1、第二章2.42.4.2 A级基础巩固一、选择题1已知点A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，则等于(B)A1 B0 C1 D2解析(2,3)(1,2)(1,1)，(2,5)(1,2)(3,3)，1(3)1302已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b上的投影为(C)A BC D解析a(2,3)，b(4,7)，ab2(4)3713，|a|，|b|，cos.a在b上的射影为|a|cos3已知a(1,3)，b(2，1)且(kab)(a2b)则k(C)A B C D解析由题意知(kab)(a2b)0，而kab(2k,3k1)，a2b(5,5)，故5(2k)5(3k1)0，解得k4已知a(1，n)，
2、b(1，n)若2ab与b垂直，则|a|(C)A1 B C2 D4解析由2ab与b垂直，得(2ab)b0，即2abb20故2(1n2)(1n2)0，解得n23所以，|a|25已知向量a(2,1)，ab10，|ab|5，则|b|等于(C)A B C5 D25解析a(2,1)，ab10，|ab|5，(ab)250a22abb2，可得|b|56已知向量a(1,2)，b(2，3)，若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c(D)A(，) B(，)C(，) D(，)解析不妨设c(m，n)，则ac(1m,2n)，ab(3，1)，对于(ca)b，则有3(1m)2(2n)又c(ab)，则有3mn0，m，n，故选D
3、二、填空题7已知a(1，)，b(2,0)，则|ab|_2_解析因为ab(1，)，所以|ab|28若a(3，1)，b(x，2)，且a，b，则x_1_解析cos，解得x1或x4(舍)三、解答题9已知a(1,2)，b(3,2)，若kab与a3b垂直，求k的值解析kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)又kab与a3b垂直，故(kab)(a3b)0即(k3)10(2k2)(4)0得k1910已知a(，1)，b(2,2)(1)求ab；(2)求a与b的夹角解析(1)ab224(2)cos，又0180，30B级素养提升一、选择题1已知向量a(，1)，b是不平行于
4、x轴的单位向量，且ab，则b等于(B)A BC D(1,0)解析方法1：令b(x，y)(y0)，则将代入得x2(x)21，即2x23x10，x1(舍去，此时y0)或xy方法2：排除法，D中y0不合题意；C不是单位向量，舍去；代入A，不合题意，故选B2(2016全国，文)已知向量(，)，(，)，则ABC(A)A30 B45 C60 D120解析由题意得cosABC，所以ABC30，故选A3设x、yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)且ac，bc，则|ab|(B)A B C2 D10解析由ac，得2x40则x2，由bc得42y则y2，|ab|4已知向量a(2cos，2sin)，b(0，
5、2)，则向量a、b的夹角为(A)A BC D解析由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2y24位于第二象限的部分上()，设其终点为P，则xOP，a与b的夹角为二、填空题5已知两个单位向量a、b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_2_解析|a|b|1，a，b60，ab，|b|21，bctab(1t)b2t(1t)1t0，t26ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满足0，0，则的最小值为_3_解析(x1，y)(1,0)x10，x1，x1，(x，y2)(0,2)2(y2)0，y2(x，y)(1,2)2yx3三、解答题7已知平面
6、向量a(3,4)，b(9，x)，c(4，y)，且ab，ac(1)求b和c；(2)若m2ab，nac，求向量m与向量n的夹角的大小解析(1)ab，3x360.x12ac，344y0.y3b(9,12)，c(4，3)(2)m2ab(6,8)(9,12)(3，4)，nac(3,4)(4，3)(7,1)，设m，n的夹角为，则cos0，即m，n的夹角为8已知a(1,0)，b(0,1)，当k为整数时，向量mkab与nakb的夹角能否为60？证明你的结论解析假设m、n的夹角能为60，则cos60，mn|m|n|.又a(1,0)，b(0,1)，|a|b|1，且ab0mnka2abk2abkb22k，|m|n|
7、k21.由，得2k(k21)k24k10该方程无整数解m、n的夹角不能为60C级能力拔高设(a2b2)(m2n2)(ambn)2，其中mn0，求证：解析由题中所给式子联想到向量的夹角公式和模长公式，故可构造向量c(a，b)，d(m，n)，然后用向量知识求解方法一设c(a，b)，d(m，n)，则|c|2a2b2，|d|2m2n2，cdambn(a2b2)(m2n2)(ambn)2，|c|2|d|2(cd)2，即cd|c|d|，cd，anbm0，即anbm又mn0，方法二设c(a，b)，d(m，n)，c与d的夹角为，则cos2()2由条件知1，cos21，即0或180，即cd，于是有anbm0又mn0，
