1、2.1数列2.1.1数列学习目标1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式.知识点一数列及其有关概念思考1数列1，2，3与数列3，2，1是同一个数列吗？答案不是.顺序不一样.思考2数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？答案数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性.梳理(1)按照一定次序排列起来的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项，
2、.(2)数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an.(3)按项数分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.(4)按项的大小变化分类：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项都相等的数列叫做常数列.知识点二通项公式思考1数列1，2，3，4，的第100项是多少？你是如何猜的？答案100.由前四项与它们的序号相同，猜第n项ann，从而第100项应为100.思考2an(1)n+1与ansin，nN是否表示同一个数列？答案是，它们都表示数列1，1，1，1，.梳理如果数列的第n项an与序号n之间的关系
3、可以用一个函数式anf(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一.知识点三数列与函数的关系思考数列an用表格形式给出如下：n12345an1在平面直角坐标系中描出点(n，an)，n1，2，3，4，5.这些点都在哪个函数图象上？答案这些点都在y的图象上.梳理如图，数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集1，2，n)为定义域的函数anf(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非
4、空数集.因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示.1.数列1，1，1是无穷数列.()2.有些数列没有通项公式.()3.数列也可以看作一个函数，其项就是项数的函数.()类型一数列的概念及分类例1下列数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A.1，B.sin，sin，sin，sin，C.1，D.1，2，3，4，30答案C解析A是无穷递减数列；B是无穷摆动数列；D是有限数列.反思与感悟(1)有穷数列与无穷数列的判断判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列.(2)数列单调性的判断判断数列的单调性，则需要从第2
5、项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列.跟踪训练1下列数列：1，2，22，23，263；1，0.5，0.52，0.53，；0，10，20，30，1000；2，4，6，8，10，；1，1，1，1，1，；7，7，7，7，；，.其中有穷数列是，无穷数列是，递增数列是，递减数列是，摆动数列是，常数列是.(填序号)答案类型二由数列的前几项写出数列的一个通项公式例2写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，；(2)，2，8；(3)9，99，999，9999；(4)2，0，2，0
6、.解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an，nN.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an，nN.(3)各项加1后，变为10，100，1000，10000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1，nN.(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为an(1)n+11，nN.反思与感悟要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定
7、变化部分随序号变化的规律，继而将an表示为n的函数关系.跟踪训练2写出下列数列的一个通项公式：(1)3，5，9，17，33，；(2)，；(3)，1，.解(1)3可看作211，5可看作221，9可看作231，17可看作241，33可看作251，.所以an2n1，nN.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成的数列为21，22，23，24，所以an，nN.(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(1)n+1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7，9，11，13组成，而分子则是321，421，521，621，按照这样的规律，第1，2两项可分别改写为，所以an，nN
8、.类型三数列通项公式的应用例3已知数列an的通项公式an，nN.(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项.解(1)a10.(2)令，化简得8n233n350，解得n5.当n5时，a5，所以不是该数列中的项.引申探究对于本例中的an.(1)求an1；(2)求a2n.解(1)an1.(2)a2n.反思与感悟在通项公式anf(n)中，an相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是.跟踪训练3已知数列an的通项公式为an(nN)，那么是这个数列的第_项.答案10解析，n(n2)1012，
9、n10.例4已知函数f(x)，设anf(n)(nN).(1)求证：an0.因此ann1，所以an1an0，即an1an，所以an是递增数列.反思与感悟数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N或N的子集1，2，n这一约束条件.跟踪训练4数列an的通项公式an(n1)n(nN)，写出数列的第7项，第8项，第10项，并求出数列中的最大项.解an(n1)n，a787，a898，a101110，an中每一项都是正数.令1(n2，nN)，即1，整理得，解得n10，即a1a2a3a11a12，数列an从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列an先递增，后递减.可知
10、a9a10最大.1.下列叙述正确的是()A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，可以表示为nC.数列0，1，0，1，是常数列D.数列是递增数列答案D解析由数列的通项an1知，当n的值逐渐增大时，逐渐增大，即an逐渐增大，所以数列是递增数列，故选D.2.数列2，3，4，5，的一个通项公式为()A.ann，nNB.ann1，nNC.ann2，nND.an2n，nN答案B解析这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为ann1，nN.3.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，3，5，7，9，；(2)0.8，0.88，0.888，；(3)0
11、，1，0，1，.解(1)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，考虑(1)n+1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n+1(2n1)，nN.(2)将数列变形为，所以该数列的一个通项公式为an，nN.(3)an或an (nN)或an(nN).4.已知数列an的通项为an2n229n3，求数列an中的最大项.解由已知，得an2n229n322.由于nN，故当n取距离最近的正整数7时，an取得最大值108.数列an中的最大项为a7108.1.数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上.数列可以看成是以正整数集N或它的有限子集1，2，3
12、，n为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.(2)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.可重复性：数列中的数可以重复.有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.2.数列的通项公式(1)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，去替代公式中的n就可以求出这个数
13、列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项.(2)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.(3)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一.(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一.一、选择题1.已知数列an的通项公式为an，nN，则该数列的前4项依次为()A.1，0，1，0B.0，1，0，1C.，0，0D.2，0，2，0答案A解析当n分别等于1，2，3，4时，a11，a20，a31，a40.2.已知数列an的通项公式为ann2n50，nN，则8是该数列的()A.第
14、5项B.第6项C.第7项D.非任何一项答案C解析解n2n508，得n7或n6(舍去).3.数列1，3，6，10，的一个通项公式是()A.ann2n1，nNB.an，nNC.an，nND.ann21，nN答案C解析令n1，2，3，4，代入A，B，C，D检验.即可排除A，B，D，故选C.4.数列，的第10项是()A.B.C.D.答案C解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为an，nN，当n10时，a10.5.已知数列，则0.94，0.96，0.98，0.99中属于该数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案C解析数列，的通项公式为an，nN，0.94，0.96，0.98，0.99，都在数
15、列中，故有3个.6.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1A1A2A2A3A7A81，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，OAn，的长度构成数列an，则此数列的通项公式为()A.ann，nNB.an，nNC.an，nND.ann2，nN答案C解析OA11，OA2，OA3，OAn，a11，a2，a3，an，nN.7.设an(nN)，那么an1an等于()A.B.C.D.答案D解析an，an1，an1an.二、填空题8.观察数列的特点，用一个适当的数填空：1，.答案3解析由于数列的前几项中根号下
16、的数是从小到大的奇数，所以需要填的数为3.9.数列3，5，9，17，33，的一个通项公式是.答案an2n1，nN解析由于数列中3211，5221，9231，17241，33251，所以an2n1，nN.10.323是数列n(n2)的第项.答案17解析由ann22n323，解得n17(负值舍去).所以323是数列n(n2)中的第17项.11.已知数列an的通项公式an192n，则使an0成立的最大正整数n的值为.答案9解析由an192n0，得n.nN，n9.三、解答题12.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，1，.解(1)符号问题可通过(
17、1)n或(1)n+1表示，其各项的绝对值的排列规律：后面数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5)，nN.(2)各项的分母分别为21，22，23，24，易看出第2，3，4项的分子均比分母小3.因此把第1项变为，因此原数列可化为，an(1)n，nN.(3)将数列统一为，对于分子3，5，7，9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2，5，10，17，联想到数列1，4，9，16，即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，可得原数列的一个通项公式为an，nN.13.在数列an中，a12，a1766，通项公式an是n的一次函数.(1)求an的通项公式；(
18、2)88是不是数列an中的项？解(1)设anknb，k0.则解得an4n2，nN.(2)令an88，即4n288，解得n22.5N，88不是数列an中的项.四、探究与拓展14.如图所示的图案中，白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项，则这个数列的一个通项公式为.答案an4n2，nN解析这三个图案中白色正六边形的个数如下图所示，依次为6，64，642，所以这个数列的一个通项公式为an64(n1)4n2.15.已知数列，nN.(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：该数列是递增数列；(4)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.(1)解设f(n).令n10，得第10项a10f(10).(2)解令，得9n300.此方程无正整数解，不是该数列中的项.(3)证明an1，an1an0，nN.an是递增数列.(4)解令an，即解得n.当且仅当n2时，上式成立，故区间内有数列中的项，且只有一项a2.
