1、1设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.解：(1)由f(x)ex2x2a(xR)，知f(x)ex2.令f(x)0，得xln 2.当xln 2时，f(x)ln 2时，f(x)0，故函数f(x)在区间(ln 2，)上单调递增所以f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a，无极大值(2)证明：要证当aln 21且x0时，exx22ax1，即证当aln 21且x0时，exx22ax10.设g(x)
2、exx22ax1(x0)则g(x)ex2x2a，由(1)知g(x)ming(ln 2)22ln 22a.又aln 21，则g(x)min0.于是对xR，都有g(x)0，所以g(x)在R上单调递增于是对x0，都有g(x)g(0)0.即exx22ax10，故exx22ax1.2(2019贵阳模拟)已知函数f(x)mexln x1.(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若m(1，)，求证：f(x)1.解：(1)当m1时，f(x)exln x1，所以f(x)ex，所以f(1)e1，又因为f(1)e1，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(
3、x1)，即y(e1)x.(2)证明：当m1时，f(x)mexln x1exln x1，要证明f(x)1，只需证明exln x20，设g(x)exln x2，则g(x)ex(x0)，设h(x)ex(x0)，则h(x)ex0，所以函数h(x)g(x)ex在(0，)上单调递增，因为ge20，所以函数g(x)ex在(0，)上有唯一零点x0，且x0，因为g(x0)0，所以ex0，即ln x0x0，当x(0，x0)时，g(x)0，所以当xx0时，g(x)取得最小值g(x0)，故g(x)g(x0)ex0ln x02x020，综上可知，若m(1，)，则f(x)1.3(2019济南市学习质量评估)已知函数f(x
4、)x(ex1)a(ex1)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为1，求实数a的值；(2)当x(0，)时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)f(x)xexex1aex.因为f(1)ee1ae1，所以a2.(2)设g(x)f(x)ex1xexaex，则g(x)ex(x1)exaex(x2a)ex，设h(x)x2a，注意到f(0)0，f(0)g(0)2a，(i)当a2时，h(x)x2a0在(0，)上恒成立，所以g(x)0在(0，)上恒成立，所以g(x)在(0，)上是增函数，所以g(x)g(0)2a0，所以f(x)0在(0，)上恒成立所以f(x)在(0，)上是增函数，所以f
5、(x)f(0)0在(0，)上恒成立，符合题意(ii)当a2时，h(0)2a0，x0(0，a)，使得h(x0)0，当x(0，x0)时，h(x)0，所以g(x)0，所以g(x)在(0，x0)上是减函数，所以f(x)在(0，x0)上是减函数所以f(x)f(0)2a0，所以f(x)在(0，x0)上是减函数，所以当x(0，x0)时，f(x)1时，f(x)0时无零点(ii)当a0时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，取x0e，则g(x0)g(e)10，因为g(1)1，所以g(x0)g(1)0，此时函数g(x)恰有一个零点(iii)当a0时，令g(x)0，解得x.当0x时，g(x)时，g(x)0
6、，所以g(x)在上单调递增要使函数g(x)恰有一个零点，则galn 0，即a2e.综上所述，若函数g(x)恰有一个零点，则a2e或a0.(2)令h(x)f(x)(1m)x2mx2(2m1)xln x，根据题意，当x(1，)时，h(x)0恒成立h(x)2mx(2m1).(i)若0m0恒成立，所以h(x)在上是增函数，且h(x)，所以不符合题意(ii)若m，则x(1，)时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(1，)上是增函数，且h(x)，所以不符合题意(iii)若m0，则x(1，)时，恒有h(x)0，故h(x)在(1，)上是减函数，于是h(x)0对任意的x(1，)都成立的充要条件是h(1)0，即m(2m1)0，解得m1，故1m0.综上，m的取值范围是1，0
