1、江苏省苏州市高新区第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单选题1.某校高二年级理科有物化生、物生地、物政地、物生政四种选科组合，其人数比例为，现欲用分层抽样方法抽调名学生参加英语口语抽测.若在物化生组合恰好选出了名学生，那么为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分层抽样可得出关于的等式，进而可解得的值.【详解】由题意可得，解得.故选：A.【点睛】本题考查利用分层抽样求抽取的人数，考查计算能力，属于基础题.2.已知一组数据、，这个数据的平均数为2，方差为3，则数据、的平均数、方差分别是（ ）A. 7，12B. 7，6C. 2，12D. 5，6【
2、答案】A【解析】【分析】一般的数据组数据()，的平均数为，方差为，则数据()、的平均数、方差分别、.【详解】数据、，这个数据的平均数为2，方差为3，则数据、的平均数、方差分别、，故选:A.【点睛】本题考查数据的平均数与方差的线性关系，一般的数据组数据()，的平均数为，方差为，则数据()、的平均数、方差分别、.3.用最小二乘法得到一组数据其中的线性回归方程为，若，则回归系数（ ）A. 3B. 2C. 4D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】首先求出，再利用回归直线过样本中心点，代入即可求解.【详解】，由，则，解得.故选：B【点睛】本题考查了回归直线过样本中心点，考查了计算求解能力，属于基础题
3、.4.在中、分别为、的对边，若，则的面积为（ ）A. 6B. 4C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先利用余弦定理求出，然后再利用同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式即可求解.【详解】在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以的面积为.故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形、三角形的面积公式，需熟记公式，属于基础题.5.若直线，平行，则实数的值为（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】由于，解得.故选：B.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.6.一圆与轴相切，
4、圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则此圆的方程为（ ）A. B. C. 或D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】设圆心的坐标为，可知所求圆的半径长为，根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理可得出关于的等式，求出的值，即可得出所求圆的方程.【详解】设圆心的坐标为，可知所求圆的半径长为，圆心到直线的距离，根据圆的半径、弦长的一半、弦心距满足勾股定理，可得，即，解得.因此，所求圆的标准方程为或.故选：C.【点睛】本题考查圆的方程的求解，在涉及圆的弦长问题时，要注意弦长的一半、圆的半径以及弦心距三者满足勾股定理列等式求解，考查计算能力，属于中等题.7.在三棱锥中，分别是边的中点，且，若异
5、于直线、所角，则线段等于（ ）A. B. C. 或D. 或2【答案】C【解析】【分析】利用余弦定理即可求解.【详解】因为分别是边的中点，所以， 由异于直线、所角，则或，在中，由余弦定理可得，当时，当时，所以线段等于或，故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：取） A. B. C. D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，
6、求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点的纵坐标，可计算出的长，即可得出结论.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为，由勾股定理可得，即，解得，所以，圆心坐标为，则圆的方程为，将代入圆的方程得，解得，（米）.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.二、多选题9.已知空间四边形，顺次连接四边中点所得的四边形可能是（ ）A. 空间四边形B. 矩形C. 菱形D. 正方形【答案】BCD【解析】【
7、分析】作出图形，连接、，推导出所求四边形为平行四边形，再根据和的长度和位置关系可判断出所求四边形的形状.【详解】如下图所示：连接、，设、分别为、的中点，则且，同理可得且，且，且，则四边形平行四边形.若，则，此时，四边形为矩形；若，则，此时，四边形为菱形；若且，则且，此时，四边形为正方形.故选：BCD.【点睛】本题考查空间四边形截面形状的判断，考查了空间中平行线传递性的应用，考查推理能力，属于中等题.10.在中，、分别为角、的对边，下列条件中，三角形有解的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】ABD【解析】【分析】根据确定三角形的条件可以判定ABD正确，利用正弦定理可以求得，无解.【详
8、解】A中已知条件为两边一夹角，恒有唯一解；B中已知三边，且满足较小的两边之和大于第三边，故有唯一解；C中由正弦定理得，即,解得，无解；D中已知两角一夹边，且两角之和小于180，故有唯一解，故选：ABD.【点睛】本题考查三角形的解的存在性，涉及正弦定理和确定三角形的条件.属基础题.11.关于的方程解的情况，下列叙述正确的是（ ）A. 当时，原方程无解B. 当时，原方程只有一解C. 若原方程无解，则D. 若原方程恰有一解，则【答案】ABC【解析】分析】由得，转化为函数和图象的交点个数，讨论的取值，数形结合可判断各选项的正误.【详解】由得，则关于的方程解的个数，等价于函数和的图象交点个数，对于函数，
9、两边平方得，则函数的图象表示圆的上半圆，如下图所示：当直线与函数的图象相切于第一象限时，则，此时，解得，此时直线交轴于点；当直线过点和时，则；当直线过点时，则，得，此时直线交轴于点.由图象可知，当或时，即当或时，直线与函数的图象有且只有一个交点，B选项正确，D选项错误；当或时，即当或时，直线与函数的图象没有交点，A、C选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查方程根的个数问题，将问题转化为直线与半圆图象的交点个数，利用数形结合思想求解是解答的关键，属于中等题.12.在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（ ）A. 且B. 当时，为钝角C.
10、 圆：（且）D. 圆过定点【答案】ACD【解析】【分析】将两函数联立消，利用判别式大于零可判断A；利用弦长公式以及余弦定理可判断B；求出的中垂线，圆心在中垂线上，设圆心为，根据，求出圆心，进而求出半径即可判断C；根据C选项，将方程整理成，令即可判断D.【详解】对于A，联立，消可得，二次函数与直线有两个交点，则，解得，又，故A正确；对于B，联立消可得，设，则，由弦长公式可得 ，在中， 当时，所以所以为锐角，故B错误；对于C，线段的中点为，则的中垂线为：，设圆心为，不妨设，由，即整理可得，即， 解得，所以圆心为，半径，所以圆为：，整理可得（且，故C正确；对于D，由C：（且），整理可得，方程过定点则
11、 ，解得 ，所以圆过定点，故D正确；故选：ACD【点睛】本题考查了函数与方程的关系、余弦定理、求三角形的外接圆的方程、方程过定点问题，综合性比较强，属于难题.三、填空题13.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于100个的天数为_.【答案】（天）【解析】【分析】根据频率分布直方图求出销售量不少于100个的概率即可求解.【详解】由频率分布直方图可知，销售量不少于100个的概率为，所以销售量不少于100个的天数为（天）.故答案为：（天）【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了基本运算求解能力，属于
12、基础题.14.从集合中任取两个不同的数，则两个数都是奇数的概率为_.【答案】【解析】【分析】列出满足都是奇数的情况，利用古典概型概率计算公式计算可得；【详解】解：从1，2，3，4，5这五个数中，任意取两个不同的数，两个数都是奇数为1和3，1和5，3和5，共3种，而在从1，2，3，4，5这五个数中，任意取两个不同的数有种取法，所以概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查排列组合及古典概型概率计算问题，这类题目必须认真分析题目条件再求解，属于基础题15.若钝角满足，则_，且函数的单调增区间为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用辅助角公式结合角的取值范围可求得的值，然后利用二倍角的余
13、弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性可求得函数的单调增区间.【详解】，则，则，解得.，解不等式，解得，所以，函数的单调递增区间为.故答案：；.【点睛】本题考查利用辅助角公式求参数值，同时也考查了余弦型函数单调区间的求解，涉及了二倍角余弦公式的应用，考查计算能力，属于中等题.16.已知圆：，点为直线上的一个动点，过点向圆作切线，切点分别为、，则原点到直线距离的最大值是_.【答案】【解析】【分析】为使原点到直线距离的最大，则应当最小，于是应当最小，进而得到应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得的最小值，利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值.【详解】为使原点到直线距离的最大，则应当
14、最小，于是应当最小，应当最大，应当最小，当且仅当与直线垂直时最小，的最小值为到直线,即的距离，设与交于点则,故答案为：.【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为最小，同时注意利用三角形相似进行计算.四、解答题17.在平面直角坐标系xOy中，已知ABC三个顶点坐标为A(7，8)，B(10，4)，C(2，4)(1)求BC边上的中线所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据中点坐标公式求出中点的坐标，根据斜率公式可求得的斜率，利用点斜式可求边上的中线所在直线的方程；（2）先根据斜率公式求出的斜率，从而求出边
15、上的高所在直线的斜率为，利用点斜式可求边上的高所在直线的方程.试题解析：（1）由B(10，4)，C(2，4)，得BC中点D的坐标为（6，0）， 所以AD的斜率为k8， 所以BC边上的中线AD所在直线的方程为y08(x6)， 即8xy480 （2）由B(10，4)，C(2，4)，得BC所在直线的斜率为k1， 所以BC边上的高所在直线的斜率为1， 所以BC边上的高所在直线的方程为y8(x7)，即xy15018.在中，、分别为角、所对边，且.（1）求，求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于、的齐次等式，解出的值，即可得出的值；（2）利用两角和的
16、正弦公式和三角恒等变换思想化简得出，求得角的取值范围，进而利用正弦函数的基本性质可求得的最大值.【详解】（1），由余弦定理得，由正弦定理得；（2）.，当时，取得最大值.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，同时也考查了三角代数式最值的求解，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在直三棱柱中，点分别为线段，的中点. （1）求证：平面；（2）若在边上，面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角形中位线定理得到，进而利用线面平行的判定定理证明；（2）利用线面平行的性质定理可得，进而得到四边形为平行四边形，从而得到所求.【详解】解：（1）点分别为线段，的中点
17、, 又平面，平面，平面；（2） 面，平面，平面平面，,又，四边形为平行四边形，,又为的中位线，.【点睛】本题考查线面平行的判定与性质，属基础题.20.已知圆的圆心在轴上，半径为1，直线被圆所截的弦长为，且圆心在直线的下方（1）求圆的方程；（2）设，若圆是的内切圆，求的面积的最大值和最小值【答案】(1)；(2)最大值为，最小值为【解析】（1）设圆心，由已知得圆心到直线的距离为，又圆心在直线的下方，故圆的方程为（2）由题意设的斜率为的斜率为，则直线的方程为，直线的方程为由方程组，得点的横坐标为，由于圆与相切，所以，；同理，的面积的最大值为，最小值为21.如图，某青年租用了一块边长为2百米的正方形田
18、地来种植水果、蔬菜与花草，他在正方形的边，上分别取点，（不与正方形的顶点重合），用栅栏连接，使得，将正方形分成四个部分，现拟将图中阴影部分规划为水果种植区，部分规划为蔬菜种植区，部分规划为花草种植区，若水果种植区的投入约为元/百米2，蔬菜与花草种植区的投入约为103元/百米2.（1）若使得，那么栅栏的总长度为多少？（2）若从总投入的角度考虑，则这三个区域的总投入最少需要多少元？【答案】（1）百米；（2）元【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数求出、，再由余弦定理求出，即可得解；（2）设阴影部分面积为，三个区域的总投入为设，由解三角形可得，运用两角和的正切公式和基本不等式，即可得到所求最小值【详
19、解】解：（1）因为，所以，所以又因为，所以，因为所以在中由余弦定理可得，即所以所以故栅栏的总长度为百米（2）设阴影部分面积为，三个区域的总投入为则，从而只要求的最小值设，则，因为，所以，所以，即，解得，即取得最小值为，从而三个区域的总投入的最小值约为元【点睛】本题考查解三角形的实际应用，正确求出函数解析式和运用基本不等式或三角函数的恒等变换公式是解题的关键，属于中档题22.在平面直角坐标系中，圆：.（1）为直线：上一点.若点在第一象限，且，过点作圆的切线，求切线方程；若存在过点的直线交圆于点，且恰为线段的中点，求点纵坐标的取值范围；（2）已知，为圆上任一点，求一定点（异于点），使为定值.【答案
20、】（1）或；（2）存在点，使得定值.【解析】【分析】（1）根据题意设点的坐标为，根据已知求得，再设过点的圆的切线方程，根据圆与直线相切得圆心到直线的距离为半径即可求解；设坐标，则根据中点坐标公式可得，再根据均在圆上，代入圆的方程，两式联立有两个不等实数解，利用判别式求解即可；（2）设，假设存在点，使为定值，再用两点间的距离公式得：，进而利用在圆：上得即可求解.【详解】解：（1）设点的坐标为， ，解得，又点在第一象限，易知过点的圆的切线斜率必存在，可设切线斜率为， 切线方程为：，即：， 圆心到切线的距离，解得或点的圆的切线方程为：或；设，则， 均在圆上， 圆与圆有公共点， ，解得，即点纵坐标的取值范围为（2）设，假设存在点，使为定值，则，即， ， 在圆：上， ，解得 存在点，使得为定值.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，是综合题.
