1、章末综合测评(二)概率(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在题中横线上)1甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_【解析】甲、乙两名运动员选择运动服颜色有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种所以所求概率P.【答案】2设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540
2、频数(次)20304010则T的数学期望E(T)_.【解析】由统计结果可得T的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而E(T)250.2300.3350.4400.132(分钟)【答案】32分钟3甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为，则此密码能被译出的概率为_【解析】三人都不能译出密码的概率为P，故三人能破译密码的概率是1P1.【答案】4已知XN(0,1)，则P(1X2)_.【解析】P(1X1)0.683，P(2X2)0.954，P(1X2)(0.9540.683)0.13
3、5 5.P(1X2)0.6830.135 50.818 5.【答案】0.818 55已知随机变量XB，则V(2X1)_. 【导学号：29440064】【解析】V(2X1)22V(X)4V(X)，V(X)6，V(2X1)46.【答案】66某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨他第一次失败，第二次成功的概率是_【解析】电话号码的最后一个数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的一个数，所以他第一次失败，第二次成功的概率为.【答案】7设随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，且E(X)3，p，则n_，V(X)_.【解析】E(X)np3，p，n21，并且V(X)np(1p)21
4、.【答案】218某人参加驾照考试，共考6个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是p.若此人未能通过的科目数的均值是2，则p_.【解析】因为通过各科考试的概率为p，所以不能通过考试的概率为1p，易知B(6,1p)，所以E()6(1p)2，解得p.【答案】9一个袋子装有大小相同的3个红球和2个白球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_【解析】法一同时取出的2个球中含红球数X的概率分布为P(X0)，P(X1)，P(X2).E(X)012.法二同时取出的2个球中含红球数X服从参数N5，M3，n2的超几何分布，所以E(X).【答案】10一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如
5、下6个定义域为R的函数：f1(x)x，f2(x)x2，f3(x)x3，f4(x)sin x，f5(x)cos x，f6(x)2.现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后不放回，若取到一张记有偶函数的卡片，则停止抽取，否则继续进行，则抽取次数的数学期望为_【解析】由于f2(x)，f5(x)，f6(x)为偶函数，f1(x)，f3(x)，f4(x)为奇函数，所以随机变量可取1,2,3,4.P(1)，P(2)，P(3)，P(4).所以的概率分布为1234PE()1234.【答案】11.将一个半径适当的小球放入如图1所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A
6、袋或B袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入A袋中的概率为_图1【解析】小球落入B袋中的概率为P12，小球落入A袋中的概率为P1P1.【答案】12某一部件由三个电子元件按图2方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为_图2【解析】三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1 000，502)得：三个电子元件的使用寿命超过1 000小时的概率为p.超过1 000小时时元件1或元件2
7、正常工作的概率p11(1p)2，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为p2p1p.【答案】13一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：从中任取3球，恰有一个白球的概率是；从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为；现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确结论的序号是_. 【导学号：29440065】【解析】恰有一个白球的概率P，故正确；每次任取一球，取到红球次数XB，其方差为6，故正确；设A第一次取到红球，B第二次取到红球则P(A)，
8、P(AB)，P(B|A)，故错；每次取到红球的概率P，所以至少有一次取到红球的概率为13，故正确【答案】14已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3，n3)，从乙盒中随机抽取i(i1,2)个球放入甲盒中(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为i(i1,2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i1,2)则下列比较正确的序号是_p1p2，E(1)E(2)；p1E(2)；p1p2，E(1)E(2)；p1p2，E(1)E(2)【解析】随机变量1，2的分布列如下：112P2123P所以E(1)，E(2)，所以E(1)0，所以p1p2.【答案】二、解答题(
9、本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：图3以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5
10、，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【解】(1)由柱状图及以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.从而P(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.20.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160
11、.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于当n20时所需费用的期望值，故应选n19.16(本小题满分14分)甲、乙两人独立解某一道数学题，已知甲独立解出的概率为0.6，且两人中至少有一人解
12、出的概率为0.92. (1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数X的概率分布【解】(1)设甲、乙分别解出此题的事件为A，B，则P(A)0.6，P1P()10.4P()0.92，解得P()0.2，P(B)0.8.(2)P(X0)P()P()0.40.20.08，P(X1)P(A)P()P()P(B)0.44，P(X2)P(A)P(B)0.60.80.48，X的概率分布为：X012P0.080.440.4817.(本小题满分14分)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)30050
13、0概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的概率分布；(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率【解】(1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本，X所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)
14、P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的概率分布为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i1,2,3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利润均不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.820.20.384，所
15、以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.5120.3840.896.18(本小题满分16分)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元，否则月工资定为2 100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求X的概率分布；(2)求此员工月工资的期望【解】(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4.P(Xi)(
16、i0,1,2,3,4)，故X的概率分布为：X01234P(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2 100,2 800,3 500，则P(Y3 500)P(X4)，P(Y2 800)P(X3)，P(Y2 100)P(X2)，所以E(Y)3 5002 8002 1002 280(元)所以此员工工资的期望为2 280元19(本小题满分16分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命X(单位：小时)和Y的概率分布分别为：X9001 0001 100P0.10.80.1Y9501 0001 050P0.30.40.3试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？【解】由期望的定义，得E(X)9000.11 0
17、000.81 1000.11 000，E(Y)9500.31 0000.41 0500.31 000.两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差由方差的定义，得V(X)(9001 000)20.1(1 0001 000)20.8(1 1001 000)20.12 000，V(Y)(9501 000)20.3(1 0001 000)20.4(1 0501 000)20.31 500.V(X)V(Y)，乙厂生产的灯泡质量比甲稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好20(本小题满分16分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件
18、产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的概率分布及数学期望【解】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A(A1B1)(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以P(A)P(A1B1)P(A2B2)P(A1)P(B1|A1)P(A2)P(B2|A2).(2)X可能的取值为400,500,800，并且P(X400)1，P(X500)，P(X800)，所以以X的概率分布为X400500800PE(X)400500800506.25.
