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2022版新教材高考数学一轮复习 48 双曲线训练(含解析)新人教B版.doc

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资源描述

1、四十八双曲线(建议用时:45分钟)A组全考点巩固练1(2021泸县高三月考)已知双曲线1(a0,b0)的焦距为4,且两条渐近线互相垂直,则该双曲线的实轴长为()A2B4 C6D8B解析:双曲线1(a0,b0)的两条渐近线方程为yx.因为两条渐近线互相垂直,所以21,得ab.因为双曲线的焦距为4,所以c2.由c2a2b2得2a28,解得a2,所以实轴长为2a4.2(2020内蒙古自治区高三二模)已知双曲线C:1(a0,b0)的顶点分别为A1,A2,以线段A1A2为直径的圆与直线axby2ab0相切,且双曲线C的焦距为4,则双曲线C的方程为()A.y21 B.1C.x21 D.1A解析:由题意知,

2、圆的半径为a,圆心为(0,0)设圆心到直线的距离为d,则da,所以a23b2.因为双曲线的焦距为4,所以c2,又c2a2b2,解得a,b1,所以双曲线的方程为y21.3(2020青岛市高三二模)已知曲线C的方程为1(kR),则下列结论正确的是()A当k8时,曲线C为椭圆,其焦距为4B当k2时,曲线C为双曲线,其离心率为C存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线D当k3时,曲线C为双曲线,其渐近线与圆(x4)2y29相切B解析:对于A,当k8时,曲线C的方程为1,轨迹为椭圆,焦距为2c24,A错误;对于B,当k2时,曲线C的方程为1,轨迹为双曲线,则a,c,所以离心率e,B正确;对于C,若曲线

3、C表示焦点在y轴上的双曲线,则解集为空集,所以不存在实数k使得曲线C为焦点在y轴上的双曲线,C错误;对于D,当k3时,曲线C的方程为1,轨迹为双曲线,其渐近线方程为yx,则圆(x4)2y29的圆心到渐近线的距离d3,所以双曲线渐近线与圆(x4)2y29不相切,D错误4(2020邢台市第二中学高三模拟)已知点A(0,1)是抛物线x22py的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且|PF|m|PA|.若双曲线C的中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为()A. B. C.1 D.1C解析:由点A在抛物线的准线上,得p2,故抛物线方程为x24y,焦点坐标为

4、F(0,1)过点P作准线的垂线,垂足为N,如图所示,由抛物线定义可得|PN|PF|.因为|PF|m|PA|,所以|PN|m|PA|,则m.当直线PA的斜率不存在时,m1.当直线PA的斜率存在时,设直线PA的倾斜角为,则sin m,当m取得最小值时,sin 最小,此时直线PA与抛物线相切设直线PA的方程为ykx1,代入抛物线方程得x24kx40.由根的判别式16k2160,解得k1,易得点P的坐标为(2,1)或(2,1)由题意可知,A,F是双曲线的两个焦点,所以|PA|PF|222a,c1,所以双曲线的离心率为1.5(多选题 )若双曲线C:1(a0,b0)的实轴长为6,焦距为10,右焦点为F,则

5、下列结论正确的是()AC的渐近线上的点到F距离的最小值为4BC的离心率为CC上的点到F距离的最小值为2D过F的最短的弦长为AC解析:由题意可得2a6,2c10,所以a3,c5,b4,右焦点F(5,0),渐近线的方程为4x3y0,所以C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离db4,所以A正确,离心率e,所以B不正确;双曲线上的点为顶点到焦点的距离最小,532,所以C正确;过焦点的弦长为垂直与x轴的直线与双曲线的弦长,而斜率为0时,弦长为实轴长2a6,所以最短的弦长为6,故D不正确6(2020全国卷)已知F为双曲线C:1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x

6、轴若AB的斜率为3,则C的离心率为_2解析:点B为双曲线的通径位于第一象限的端点,其坐标为,点A的坐标为(a,0)因为AB的斜率为3,所以3,即e13,所以e2.7(2020临沂市高三模拟)已知双曲线C:1(a0,b0)的渐近线与圆F:(x2)2y23相切,且双曲线C的一个焦点与圆F的圆心重合,则双曲线C的方程为_x21解析:由题意,圆F:(x2)2y23的圆心F(2,0)是双曲线C的右焦点,所以c2.双曲线C的渐近线方程为yx.因为双曲线C的渐近线与圆F相切,所以圆心F(2,0)到直线yx的距离等于圆的半径,即.所以b23a2.又c2a2b24,所以a21,b23.所以双曲线C的方程为x21

7、.8已知双曲线C:x2y2m(m0)的焦距为4,且它的渐近线与圆x2(ym)216有交点,连接所有交点的线段围成了几何图形M,则几何图形M的面积为_16解析:由双曲线C:x2y2m(m0),得1,则c2,解得m4.所以双曲线的渐近线方程为yx.圆x2(ym)216化为x2(y4)216,如图联立解得B(4,4);联立解得A(4,4)所以几何图形M的面积为8416.9(2019黄冈中学高三月考)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,)点M(3,m)在双曲线上(1)求双曲线的方程;(2)求证:0;(3)求F1MF2的面积(1)解:因为e,所以双曲线的实轴、虚轴相等

8、可设双曲线方程为x2y2.因为双曲线过点(4,),所以1610,即6.所以双曲线方程为1.(2)证明:不妨设F1,F2分别为左、右焦点,则(23,m),(23,m),所以(32)(32)m23m2.因为点M在双曲线上,所以9m26,即m230,所以0.(3)解:F1MF2的底边|F1F2|4.由(2)知m,所以F1MF2的高h|m|,所以SF1MF146.B组新高考培优练10(多选题)(2020淄博市高三二模)已知动点P在双曲线C:x21上,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,下列结论正确的是()A双曲线C的离心率为2B双曲线C的渐近线方程为yxC动点P到两条渐近线的距离之积为定值D当动点P

9、在双曲线C的左支上时,的最大值为AC解析:对于双曲线C:x21,a1,b,c2,所以双曲线C的离心率为e2,渐近线方程为yx,A选项正确,B选项错误;设点P的坐标为(x0,y0),则x1,双曲线C的两条渐近线方程分别为xy0和xy0,则点P到两条渐近线的距离之积为 ,C选项正确;当动点P在双曲线C的左支上时,|PF1|ca1,|PF2|2a|PF1|PF1|2,所以,当且仅当|PF1|2时,等号成立,所以的最大值为,D选项错误11(2021甘肃适应测试)已知F1,F2分别是双曲线1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点若|PF1|PF2|6a,且PF1F2的最小内角为,则双曲线的渐近线方

10、程为()Ay2xByxCyxDyxD解析:不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|PF2|.由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a,又|PF1|PF2|6a,所以|PF1|4a,|PF2|2a.又因为所以PF1F2为最小内角,故PF1F2.由余弦定理,得cos,即(ac)20,所以ca,则ba,所以双曲线的渐近线方程为yx.12(多选题)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为x2y0,双曲线的左焦点在直线xy0上,A,B分别是双曲线的左、右顶点,点P为双曲线右支上位于第一象限的动点,PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2的取值可能为()AB1 CD2CD解析:由双曲线1(a0,b0

11、)的一条渐近线方程为x2y0,可得a2b.由双曲线的左焦点在直线xy0上,可得c,即c.由a2b25,解得a2,b1,双曲线的方程为y21.由题意可得A(2,0),B(2,0),设P(m,n),可得n21,即有,所以k1k2(k1,k20),则k1k221.由A,B为左右顶点,可得k1k2,则k1k21.13(2020泉州模拟)已知椭圆M:1(a0,b0),双曲线N:1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为_;双曲线N的离心率为_12解析:如图,设椭圆的右焦点为F(c,0),双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A.由题意可

12、知A,因为点A在椭圆M上,所以1,所以b2c23a2c24a2b2.因为b2a2c2,所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2),所以4a48a2c2c40,所以e8e40,所以e42,所以e椭圆1(舍去)或 e椭圆1,所以椭圆M的离心率为1.因为双曲线的渐近线过点A,所以渐近线方程为yx,所以,故双曲线的离心率e双曲线2.14已知椭圆1与双曲线x21的离心率分别为e1,e2,且有公共的焦点F1,F2,则4ee_.若P为两曲线的一个交点,则|PF1|PF2|_.03解析:由题意得椭圆的半焦距满足c4m,双曲线的半焦距满足c1n.因为两曲线有相同的焦点,所以4m1n,即mn3,则4ee4(

13、1n)3(mn)0.不妨设F1,F2分别为两曲线的左、右焦点,点P为两曲线在第一象限的交点,则解得所以|PF1|PF2|3.15(2021八省联考)双曲线C:1(a0,b0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上当BFAF时,|AF|BF|.(1)求C的离心率;(2)若B在第一象限,证明:BFA2BAF.(1)解:设双曲线的半焦距为c,则F(c,0),B.因为|AF|BF|,所以ac.故c2ac2a20,即e2e20.所以e2.(2)证明:设B(x0,y0),其中x0a,y00.因为e2,所以c2a,ba.故双曲线的渐近线方程为yx.所以BAF,BFA.当x0a,x02a时,tanBFA,tanBAF.所以tan 2BAFtanBFA.因为2BAF,所以BFA2BAF.当x02a时,由(1)可得BFA,BAF.所以BFA2BAF.综上,BFA2BAF.

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