1、1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)1几个常见函数的导数2基本初等函数的导数公式3导数的运算法则设两个函数分别为f(x)和g(x)4导数的加法与减法法则(1)两个函数和(或差)的导数等于两个函数的导数的和(或差)，可推广到多个函数的和(或差)，即(f1f2fn)f1f2fn.(2)两个函数和(或差)的导数还可推广为mf(x)ng(x)mf(x)ng(x)(m，n为常数)基本初等函数的四类求导公式(1)第一类为幂函数，y(x)x1(注意幂指数可推广到全体实数)对于解析式为根式形式的函数，首先应把根式化为分数指数幂的形式，再求导数(2)第二类为三角函数
2、，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数注意余弦函数的导数，不要漏掉前面的负号(3)第三类为指数函数，y(ax)axln a，当ae时，ex的导数是(ax)的一个特例(4)第四类为对数函数，y(logax)，也可记为(logax)logae，当ae时，ln x的导数也是(logax)的一个特例1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)若y，则y21.()(2)若f(x)sinx，则f(x)cosx.()(3)若f(x)，则f(x) .()答案(1)(2)(3)2做一做(1)_.(2)(2x)_.(3)若f(x)x3，g(x)log3x，则f(x)g(x)_.答案(1
3、)(2)2xln 2(3)3x2探究利用导数公式及运算法则求导例1求下列函数的导数(1)y；(2)ylog5x；(3)f(x)(x1)2(x1)；(4)f(x)22sin2；(5)f(x).解(1)y()(x)x.(2)y(log5x).(3)因为f(x)(x1)2(x1)(x22x1)(x1)x3x2x1，所以f(x)3x22x1.(4)因为f(x)22sin21cosx，所以f(x)sinx.(5)解法一：f(x).解法二：因为f(x)1，所以f(x).拓展提升(1)利用函数的和、差、积、商的求导法则求函数的导数时，要分清函数的结构，再利用相应的法则进行求导(2)遇到函数的表达式是乘积形式
4、或是商的形式，有时先将函数表达式展开或化简，然后再求导【跟踪训练1】求下列函数的导数(1)y；(2)yx3ex；(3)y.解(1)y(x)xx.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2ex(3x)(3)y.探究曲线切线方程的确定与应用例2过原点作曲线yex的切线，求切点的坐标及切线的斜率解因为(ex)ex，设切点坐标为(x0，e x0)，则过该切点的直线的斜率为e x0，所以所求切线方程为ye x0e x0 (xx0)因为切线过原点，所以e x0x0e x0，x01.所以切点为(1，e)，斜率为e.条件探究已知点P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解根
5、据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.y(ex)ex，e x01，得x00，代入yex，y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.拓展提升利用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标【跟踪训练2】已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解因为y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则y| xx02x
6、0.又因为PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，所以k2x01，即x0，所以切点为M.所以所求的切线方程为yx，即4x4y10.探究导数的综合应用例3已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，
7、整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.拓展提升求曲线方程或切线方程时，应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点【跟踪训练3】已知f(x)x3bx2cx(b，cR)，f(1)0，当x1,3时，曲线yf(x)的切线斜率的最小值为1，求b，c的值解f(x)x22bxc(xb)2cb2，且f(1)12bc0.若b1，即b1，则f(x)在1,3上是增函数，所以f(x)minf(1)1，即12bc1，由
8、，解得b，不满足b1，应舍去若1b3，即3b1，则f(x)minf(b)1，即b22b2c1，由，解得b2，c3或b0，c1.若b3，即b3，f(x)在1,3上是减函数，所以f(x)minf(3)1，即96bc1，由，解得b，不满足b3，应舍去综上可知，b2，c3或b0，c1.1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，要认真观察函数的结构特征，积极地进行联想划归.2.准确记忆导数的运算法则是进行导数运算的前提，但在解题过程中要注意如何使用运算法则可使运算较为简单，例如求yx的导数，若使用积的导数公式可以求出结果，但不如先化简为yxx，再求yx简
9、单.3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时，常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.1已知函数f(x)5，则f(1)等于()A5 B1 C0 D不存在答案C解析因为f(x)5，所以f(x)0，所以f(1)0.2已知f(x)x33xln 3，则f(x)为()A3x23x B3x23xln 3C3x23xln 3 Dx33xln 3答案C解析(ln 3)0，注意避免出现(ln 3)的错误，f(x)x33xln 3，f(x)3x23xln 3.3曲线ycosx在点A处的切线方程为_答案x2y0解析因为y(cosx)sinx，所以ksin，所以在点A处的切线方程为y，即x2y0.4已知函数f(x)fcosxsinx，则f的值为_答案1解析f(x)fcosxsinx，f(x)fsinxcosx，ffsincos，即f1，从而有f(1)cossin1，故填1.5.已知直线ykx是函数yln x的一条切线，试求k的值解设切点坐标为(x0，y0)yln x，y，y| xx0k.点(x0，y0)既在直线ykx上，也在曲线yln x上，把k代入式得y01，再把y01代入式求出x0e，k.
