1、南阳一中2016春期高二第一次月考理数试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A B C D2.设是可导函数，且，则（ ）A B C D3.用数学归纳法证明能被整除时，当时，对于可变形为（ ）A BC D4.已知直线是曲线的一条切线，则的值为（ ）A B C D6.函数的定义域为，对任意，则的解集为（ ）A B C D7.设点是曲线上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）A B C D8.设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集是（
2、 ）A BC D9.设的三边长分别为，的面积为，内接圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，内切圆半径为，四面体的体积为，则（ ）A B C D10.函数是定义在上的单调函数，且对定义域内的任意，均有，则（ ）A B C D11.已知函数.若函数，使得，则实数的取值范围是（ ）A B C D12.函数，若函数在上有个零点，则的取值范围为（ ）A. B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.由直线，曲线及轴所谓图形的面积为_.14.函数的单调增区间是_.15.若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是_.16.将全体正整数排成
3、一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左到右的第个数为_.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）（1）求证：；（2）已知均为实数，且，求证：中至少有一个大于.18.（12分）已知.经计算得.（1）由上面数据，试猜想出一个一般性结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想.19.（12分）某地区的电价为，年用电量为，今年电力部门计划下调电价以提高用电量，增加收益.下调电价后新增的用电量与实际电价和原电价的差的平方成正比，比例系数为.该地区电力的成本是.（1）写出电力部门收益与实际电价之间的函数关系式；（2）随着的变化，的变化有何规律；
4、（3）电力部门将电价定为多少，能获得最大收益？20.（12分）设，点是函数与的图象的一个公共点，两函数的图象在点处有相同的切线.（1）用表示；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.21.（12分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围.22.（12分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求所有实数的值；（3）证明：.理数答案一、选择题DBABA BBDCB CD二、填空题13. 14. 15. 16.当为偶数时，当为奇数时三、解答题17.证明：（1），将此三式相加得，.，即，与矛盾，故假设错误，原命题成立.18.（1）由题意知
5、，由此得到一般性结论：（或者猜想也行）.（2）证明：当时，所以结论成立.假设时，结论成立，即，那么，时，所以当时，结论也成立.由（1）（2）可知，上述结论对都成立，所以猜想成立.19.（1）.（2）当时函数递增，当时函数递减，当时函数递增，为函数的极值点.（3）由（2）知电力部门将电价定为时，可以获得最大收益，最大收益为亿元20.解：（1）因为函数的图象都过点，所以，即.因为，所以，即，所以.又因为在点处有相同的切线，所以，而，所以.将代入上式得，因此，故，.（2），.当时，函数单调递减.由，若，则；若，则.由题意，函数在上单调递减，则或.所以或，又当时，函数在上不是单调递减的，所以的取值范围
6、为.21.解：（1）当时，则，化简得，列表如下：x(-1,0)0(0,1)1+0-0+f(x)增极大值减极小值增函数在上单调递增，在上单调递减，且，函数在处取得极小值为，在处取得极大值为.（2）由题意得，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为；当时，令有或，当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要存在实数，使得当时，函数的最大值为，则，代入化简得，令，恒成立，故恒有，时，恒成立；当，即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，此时由题，只需，解得，又，所以此时实数的取值范围是；当时，函数在上单调递增，显然符合题意.综上，实数的取值范围是.22.解：（1）.当时，减区间为，当时，由得，由得，递增区间为，递减区间为.（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而，在区间上不可能恒成立；当时，在上递增，在上递减，令，依题意有，而，且，在上递减，在上递增，故.（3）由（2）知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时等号成立.令，则有，即，整理得，当时，分别有，叠加得，即得证.
