1、四十五圆的方程(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1点P(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)24C(x4)2(y2)24D(x2)2(y1)21A解析：设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则所以代入x2y24，得(2x4)2(2y2)24，化简得(x2)2(y1)21.2已知圆C经过A(0,2)，B(4,6)两点，且圆心C在直线l：2xy30上，则圆C的方程为()Ax2y26x160Bx2y22x2y80Cx2y26x6y80Dx2y22x2y560C解析：因为线段AB的中点坐标为(2,4)，直线AB的斜率为1，
2、所以线段AB的垂直平分线方程为y4(x2)，即y6x.与直线l的方程联立，得圆心坐标为(3,3)又圆的半径r，所以圆C的方程为(x3)2(y3)210，即x2y26x6y80.3(2021衡水中学高三月考)若圆x2y2ax2y10和圆x2y21关于直线yx1对称，过点C(a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是()Ay24x4y80 By22x2y20Cy24x4y80 Dy22xy10C解析：圆x2y2ax2y10的圆心为.因为圆x2y2ax2y10与圆x2y21关于直线yx1对称，所以圆心和(0,0)的中点为，所以满足直线方程yx1，解得a2.过点C(2,2)的圆P与y轴相切，圆心P
3、的坐标为(x，y)，所以|x|，解得y24x4y80，所以圆心P的轨迹方程是y24x4y80.故选C.4(多选题)已知圆M的一般方程为x2y28x6y0，则下列说法中正确的是()A圆M的圆心为(4，3)B圆M被x轴截得的弦长为8C圆M的半径为25D圆M被y轴截得的弦长为6ABD解析：圆M的标准方程为(x4)2(y3)225.圆的圆心坐标(4，3)，半径为5.显然选项C不正确，ABD均正确5若方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则实数a的取值范围是_解析：若方程2(ya)21a表示圆，则1a0，解得2a.6(2020南宁高三一模)已知圆C经过A(5,1)，B(1，3)两点，圆心在x轴上，则
4、圆C的方程为_(x2)2y210解析：由圆的几何性质得，圆心在AB的垂直平分线上，结合题意知，AB的垂直平分线的方程为y2x4.令y0，得x2，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径为，故圆C的方程为(x2)2y210.7(2020上海高三一模)在直角坐标系中，已知A(1，0)，B(4,0)若直线xmy10上存在点P，使得|PA|2|PB|，则实数m的取值范围是_(，)解析：设点P的坐标为(x，y)因为|PA|2|PB|，所以2，化简得(x5)2y24，则动点P的轨迹是以(5,0)为圆心，半径为2的圆由题意可知，直线xmy10与圆(x5)2y24有公共点，则2，解得m或m.因此，实数m的取值范围
5、是(，)8在平面直角坐标系xOy中，已知圆C在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心C的轨迹方程；(2)若点C到直线yx的距离为，求圆C的方程解：(1)设C(x，y)，圆C的半径为r.由题意得y22r2，x23r2，从而y22x23，故C的轨迹方程为y2x21.(2)设C(x0，y0)，由已知得.又点C在双曲线y2x21上，从而得解得或此时，圆C的半径r，故圆C的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.9设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解：(1)由题
6、意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)或k1.因此直线l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.B组新高考培优练10(多选题)若圆过点(0，1)，(0,5)，且被直线xy0截得的弦长为2，则圆的方程为()Ax2(y2)29B(x1
7、)2(y2)210C(x4)2(y2)225D(x4)2(y1)216AC解析：因为圆过点(0，1)，(0,5)，所以圆心在直线y2上设圆心坐标为(a,2)，由题意得，解得a0或a4.当a0时，圆心坐标为(0,2)，半径为3；当a4时，圆心坐标为(4,2)，半径为5，所以圆的方程为x2(y2)29或(x4)2(y2)225.11(多选题)如图，A(2,0)，B(1,1)，C(1,1)，D(2，0)，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W.则下述正确的是()A曲线W与x轴围成的面积等于2B曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点
8、)C. 所在圆的方程为x2(y1)21D. 与的公切线方程为xy1BCD解析：如图，曲线W与x轴围成的图形为以(0,1)为圆心，1为半径的半圆加上以(1,0)为圆心，1为半径的圆，加上以(1,0)为圆心，1为半径的圆，加上长为2，宽为1的矩形可得其面积为222，故A错误；曲线W上有(2,0)，(1,1)，(0,2)，(1,1)，(2,0)共5个整点，故B正确；是以(0,1)为圆心，1为半径的圆，其所在圆的方程为x2(y1)21，故C正确；由图易知公切线l平行直线GF：yx1，且两直线间距离为1，设l：yxb(b0)，则1，解得b1或b1(舍)，l：yx1，故D正确12设抛物线y24x的焦点为F
9、，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若FAC120，则圆的方程为_(x1)2(y)21解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心坐标为C(1，a)(a0)，则A(0，a)又F(1,0)，所以(1,0)，(1，a)由题意得与的夹角为120，得cos 120，解得a.所以圆的方程为(x1)2(y)21.13已知实数x，y满足x2y26x8y110，则的最大值为_，|3x4y28|的最小值为_115解析：由题意知圆的标准方程为(x3)2(y4)236，其表示的是一个圆心为(3，4)，半径为6的圆，而表示圆上的点到坐标原点的距离，所以()max611.由圆的标准方程(x3)2
10、(y4)236，可设其圆上点的坐标为(为参数)，所以|3x4y28|18cos 24sin 35|30sin()35|，所以当sin()1时，|3x4y28|min5.14(2020潍坊高三月考)已知圆C：(x2)2y25，直线l：mxy12m0，mR.(1)证明：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点A，B.(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线(3)是否存在实数m，使得圆C上有四点到直线l的距离为？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由(1)证明：(方法一)圆C：(x2)2y25的圆心为C(2，0)，半径为，所以圆心C到直线l：mxy12m0的距离为.所以直线l与圆
11、C相交，即直线l与圆C总有两个不同的交点(方法二)直线l：mxy12m0的方程可化为m(x2)(1y)0，所以直线l过定点(2，1)因为(22)21215，所以点(2,1)是圆C内一点，故直线l与圆C总有两个不同的交点. (2)解：设中点为M(x，y)因为直线l：mxy12m0恒过定点(2,1)，所以当直线l的斜率存在时，kAB.又kMC，kABkMC1，所以1，化简得(x2)22(x2). 当直线l的斜率不存在时，中点M(2,0)也满足上述方程所以M的轨迹方程是(x2)22，它是一个以为圆心，以为半径的圆(3)解：假设存在直线l，使得圆上有四点到直线l的距离为.由于圆心C(2,0)，半径为，则圆心C(2，0)到直线l的距离为4，解得m2或m2，即m的取值范围是(，2)(2，)
