型四 共点问题【例4】三个平面，两两相交于三条直线，即c，a，b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点分析：直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)反思：证明三线共点的思
9、路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题题型五 交线问题【例5】如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.分析：找两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线反思：画截面截得正方体的截面图形，关键是利用好公理，找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口题型六 易错辨析【例6】在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有_两两相交的三条直线三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交三个点三条直
10、线，它们两两相交，但不交于同一点错解：错因分析：不能正确理解确定一个平面所需的条件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只记得性质和推论的大概致误1与“直线l上两点A，B在平面内”含义不同的是()AlB平面过直线lC直线l上只有这两个点在内D直线l上所有点都在内2平面l，点A，点B，且Cl，但C，又ABlR，如图，过A，B，C三点确定的平面为，则是()A直线AC B直线BCC直线CR D直线AR3在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么在正方体中过P，Q，R的截面图形是()A三角形 B四边形C五边形 D六边形4如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来(1)
11、点A，B在直线a上：_；(2)直线a在平面内：_，点C在平面内：_；(3)点D不在平面内：_，直线b不在平面内：_.5木匠师傅只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳地固定，为什么？答案：基础知识梳理1(1)线段(2)两点2两点所有点在平面内经过直线l有且只有确定有一个公共点有且只有交线【做一做11】B关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系【做一做12】D利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点【做一做13】A因为Ma，Nb，a，b，所以M，N，根据基本性质1可知l.故选A
12、.3有且只有一相交平行共面【做一做21】B【做一做22】D本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定的平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.4有且只有一个在同一平面内异面直线【做一做3】D空间四边形不是平面图形，故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的；选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内故选D.5(1)平行相交不共面【做一做4】4典型例题领悟【例1】解：文字语言叙述为：点A在平面与平面的交线l上，A
13、B，AC分别在，内图形语言如下图所示【例2】证明：A，B，C是不在同一直线上的三点，过A，B，C有一个平面.又ABP，且AB，点P既在内又在内设l，则Pl.同理可证：Ql，Rl.P，Q，R三点共线【例3】证法一：bc，则b，c确定一个平面，设为，如图，令abA，acB，A，B，AB，即直线a.a，b，c三线共面证法二：a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为，如图，设acA，过A点在内作直线cb，cb，cb，cc.又c与c相交于点A，c与c重合a，b，c三线共面【例4】证明：b，a，a，b.由于直线a和b不平行，a，b必相交，设abP，如图，则Pa，Pb.a，b，P，P.又c，Pc，即交线
14、c经过点P.a，b，c三条直线相交于同一点【例5】解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线如图所示(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线如图所示【例6】正解：中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除；中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三
15、条直线不能确定一个平面，故排除；对于来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除；条件中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由基本性质2知其确定一个平面随堂练习巩固1C根据平面的基本性质1，可知只有选项C不正确2C由已知条件可知，C，A，B，所以AB.而RAB，所以R.又因为C，R，故CR.3D如图所示，延长PQ分别交CB，CD的延长线于M，N，连接MR，交BB1于E，交CC1的延长线于H，连接NH，分别交D1D，D1C1于F，G，则六边形QPERGF为截面图形4(1)Aa，Ba(2)aC(3)Db5解：根据平面的基本性质2，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
