1、12排列与组合12.1排列教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并
2、要求学生严格按原理去分析问题只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要排列与组合的区别，从定义
3、上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力重点难点教学重点：排列、排列数的概念教学难点：排列数公式的推导提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系活动设计：教师提问，学生补充活动成果：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，
4、在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有Nm1m2mn种不同的方法3分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存
5、，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题：分清要完成的事情是什么；是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；有无特殊条件的限制设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考
6、，后小组交流，请同学发言、补充活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容设计意图：通过三个具体的实例引入新课提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结活动成果：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列说
7、明：(1)排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(mn)个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参
8、加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法
9、共有326种，如右图所示设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法由分步乘法计数原理共有：43224种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“
10、十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有43224种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示由此可写出所有的三
11、位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法提出问题4：由以上两个问题我们发现：A326，A43224，你能否得出A的意义和A的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结活动成果：由A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数
12、就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n1)种填法，An(n1)设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A，A吗？活动设计：学生自己推导，学生板演活动成果：求A可以按依次填3个空位来考虑，An(n1)(n2)，求A可以按依次填m个空位来考虑：An(n1)(n2)(nm1)，由此可以得到排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)(m，nN，mn)说明：(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；(2)全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列全排列数：An(n1)(n2
13、)21n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！1.所以An(n1)(n2)(nm1).设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法
14、，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论教师巡视，找同学说出答案和理由活动成果：(1)是(2)不是(3)是(4)是(5)不是(6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义设计意图：加深对排列和排列数的理解例1解方程：3A2A6A.思路分析：利用排列数公式求解即可解：由排列数公式得：3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)，x3，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)
15、，即3x217x100，解得x5或x，x3，且xN，原方程的解为x5.点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A中，m，nN且mn这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围【巩固练习】1解不等式：A6A.2求证：(1)AAA(2)135(2n1)解答或证明：1.解：原不等式即6，也就是，化简得：x221x1040，解得x13，又2x7，且xN，所以，原不等式的解集为3,4,5,6,72证明：(1)AA(nm)！n！A，原式成立(2)135(2n1)右边，原式成立点评：公式An(n1)(n2)(nm1)常用来求值，特别是m，n均为已知时；公式A常用来证明或化简【变练演编】化
16、简：(1)；(2)11！22！33！nn！.(1)解：原式1！1.(2)提示：由(n1)！(n1)n！nn！n！，得nn！(n1)！n！，原式(n1)！1.【达标检测】1计算：(1)A；(2).2若A17161554，则n_，m_.3若nN*，且55n69，则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示为_答案：1.(1)720(2)52.17143.A1知识收获：排列概念、排列数公式2方法收获：化归3思维收获：分类讨论、化归思想【基础练习】1若x，则x()AABACADA2与AA不等的是()AA B81A C10A DA3若A2A，则m的值为()A5 B3 C6 D74计算：_；
17、_.【拓展练习】5若242，则m的解集是_6(1)已知A1095，那么m_；(2)已知9！362 880，那么A_；(3)已知A56，那么n_；(4)已知A7A，那么n_.答案：1.B2.B3.A4.115.2,3,4,5,66(1)6(2)181 440(3)8(4)7本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数(设计者：殷贺)
