1、第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:零向量的长度为零,方向是任意的;若a,b都是单位向量,则a与b共线;向量相等;若非零向量是共线向量,则A,B,C,D四点共线.则所有正确命题的序号是()A.B.C.D.解析:根据零向量的定义可知正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同或相反,故两个单位向量不一定共线,故错误;向量互为相反向量,故错误;由于方向相同或相反的向量为共线向量,故AB与CD也可能平行,即A,B,C,D四点不一定共线,故错误.故选
2、A.答案:A2.已知向量a=(sin x,cos x),向量b=(1,),若ab,则tan x等于()A.-B.C.D.-解析:由ab可得ab=0,即sin x+cos x=0,于是tan x=-.答案:A3.若点M是ABC的重心,则下列各向量中与共线的是()A.B.C.D.3解析:A中,=2,与不共线;B中,与不共线;D中,3显然与不共线;C中,=0,0,故选C.答案:C4.已知a,b是不共线的向量,=a+b,=a+b,R,若A,B,C三点共线,则()A.+=2B.-=1C.=-1D.=1解析:A,B,C三点共线,存在mR,使得=m,=1,故选D.答案:D5.在ABC中,点P在BC上,且=2
3、,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则等于()A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,-21)D.(2,-7)解析:如图,=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=(1,5)+(-3,2)=(-2,7),=3=(-6,21),故选A.答案:A6.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于()A.-2B.-1C.1D.2解析:由已知得c=(m+4,2m+2).因为cos=,cos=,所以.又由已知得|b|=2|a|,所以2ca=cb,即2(m+4)+2(2m+2)=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选D.
4、答案:D7.已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AB=,则等于()A.B.-C.D.-解析:设AB的中点为P.AB=,AP=.又OA=1,AOP=.AOB=.=|cos=-.答案:B8.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,则ab等于()A.12B.8C.-8D.2解析:由已知得|a|cos=4,于是ab=43=12.答案:A9.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a,b的夹角为()A.150B.120C.60D.30解析:设|a|=m(m0),a,b的夹角为.由题设,知(a+b)2=c2,即2m2+2m2cos =m
5、2,得cos =-.又0180,所以=120,即a,b的夹角为120,故选B.答案:B10.如图,在直角梯形ABCD中,ABAD,AD=DC=1,AB=3,点P是BC的中点,设=+(,R),则+等于()A.B.C.D.解析:建立如图所示的坐标系,B(3,0),D(0,1),C(1,1).点P为BC的中点,P.=+,=(0,1)+(3,0)=(3,),3=2,=,+=.故选D.答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)b,则k=.解析:a-c=(3-k,-6).由(a-c)b,得3(
6、3-k)=-6,解得k=5.答案:512.在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若=,则=.解析:由已知得=2,即=2.答案:213.已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=.解析:=()()=|2-=4-0+0-2=2.答案:214.向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=a+b(,R),则=.解析:建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).c=a+b,(-1,-3)=(-1,1)+(6,2),即=4.答案:415.已知向量的夹角为120,且|=3,|=
7、2.若=,且,则实数的值为.解析:,=0,()=0,即()()=-=0.向量的夹角为120,|=3,|=2,(-1)|cos 120-9+4=0,解得=.答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,在OADB中,设=a,=b,.试用a,b表示.解:由题意知,在OADB中,)= (a-b)= a-b,则=b+a-b=a+b,)=(a+b),则(a+b)-a-b=a-b.17.(8分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),0.(1)求|a|的值;(2)求证:a+b与a-b互相垂直.(1)解:a=(cos ,sin
8、),|a|=1.(2)证明(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,a+b与a-b互相垂直.18.(9分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐标;(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)因为ca,a=(1,2),所以可设c=a=(,2).又|c|=2,所以2+42=20,解得=2.所以c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)依题意,得(a+2b)(2a-b)=0,即2|a|2+3ab-2|b|2=0.又|a|2=5,|b|2=,所以ab=-,所以cos =-1,而0,所以=.19.
9、(10分)在ABC中,M是BC的中点.(1)若|=|,求向量+2与向量2的夹角的余弦值;(2)若O是线段AM上任意一点,且|=|=,求的最小值.解:(1)设向量+2与向量2的夹角为,|=|=a,=0,(+2)(2)=2+5+2=4a2,|+2|=a,同理可得|2|=a,cos =.(2),|=|=,|=1.设|=x(0x1),则|=1-x,而=2,()=2=2|cos =-2x(1-x)=2x2-2x=2,当且仅当x=时,取得最小值-.20.(10分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足.(1)求证:A,B,C三点共线;(2)求的值;(3)已知A(1,cos x),B(1+co
10、s x,cos x),x,f(x)=|的最小值为-,求实数m的值.(1)证明,),即.又AC,AB有公共点A,A,B,C三点共线.(2)解:由(1)得),=2,=2.(3)解:=(1+cos x,cos x)-(1,cos x)=(cos x,0).x,cos x0,1.|=|cos x|=cos x.=2,=2().3=2=2(1+cos x,cos x)+(1,cos x)=(3+2cos x,3cos x),.f(x)=|=1+cos x+cos2x-cos x=(cos x-m)2+1-m2,cos x0,1.当m0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值1,与已知最小值为-相矛盾,即m1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值2-2m,由2-2m=-,得m=1.综上所述,实数m的值为.
