1、导数及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若f(x)sin cos x，则f(x)等于()Asin xBcos xCcos sin x D2sin cos x解析：选A函数是关于x的函数，因此sin 是一个常数2曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析：选C由于ye，所以y|x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.3函数f(x)的定义域为
2、开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )A1个 B2个C3个 D4个解析：选A设极值点依次为x1，x2，x3且ax1x2x3b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点4函数f(x)x2ln x的单调递减区间是()A. B.C. ， D.，解析：选Af(x)2x，当0x时，f(x)0，故f(x)的单调递减区间为.5函数f(x)3x4x3(x0，1)的最大值是()A1 B.C0 D1解析：选Af(x)312x2，令f(x)0，则x(舍
3、去)或x，f(0)0，f(1)1，f1，f(x)在0，1上的最大值为1.6函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3处取得极值，则a()A2 B3C4 D5解析：选Df(x)3x22ax3，f(3)0.3(3)22a(3)30，a5.7以正弦曲线ysin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C. D.解析：选Aycos x，cos x1，1，切线的斜率范围是1，1，倾斜角的范围是.8设ae，b，c，则a，b，c大小关系是()Aacb BbcaCcba Dcab解析：选A构造函数f(x)，则f(x)，当xe时，f(x)0，则f(x)在(e，)上单调递增
4、又e3，f(e)f(3)f()，即，故acb.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9若函数f(x)的导函数f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为()Af(x)3cos x Bf(x)x3xCf(x)x Df(x)exx解析：选BC对于A，f(x)3cos x，其导数f(x)3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)x3x，其导数f(x)3x21，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)x，其
5、导数f(x)1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)exx，其导数f(x)ex1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意10已知函数f(x)及其导函数f(x)，若存在x0，使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是()Af(x)x2 Bf(x)exCf(x)ln x Df(x)解析：选ACDAf(x)2x，由x22x得x0或x2，有“巧值点”；Bf(x)ex，exex无解，无“巧值点”；Cf(x)，方程ln x有解，有“巧值点”；Df(x)，由，得x1，有“巧值点”11设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函
6、数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则()A函数f(x)有极大值f(3)B函数f(x)有极小值f()C函数f(x)有极大值f()D函数f(x)有极小值f(3)解析：选AD当x3时，yxf(x)0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0；当x3时，f(x)0.f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(3)12已知函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)f(x)，对任意的xR恒成立，则()Af(ln 2)2f(0) Bf(2)e2f(0)Cf(ln 2)2f(0) Df(2)e2f(0)解析：选AB令g(x)，则g(x)0，故g(x)在R上单调递减，而ln 20，20，故g(ln 2)g
7、(0)，g(2)g(0)，即，所以f(ln 2)2f(0)，f(2)e2f(0)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13若函数的导数为f(x)，且f(x)2f(2)xx3，则f(2)_解析：由题意f(x)2f(2)3x2，f(2)2f(2)12，f(2)12.答案：1214若曲线yax2ln(x1)在点(1，b)处的切线平行于x轴，则a_，b_解析：由题意得y2ax，曲线在点(1，b)处的切线平行于x轴，2a0，a，bln(11)ln 2.答案：ln 215.如图，从10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去4个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的
8、最大值为_解析：设小正方形的边长为x，如图所示，则盒子的容积为V(102x)(162x)x4(x313x240x)，定义域为(0，5)由于V4(3x226x40)，令V0，即3x226x400，解得x或x2.由于0x0，即(x22)ex0，注意到ex0，所以x220，解得x0，因此x2(a2)xa0在(1，1)上恒成立，也就是ax1在(1，1)上恒成立设yx1，则y10，即yx1在(1，1)上单调递增，则y11，故a.即实数a的取值范围为.19(本小题满分12分)已知f(x)x2ex，x1，求f(x)的极值点以及极值、最值点以及最值解：当x1时，f(x)2xexx2exx(x2)ex.解方程f
9、(x)0，可得x2或x0.解不等式f(x)0，可得x2或0x1，此时f(x)递增解不等式f(x)0，可得2x0，此时f(x)递减因此，f(x)在(，2)上递增，在(2，0)上递减，在(0，1)上递增由于f(2)f(0)0，可知x2是函数的极大值点，极大值为f(2)4e2；x0是函数的极小值点，极小值为f(0)0.又因为f(1)e，所以函数的最大值点为x1，最大值为e；x2ex0对任意实数都是成立的，因此函数的最小值点为x0，而且最小值是0.20(本小题满分12分)如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150 km，岸边的医药公司A与点B的距离为300 km，现有一批药品要尽快送达海岛码头
10、已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130 km，快艇时速为50 km.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短？解：设点C与点B的距离为x km，运输时间为T(x)h，则T(x)，0x300.因为T(x)，令T(x)0，可解得x.因此可知T(x)在上递减，在上递增，从而T(x)在x时取得最小值这就是说，点C选在离B点为 km时可使运输时间最短21(本小题满分12分)已知函数f(x)ax3bx在x处取得极小值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若过点M(1，m)的直线与曲线yf(x)相切且这样的切
11、线有三条，求实数m的取值范围解：(1)由题意得，f(x)3ax2b.函数f(x)ax3bx在x处取得极小值，即解得经检验满足条件，则函数f(x)的解析式为f(x)2x33x.(2)设切点坐标为(x0，2x3x0)，则曲线yf(x)的切线的斜率kf(x0)6x3，切线方程为y(2x3x0)(6x3)(xx0)，代入点M(1，m)，得m4x6x3，依题意，方程m4x6x3有三个不同的实根令g(x)4x36x23，则g(x)12x212x12x(x1)，当x(，0)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.故g(x)4x36x23在(，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减g
12、(x)极小值g(0)3，g(x)极大值g(1)1.当3m1时，g(x)4x36x23的图象与直线ym有三个不同的交点，3m1时，存在这样的三条切线故实数m的取值范围是(3，1)22(本小题满分12分)已知函数f(x)ln x.(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；(2)设g(x)ln xa，若g(x)0)，当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上是增函数，f(x)不存在最小值；当a0时，由f(x)0得xa，且0xa时，f(x)a时，f(x)0.xa时，f(x)取得最小值，f(a)ln(a)12，解得ae.(2)g(x)x2即ln xaln xx2，故g(x)ln xx2在(0，e上恒成立设h(x)ln xx2，则h(x)2x，由h(x)0及0xe得x.当0x0，当xe时，h(x)0，即h(x)在上为增函数，在上为减函数，所以当x时h(x)取得最大值为hln .所以g(x)x2在(0，e上恒成立时，a的取值范围为.
