1、1.3二项式定理1.3.1二项式定理一、非标准1.化简(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得()A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5解析:原式=(x-1+1)4=x4.答案:A2.若展开式的第4项为含x3的项,则n等于()A.8B.9C.10D.11解析:Tk+1=xn-k(-1)kxn-2k,k0,1,2,n,因为当k+1=4时,n-2k=3,所以n=9.答案:B3.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是()A.-297B.-252C.297D.207解析:(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10展开式中含x5的项的系
2、数为=207.答案:D4.对于二项式(nN*),有以下四种判断:存在nN*,展开式中有常数项;对任意nN*,展开式中没有常数项;对任意nN*,展开式中没有x的一次项;存在nN*,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.与B.与C.与D.与解析:二项式的展开式的通项公式为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(kN*)和n=4k-1(kN*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.答案:D5.若的展开式中的常数项为84,则n=.解析:Tr+1=,令3n-=0知2n=3r.又=84,得n=9.答案:96.已知的展开式中x3的系数为,则常数a的值为.解析:Tr+1=a9-r(-1)r,令r-
3、9=3,得r=8.依题意,得(-1)82-4a9-8=,解得a=4.答案:47.233除以9的余数是多少?解:233=811=(9-1)11=911-910+99-+9-,除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.8.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为563,求展开式中的常数项.解:T5=)n-424x-8=16,T3=)n-222x-4=4.由题意知,解得n=10.Tk+1=)10-k2kx-2k=2k,令5-=0,解得k=2,展开式中的常数项为22=180.9.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:(1)n的值;(2)展开式中x5的系数;(3)含x的整数次幂的项的个数.解:已知二项展开式的通项Tk+1=(-1)k.(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.(2)令2n-k=5,得k=(2n-5)=6,所以x5的系数为(-1)6.(3)要使2n-k,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
