1、福建省南安市侨光中学2019-2020学年高一数学下学期第一次阶段考试题（含解析）一、选择题：本题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为，所以复数的共轭复数是，选C.【点睛】本题考查复数运算以及共轭复数概念，考查基本求解能力.2.中，则等于( )A. B. C. D. 9【答案】A【解析】【分析】由正弦定理进行求解即可.【详解】，由正弦定理得，则，故选A.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，利用正弦定理是解决本题的关键
2、，属基础题.3.设、是两条直线，、是两个平面，则是的（ ）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】根据空间中线面关系和面面关系，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】，则与可能重合、平行、相交，；，则与可能平行、异面，；故是的既不充分也不必要条件.故选：D【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，同时也考查了空间中的线面关系和面面关系，考查推理能力，属于基础题4.下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算和共线的条件，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，
3、对于A中，根据零向量和任意向量公式，可得向量是共线的，不能作为平面的基底，所以不能表示向量；对于B中，向量满足，所以是共线的，不能作为平面的基底，所以不能表示向量；对于C中，向量满足，所以是共线的，不能作为平面的基底，所以不能表示向量；对于D中，向量，可得，所以不共线，可以作为平面的基底表示向量；.故选：D.【点睛】本题主要考查了向量基本定理和向量共线的判定及应用，其中解答中熟记向量的共线定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若，则这个平面图形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解
4、析】在直观图中，ABC=45，AB=AD=1，DCBCAD=1，BC=1+，原来的平面图形上底长为1，下底为1+，高为2，平面图形的面积为2=2+故选：B6.已知均为单位向量，若，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意均为单位向量，若，两边平方，解得即，代入夹角公式，根据夹角取值范围，即可求得夹角.【详解】解：依题意，所以，即，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角的方法，属于基础题.7.已知终边与单位圆的交点，且，则的值等于（ ）A. B. C. 3D. 【答案】C【解析】【分析】
5、根据三角函数的定义求解正余弦值，利用二倍角公式化简求值.【详解】为第二象限角，且，原式=.故选：C【点睛】此题考查三角函数的定义，根据三角函数的定义求解三角函数值，根据二倍角公式进行三角恒等变换化简求值.8.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是A. 与，都相交B. 与，都不相交C. 至少与，中的一条相交D. 至多与，中的一条相交【答案】C【解析】【详解】试题分析：Al与l1，l2可以相交，如图：该选项错误；Bl可以和l1，l2中的一个平行，如上图，该选项错误；Cl可以和l1，l2都相交，如下图：，该选项错误；D“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，
6、假如l和l1，l2都不相交；l和l1，l2都共面；l和l1，l2都平行；l1l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；该选项正确故选D考点：点、线、面的位置关系9.定义运算，若，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由定义运算知，即，又，又，考点：同角三角函数基本关系式及两角差正弦公式的正用与逆用10.已知函数的部分图象如图所示，其，把函的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由，求得，再根据，解得，所以，得到，再由平移变
7、换求解.【详解】，即，则，解得，所以，即，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质以及图象变换，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.11.已知的内角，的对边分别为，且满足，则关于的取值下列说法正确的是（ ）A. 有最大值B. 有最小值C. 有最小值D. 有最大值【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理进行边角转化,结合诱导公式及正弦和角公式化简求得,代入正切的差角公式,结合基本不等式即可求得的最值情况.【详解】由正弦定理,边角转化可得根据诱导公式及正弦和角公式可知代入上式可得移项化简可得由正切差角公式可知由基本不等式可知当且仅当且时取等号,此时所以所以,即有最小
8、值故选:C【点睛】本题考查了正弦定理在三角函数式边角转化中的应用,正切差角公式的应用及基本不等式求最值的应用,综合性较强,属于中档题.二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.12.在中，下列各式正确的是( )A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据三角形内角和定理可得，可得，选项A，B错误；再根据已知条件和两角和的正切公式可得，故选项C，D正确.【详解】，选项A，B错误；，又，联立解得，故选项C，D正确:故选：CD.【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，考查了两角和的正切公式，属于基础题.13.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形为正方形,分别为的中点.在此几何体中,
9、给出下列结论,其中正确的结论是( )A. 平面平面B. 直线平面C. 直线平面D. 直线平面【答案】ABC【解析】【分析】将几何体的平面图还原立体图,运用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理对四个选项进行辨析.【详解】作出立体图形如图所示.连接四点构成平面.对于,因为分别是的中点,所以.又平面,平面,所以平面.同理,平面.又,平面,平面,所以平面平面,故A正确;对于,连接,设中点为M,则M也是的中点,所以,又平面,平面,所以平面,故B正确;对于,由A中的分析知,所以,因为平面,平面,所以直线平面,故C正确;对于,根据C中的分析可知再结合图形可得, ,则直线与平面不平行,故D错误.故选【点睛】
10、本题考查了线面平行的判定定理和面面平行的判定定理,在解答本题时还需要将结合题的展开图还原几何体的立体图,要注意还原前后点的位置,熟练运用线面平行和面面平行的判定定理来证明问题.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.14.已知i是虚数单位，设复数，则_.【答案】【解析】【分析】根据共轭复数的概念及模的运算进行计算即可【详解】解：由已知.故答案为：.【点睛】本题考查共轭复数的概念及模的运算，是基础题.15.如图，一个几何体的正视图是底为高为的等腰三角形，俯视图是直径为的半圆，该几何体的体积为_.【答案】【解析】【分析】由三视图可知该几何体是半圆锥，利用圆锥的体积公式以
11、及三视图中的数据可求得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且底面是半径为的半圆，高为，其体积为.故答案为：.【点睛】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型16.已知向量，满足，且在方向上的投影是，则实数_【答案】【解析】【分析】利用向量投影的计算公式可得关于的方程，其解即为所求的的值.【详解】在方向上的投影为，解得，故答案为：.【点睛】本题考查在方向上的投影，其计算公式为，本题属于基础题.17.在三角形中，若，且，一个内角为30，则的面积为_【答案】或1【解析】【分析】先利用，得2acosBc；再借助于余
12、弦定理得ab2；再分A30以及C30两种情况分别求出对应的面积【详解】因为，转化为边长和角，所以有2acosBc，可得：cosBa2b2ab2当A30B时，C120，此时SABC22sinC；当C30时，AB75，此时SABC22sinC1故答案为：或1【点睛】本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算，分类讨论的思想，属于基础题.18.已知函数，若方程在区间内的解为，则_.【答案】【解析】【分析】，故，故，根据对称性得到，故，计算得到答案.【详解】，故，故，根据对称性：.即，故，.故答案为：.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力，根据对称性得到是解题的关键.
13、四、解答题：本题共5小题，每题12分，共60分.19.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:00200(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并求出函数的解析式;(2)把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求的值.【答案】(1)见解析.(2)-1【解析】分析】（1）由表格中数据,可得,即可求得,由可得,则,进而补全表格即可；（2）由图像变换原则可得,进而将代入求解即可【详解】解:(1)根据表中已知数据,可得,解得,又,所以,所以.数据补全如下表:0020-20 (2)由(1)知,把的
14、图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到的图像,再把得到图像向左平移个单位长度,得到的图像,即,所以【点睛】本题考查由三角函数性质求解析式,考查三角函数的图像变换,考查运算能力20.(1)已知求与的夹角(2)设在上是否存在点M,使若存在，求出点M的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】(1)；(2) 或【解析】【分析】(1)将等式展开得到，计算得到答案.(2) 设，利用解得答案.【详解】(1) (2)假设存在，设 即，解得或 故坐标为：或【点睛】本题考查了向量的计算，意在考查学生的计算能力.21.如图，在三棱锥中，过A作，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：平面平面
15、ABC.【答案】证明见解析【解析】【分析】由已知可得为中点，点E，G分别是棱SA，SC的中点，可得，证得平面ABC，同理平面ABC，即可证明结论.【详解】证明：因为，垂足为F，所以F是SB的中点.又E是SA的中点，所以.因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.同理平面ABC.又，平面， 所以平面平面ABC.【点睛】本题考查面面平行的证明，属于基础题.22.如图所示，在边长为的正三角形中，E、F依次是、的中点，D、H、G为垂足，若将绕旋转，（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆
16、柱，根据数据利用面积公式和体积公式，可求其表面积与体积.【详解】由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，故所求几何体的表面积为.阴影部分形成的几何体的体积为.【点睛】本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.23.如图，点在直径的半圆上移动（点不与，重合），过作圆的切线，且，.过点作于点.（1）求三角形的面积（用表示）；（2）当为何值时，四边形的面积最大？（3）求的取值范围.【答案】（1）；（2）时，四边形的面积最大；（3）【解析】【分析】利用圆的切线的性质可得，（1）利用公式可得；（2）利用，整理得，利用三角函数性质可得最值；（3）把表示出的PA，PB，PC代入所求式子，设，可得出，进而表示出，代入所求式子，利用正弦函数的值域及二次函数性质确定出范围即可.【详解】为直径，且，切圆于点，.（1）；（2）.，当，即时，四边形的面积最大；（3）由已知，.设，则，.令，又在上单调递增，故的取值范围是.【点睛】此题考查了与圆有关的比例线段，正弦函数的定义域与值域，两角和与差的正弦函数公式，以及二次函数性质，熟练掌握三角函数的恒等变换是解本题的关键.
