1、三十六空间几何体及其表面积、体积(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(多选题)下列命题中正确的是()A由五个面围成的多面体可能是四棱锥B用一个平面去截棱锥便可得到棱台C仅有一组对面平行的五面体是棱台D正棱锥的侧棱长都相等AD解析：由五个面围成的多面体可以是四棱锥、三棱柱或三棱台，故A正确；当平面与棱锥底面不平行时，截得的几何体不是棱台，故B错误；仅有一组对面平行的五面体也可能是三棱柱，故C错误；根据正棱锥的结构特征知，正棱锥的侧棱长一定都相等，故D正确2(多选题)如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是()A四棱柱B四棱台C三棱柱D三棱锥A
2、C解析：根据题图，因为有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形，因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱3(2020全国卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.C解析：如图，设CDa，PEb，则PO.由题意知PO2ab，即b2ab，化简得42210，解得(负值舍去)4(多选题)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()AB(1)C2D(2)AB解析：若绕一条直角边
3、旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长为，这时表面积为2112(1)；若绕斜边一周时旋转体为L两个倒立圆锥对底组合在一起，且由题意底面半径为，一个圆锥的母线长为1，所以表面积S221.综上所述该几何体的表面积可以为(1)或.5将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为()AB2 C3D4B解析：半径为3，圆心角为的扇形弧长为2，故其围成的圆锥母线长为3，底面圆周长为2，得其底面半径为1.如图，MB1，AB3，所以AM2.由ANO与AMB相似可得，得ON，所以S球42.故选B.6已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积
4、是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_解析：如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.由题意得r24R2，所以r2R2.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且ABO1C，所以OO1，因此体积较小的圆锥的高为AO1R，体积较大的圆锥的高为BO1RR.故这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.7有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积为_2解析：如图1，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为E.图1 图2在
5、RtABE中，AB1，ABE45，BE.而四边形AECD为矩形，AD1，ECAD1，BCBEEC1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，这块菜地的面积S(ADBC)AB22.8已知三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，该三棱柱的五个面所在的平面截球面所得的圆大小相同若球O的表面积为20，则三棱柱的体积为_6解析：因为三棱柱ABCA1B1C1的五个面所在的平面截球面所得的圆的大小相同，所以该三棱柱的底面是等边三角形设三棱柱底面边长为a，高为h，截面圆的半径为r，球半径为R，所以r.因为球O的表面积为20，所以4R220，解得R.因为底面
6、和侧面截得的圆的大小相同，所以222.所以ah.又因为22R2，由得a2，h2，所以三棱柱的体积为V(2)226.9若圆锥的表面积是15，侧面展开图的圆心角是60，求圆锥的体积解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2rl，得l6r.又S锥r2r6r7r215，得r.所以圆锥的高hr5，圆锥的体积Vr2h5.10已知正三棱台(上、下底面是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)的上、下底面边长分别是2 cm与4 cm，侧棱长是 cm，试求该几何体的体积解：如图，O，O分别是上、下底面的中心，连接OO，OB，OB，在平面BOOB内作BEOB于点E.ABC是边长为2的等边三角形，O是中心，
7、所以OB2(cm)同理OB cm，则BEOBOB(cm)在RtBEB中，BB cm，BE cm，所以BE cm，即棱台高为 cm.所以三棱台的体积V(cm3)B组新高考培优练11(2020全国卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为()A64B48 C36D32A解析：设圆O1的半径为r，球的半径为R.依题意，得r24，所以r2.由正弦定理可得AB2rsin 602，所以OO1AB2.根据圆的截面性质OO1平面ABC，所以OO1O1A，ROA4，所以球O的表面积S4R264.12算术书竹简于二十世纪八十年代在湖北省江
8、陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式Vl2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么，近似公式Vl2h相当于将圆锥体积公式中的近似取()A. B. C. D.C解析：Vr2h2hl2h.由，得.故选C.13某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个实心工艺品(如图所示)该工艺品可以看成是一个球体被一个棱长为8的正方体的6个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)若其中一个截面圆的周长为6，则该球的半径为_现给出定义：球面被平面所截得的一部分
9、叫做球冠截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高如果球面的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积计算公式是S2Rh. 由此可知，该实心工艺品的表面积是_594解析：设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半，即此距离为4.根据截面圆的周长可得62r，得r3.故R2324225，得R5.如图，OAOBR5，且OO14，则球冠的高hROO11.所截的一个球冠表面积S2Rh25110，且截面圆面积为329.所以工艺品的表面积S4R26(S9)100694.14(2021八省联考)北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用刻画空间的弯曲性是
10、几何研究的重要内容用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为23，故其总曲率为4.(1)求四棱锥的总曲率；(2)若多面体满足：顶点数棱数面数2，证明：这类多面体的总曲率是常数(1)解：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形其总曲率为25(42)4.(2)证明：设顶点数、棱数、面数分别为n，l，m，所以有nlm2.设第i个面的棱数为xi，所以x1x2xm2l，所以总曲率为2n(x12)(x22)(xm2)2n(2l2m)2(nlm)4.所以这类多面体的总曲率是常数
