1、高考资源网（） 您身边的高考专家习题课正弦定理和余弦定理的综合应用类型一利用正、余弦定理解三角形例1在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2c2bca2和，求角A和tanB的值分析求角A的关键是利用余弦定理的推论：cosA.利用正弦定理将已知条件边化角，即，再结合ABC，解三角方程可求tanB.解由余弦定理，得cosA，0A180，A60.在ABC中，C180AB120B.由已知条件和正弦定理，得，解得tanB.在解三角形时，常常将正、余弦定理结合在一起使用，要注意恰当选取定理，简化运算过程，提高解题速度.同时，要注意与平面几何中的有关性质、定理结合起来，挖
2、掘题目中的隐含条件.解题时要综合、灵活地运用这两个定理，认真分析已知条件，结合三角形的有关性质(如大角对大边，大边对大角，三角形内角和定理等)，并注意数形结合，防止出现漏解或增解的情况.变式训练1(1)在ABC中，ABC，AB，BC3，则sinBAC(C)A. B.C. D.解析：由余弦定理可得AC292235，所以AC.再由正弦定理得，所以sinBAC.(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sinB3sinC，则cosA的值为.解析：由已知及正弦定理得2b3c，因为bca，所以不妨设b3，c2，则a4，所以cosA.类型二利用正、余弦定理判断三角形形状例2在
3、ABC中，若(accosB)sinB(bccosA)sinA，判断ABC的形状分析解解法一：(accosB)sinB(bccosA)sinA，由正、余弦定理，得ba，整理，得(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，即(a2b2)(a2b2c2)0，a2b2c20或a2b2.a2b2c2或ab.故ABC为直角三角形或等腰三角形解法二：根据正弦定理，原等式可化为(sinAsinCcosB)sinB(sinBsinCcosA)sinA，即sinCcosBsinBsinCcosAsinA.sinC0，sinBcosBsinAcosA.sin2Bsin2A.2B2A或2B2A，即AB或AB.ABC是等
4、腰三角形或直角三角形依据已知条件中的边角关系判断三角形形状时，主要有如下两种方法：1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论.变式训练2在ABC中，若sinA2sinBcosC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状解：在ABC中，根据正弦定理得2R(R为ABC外接圆的半径)sin2Asin2Bsin2C，222，即a2b2c2.A90，BC90.由sinA2sinBco
5、sC，得sin902sinBcos(90B)，sin2B.B是锐角，sinB，B45，C45.ABC是等腰直角三角形类型三三角形中的最值(或范围)问题例3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acsinA，则的最大值是_分析由acsinA及正弦定理的变形可求出角C，从而由AB得sinBcosA，于是sinAcosA，所求问题转化成关于A的三角函数求最值问题解析acsinA，由正弦定理得sinAsinCsinA.又0A，sinA0，sinC1，C.ABC，BA，由正弦定理得sinAsinBsinAsinsinAcosAsin，而0A，A，当A，即A时，sin取得最大值，即的最大值是
6、.答案这类问题通常转化为三角函数问题，利用三角函数的最值或取值范围求解.变式训练3在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是(C)A. B.C. D.解析：由sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，得a2b2c2bc，即，所以cosA，因为0A，所以0A.类型四正、余弦定理与平面向量的综合应用例4在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，cosB，a7，且21，求角C的大小分析先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c，再利用余弦定理求出边b，最后根据正弦定理求角C.解21，21，|cosBaccosB21.又cosB，sinB，ac35.
7、又a7，c5.b2a2c22accosB725227532，b4.由正弦定理，得sinCsinB.cb，求a，b的值解：(1)f(x)ab(2cos2x，)(1，sin2x)2cos2xsin2xcos2x1sin2x2sin1，f(x)图象的对称中心为(kZ)(2)f(C)2sin13，sin1，C是三角形内角，2C，2C，即C，cosC，即a2b27.将ab2与上式联立可得：a27，解之得：a23或4，a或2，b2或，ab，a2，b.1ABC中，若b3，c3，B30，则a(C)A3 B4C3或6 D4或6解析：在ABC中，由余弦定理b2a2c22accosB，及b3，c3，B30，即32a
8、2(3)223acos30，即a29a180，所以a6或a3，经检验都满足题意2已知ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6，则的值为(D)A19 B14C18 D19解析：由余弦定理，得cosB，所以|cos(B)7519.3在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinBb，则角A等于.解析：由正弦定理得，2sinAsinBsinB，sinA，因为ABC为锐角三角形，所以A.4三角形ABC的三内角A、B、C所对的边长分别是a，b，c.若(ab)(sinBsinA)(ac)sinC，则角B的大小为.解析：由正弦定理得，(ab)(ba)(ac)c，即b2a2acc2，a2c2b2ac，cosB.又B(0，)，所以B.5如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，求BD，BC的长解：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得x210x960，解得x116或x26(舍去)，所以BD16.由正弦定理得，所以BCsin308.本课须掌握的问题由于正弦定理、余弦定理阐述了三角形的边角之间的关系，因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角函数公式的知识解决有时题目还会涉及向量等其他章节的知识，要全面掌握才可以解题- 9 - 版权所有高考资源网
