1、课时规范练25向量基本定理与向量的坐标基础巩固组1.向量a,b满足a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),则b为()A.(-3,4)B.(3,4)C.(3,-4)D.(-3,-4)2.(2020山东济南长清高三段考模拟)已知e1,e2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为一组基底的是()A.e1,e1+e2B.e1-2e2,e2-2e1C.e1+e2,e1-e2D.e1-2e2,4e2-2e13.已知向量a=(1,x),b=(-2,4),a(a-b),则x=()A.1B.2C.-1D.-24.(多选)(2020江苏海头高级中学高一月考)在平面上的点A(2,1),B(0,2),C(
2、-2,1),O(0,0),下面结论正确的是()A.AB-CA=BCB.OA+OC=OBC.AC=OB-2OAD.OA+2OB=OC5.(2020湖北襄阳五中高三模拟)已知向量a=(-1,2),b=(3,m),mR,则“m=-6”是“a(a+b)”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC中,AC=4AD,P为BD上一点,若AP=14AB+AC,则实数的值为()A.34B.320C.316D.387.已知在ABCD中,M,N分别是边BC,CD的中点,AM与BN相交于点P,记a=AB,b=AD,用a,b表示AP的结果是()A.AP=15a+25bB.
3、AP=25a+45bC.AP=35a+25bD.AP=45a+25b8.在OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=ta|a|+b|b|,tR,则点P在()A.AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上9.(多选)(2020山东济南高三模拟)已知向量a=(2,-1),b=(-3,2),c=(1,1),则()A.abB.(a+b)cC.a+b=cD.c=5a+3b10.(2020河北石家庄二中开学预考)已知非零不共线向量OA,OB,若2OP=xOA+yOB,且PA=AB(R),则点Q(x,y)的轨迹方程是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+
4、2y-2=0D.2x+y-2=011.(2020陕西汉中高三模拟)已知平面向量a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3),且(a+c)(a-b),则m=.12.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1=,2=.综合提升组13.(2020安徽六安一中高三期中)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+b,b+c),n=(c-b,a),若mn,则C=()A.56B.23C.3D.614.已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量AP=(xcos -ysin ,
5、xsin +ycos ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点A(1,-3),点B(3,3),把点B绕点A顺时针方向旋转53后得到点P,则点P的坐标为()A.(-2,23)B.(-1,3)C.(4,0)D.(5,-3)15.(多选)(2020辽宁盘锦高三期末)在直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足BP=2PC,点M,N在过点P的直线上,若AM=mAB,AN=nAC(m0,n0),则下列结论正确的是()A.1m+2n为常数B.m+2n的最小值为3C.m+n的最小值为169D.m,n的值可以为m=12,n=2创新应用组16.(2020江苏,13)在ABC中,AB=4,A
6、C=3,BAC=90,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若PA=mPB+32-mPC(m为常数),则CD的长度是.参考答案课时规范练25向量基本定理及向量的坐标1.A由a+b=(-1,5),a-b=(5,-3),得2b=(-1,5)-(5,-3)=(-6,8),b=12(-6,8)=(-3,4).2.D因为e1,e2是平面向量的一组基底,故e1和e2不共线,所以e1和e1+e2不共线,e1-2e2和e2-2e1不共线,e1+e2和e1-e2不共线.因为4e2-2e1=-2(e1-2e2),所以e1-2e2和4e2-2e1共线.故选D.3.Da-b=(3,x-4),因为a(a-b),所以
7、3x=x-4,所以x=-2,故选D.4.BC点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),选项A中,AB=(-2,1),CA=(4,0),BC=(-2,-1),所以AB-CABC,故A错误;选项B中,OA=(2,1),OC=(-2,1),OB=(0,2),所以OA+OC=OB成立,故B正确;选项C中,AC=(-4,0),OB=(0,2),OA=(2,1),所以AC=OB-2OA成立,故C正确;选项D中,OA=(2,1),OB=(0,2),OC=(-2,1),所以OA+2OBOC,故D错误.故选BC.5.A由题意得a+b=(2,2+m),由a(a+b),得-1(2+m)=22,所以
8、m=-6,则“m=-6”是“a(a+b)”的充要条件.6.C由题知AC=4AD,AP=14AB+AC,所以AP=14AB+4AD,由于B,P,D三点共线,所以4+14=1,=316.故选C.7.D过点N作BC的平行线分别交AB,AM于点E,F,则EF=12BM.因为ENBC,所以BMNF=BPNP=23,所以BP=25BN=25-12a+b=-15a+25b,则AP=AB+BP=a+-15a+25b=45a+25b,故选D.8.Aa|a|和b|b|是OAB中边OA,OB上的单位向量,a|a|+b|b|在AOB平分线所在直线上,ta|a|+b|b|在AOB平分线所在直线上,点P在AOB平分线所在
9、直线上,故选A.9.BD由题意22-(-3)(-1)0,故A错误;a+b=(-1,1),(a+b)c=-1+1=0,故(a+b)c,故B正确,C错误;5a+3b=5(2,-1)+3(-3,2)=(1,1)=c,故D正确.故选BD.10.A由PA=AB,得OA-OP=(OB-OA),即OP=(1+)OA-OB.又2OP=xOA+yOB,所以x=2+2,y=-2,消去得x+y-2=0,故选A.11.3172a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3),a+c=(m+1,m+3),a-b=(-1,m-5).又(a+c)(a-b),(m+1)(m-5)+m+3=0,即m2-3m-2=0,解得m=31
10、72.12.-1623由题意,作图像如图所示,DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC.又因为DE=1AB+2AC,所以1=-16,2=23.13.Bm=(a+b,b+c),n=(c-b,a),且mn,(a+b)a-(c-b)(b+c)=0,整理得c2=a2+b2+ab.又c2=a2+b2-2abcosC,cosC=-12.C(0,),C=23.故选B.14.B设点P(m,n),则AP=(m-1,n+3),根据题意,若将AP绕其起点逆时针旋转53,即可得AB,故AB=(m-1)cos53-(n+3)sin53,(m-1)sin53+(n+3)co
11、s53,整理得AB=m-12+3(n+3)2,-3(m-1)2+n+32.由A,B两点坐标可知AB=(2,23),故m+3n=2,-3m+n=23,解得m=-1,n=3,则点P的坐标为(-1,3).故选B.15.ABD如图所示,由BP=2PC,可得AP-AB=2(AC-AP).AP=13AB+23AC.若AM=mAB,AN=nAC(m0,n0),则AB=1mAM,AC=1nAN,AP=13mAM+23nAN.M,P,N三点共线,13m+23n=1,1m+2n=3.当m=12时,n=2,故A,D正确;m+2n=(m+2n)13m+23n=2n3m+2m3n+5322n3m2m3n+53=3,当且
12、仅当m=n=1时,等号成立,故B正确;m+n=(m+n)13m+23n=n3m+2m3n+12n3m2m3n+1=223+1,当且仅当n=2m时,等号成立,故C错误.故选ABD.16.185或0如图,以A为坐标原点,分别以AB,AC所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(4,0),C(0,3).由PA=mPB+32-mPC,得PA=m(PA+AB)+32-m(PA+AC),整理得PA=-2mAB+(2m-3)AC=-2m(4,0)+(2m-3)(0,3)=(-8m,6m-9).又因为AP=9,所以64m2+(6m-9)2=81,解得m=2725或m=0.当m=0时,PA=(0,-9),此时,C,D重合,CD=0;当m=2725时,直线PA的方程为y=9-6m8mx,直线BC的方程为x4+y3=1,联立两直线方程可得x=83m,y=3-2m.即D7225,2125,CD=72252+2125-32=185.CD的长度是185或0.6
