1、多题一法专项训练(四)构造法一、选择题1(2015长春调研)在数列an中，a11，an13an2，则数列an的通项公式为an()A23n11B3n1C3n2 D2n12(2015威海一模)已知a1，设函数f(x)axx4的零点为m，g(x)logaxx4的零点为n，则mn的最大值为()A8 B4C2 D13设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则 B若l，l，则C若l，l，则 D若，l，则l4已知函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意的xR，f(x)f(x)1恒成立，则不等式exf(x)ex1的解集为()A(0，) B(，0)C(1，) D(2，)5方程|x|co
2、s x在(，)内()A没有根 B有且仅有一个根C有且仅有两个根 D有无穷多个根6(2015怀化二模)设定义域为(0，)的单调函数f(x)对任意的x(0，)，都有ff(x)log2x3，若x0是方程f(x)f(x)2的一个解，则x0存在的区间是()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)二、填空题7已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，yR，都有f(xy)xf(y)yf(x)成立数列an满足anf(2n)(nN*)，且a12，则数列an的通项公式an_.8若a1xsin xa2x对任意的x都成立，则a2a1的最小值是_9(2015金华十校联考)已知函数f(x)x(ln
3、 xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_10(2015江西八校联考)已知数列an，cn满足a11，an12an1，cn.设数列cn的前n项和为Tn，若存在m使得Tn对任意的nN*都成立，则正整数m的最小值为_三、解答题11.如图，已知抛物线C：y24x，过点A(1,2)作抛物线C的弦AP，AQ.设直线PQ过点T(5，2)，求以PQ为底边的等腰三角形APQ的个数12设f(x)ex1.(1)当x1时，证明：f(x)；(2)当aln 21且x0时，证明：f(x)x22ax.答 案1选A由an13an2得an113(an1)，3，当n1时，a112，an1是首项为2，公比为3的等比数列，an12
4、3n1，an23n11.2选B令f(x)0，g(x)0，得ax4x，logax4x，因为yax与ylogax的图象关于直线yx对称，所以m，n关于两直线yx和y4x交点的横坐标对称，则mn4，所以mn24.3.选B画出一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于A，C1D1平面ABB1A1，C1D1平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1平面ABCD，BB1平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1平面ABCD，CD平面ABB1A1，但CD平面ABCD.4选A构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exe
5、xf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，得x0.5选C求解方程|x|cos x在(，)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)|x|和g(x)cos x在(，)内的交点个数问题由f(x)|x|和g(x)cos x的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根6选B设f(x)log2xt(t0)，则f(t)3，f(x)log2xt，所以log2tt3，易知方程log2tt3有唯一解t2，所以f(x)log2x2，f(x)，令g(x)f(x)f(x)2，则g(x)log2x，易知函数g(x)在区间(0
6、，)上单调递增，因为g(1)0，g(2)0，所以x0存在的区间是(1,2)故选B.7解析：由题意知，an1f(2n1)2f(2n)2nf(2)2an2n1，则1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以n，ann2n.答案：n2n8解析：由题意知a1a2对任意的x都成立设k，则k为函数f(x)sin x，x上任意一点与原点连线的斜率，又f(x)cos x，f(0)1，所以1，所以a2a1的最小值是1.答案：19解析：f(x)(ln xax)xln x12ax，令f(x)0，得2a.设(x)，则(x)，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，则(x)的大
7、致图象如图所示，若函数f(x)有两个极值点，则直线y2a和y(x)的图象有两个交点，所以02a1，得0a.答案：10解析：an12an1，an112(an1)，a11，a1120，数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，an122n1，an2n1，又cn，Tn.则11，又Tn0，TnTn1，nN*，即数列Tn是递增数列当n1时，Tn取得最小值，要使得Tn对任意nN*都成立，只需，由此得m4；正整数m的最小值是5.答案：511解：设直线PQ的方程为xmyn，易知当m0时，APQ不满足题意当m0时，直线PQ过点T(5，2)，5m(2)n，n2m5.直线PQ的方程为xmy2m5.设点P，Q的坐标分
8、别为(x1，y1)，(x2，y2)由得y24my8m200，y1y24m，y1y28m20.PQ的中点坐标为，即，又2m22m5，PQ的中点坐标为(2m22m5,2m)由已知得m，即m3m23m10.设g(m)m3m23m1，则g(m)3m22m30，g(m)在R上是增函数又g(0)10，g(1)40，g(m)在(0,1)内有一个零点函数g(m)在R上有且只有一个零点，即方程m3m23m10在R上有唯一实根，满足条件的等腰三角形有且只有一个12证明：(1)当x1时，要使f(x)，即ex12x1，当且仅当ex2x，即ex2x0时成立令g(x)ex2x，则g(x)ex2.令g(x)0，即ex20，
9、解得xln 2.当x(1，ln 2时，g(x)0，故函数g(x)在ln 2，)上单调递增所以g(x)在(1，)上的最小值为g(ln 2)eln 22ln 22(1ln 2)0，所以在(1，)上有g(x)g(ln 2)0，即ex2x.故当x(1，)时，有f(x).(2)证明：欲证f(x)x22ax，即证ex1x22ax，也就是证exx22ax10，可令u(x)exx22ax1，则u(x)ex2x2a.令h(x)ex2x2a，则h(x)ex2.当x(，ln 2)时，h(x)0，函数h(x)在(ln 2，)上单调递增所以h(x)的最小值为h(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a0.所以u(x)h(x)0，即u(x)在R上为增函数，故u(x)在(0，)上为增函数，所以u(x)u(0)而u(0)0，所以u(x)exx22ax10.即当aln 21且x0时，f(x)x22ax.
