1、河北省抚宁一中2019-2020学年高二年级下学期4月线上考试数学（理科）试题、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.己知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出.【详解】由变形，得，解得或，或.又，.故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据复数的四则运算求得z，再利用复数几何意义求
2、解结论.【详解】由，得，则，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的基本知识，复数的概念以及其几何意义，考查计算能力，属于基础题.3.“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号，如图是折扇的示意图，为的中点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面（扇环）部分的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出.【详解】设扇形的圆心角为，大扇形的半径长为，小扇形的半径长为，则，.根据几何概型，可得此点
3、取自扇面（扇环）部分的概率为.故选：D.【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、几何概率计算公式考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4.已知，则它们的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据对数函数，指数函数的单调性，判断出和的大小关系即可【详解】解：，且，即，故故选：B【点睛】本题考查对数式和指数式的大小，考查对数函数，指数函数的单调性的应用，是基础题5.若两个非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】根据题意，设与的夹角为.由，可得，再将两边同时平方，将代入，变形可得的值，即可得答案.【详解】设与的夹角为.，.
4、，由，解得.故选：D.【点睛】本题考查向量数量积的计算，属于基础题.6.函数在的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和特殊值可判断.【详解】解：因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，故排除、,故选：D.【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.7.已知，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析：由题意利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角差的余弦公式求得的值，可得结论.【详解】，.故选：D.【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的
5、应用，属于基础题.8.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. f（x）的最小正周期为2B. f（x）的最大值为C. f（x）在上单调递增D. f（x）的图象关于直线x对称【答案】B【解析】分析】根据倍角公式和辅助角公式化简，得.可直接判断的正误；选项，求出的取值范围，判断的单调性，即得的正误；选项，把代入，看是否取得最值，即得的正误.【详解】.的最小正周期为，最大值为，故错误，正确.对，当时，又在上单调递减，在上单调递减.故错误.对，不是最值，故错误.故选：.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.9.某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树
6、前都会对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了10株树苗，测量出的高度（i=1，2，3，10）（单位：厘米）分别为37，21，31，20，29，19，32，23，25，33.计算出抽测的这10株树苗高度的平均值，将这10株树苗的高度依次输入程序框图进行运算，则输出的S的值为（ ）A. 25B. 27C. 35D. 37【答案】C【解析】【分析】根据流程图的含义可知表示10株树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得【详解】解：由，由程序框图看出，程序所执行的是求这组数据的方差，所以，这组数据的方差为：故选：【点睛】本题考查程序流程图的理解，方差的计算，属于基础题.10.已
7、知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以 ，所以双曲线的离心率为故选A【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，11.在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由正弦定理将边与角的关系转化成角的关系，再运用诱导公式和两角和的正弦公式化简，再利用辅助角公式可求得A.【详解】由已知和正弦定理
8、得，即，即所以，因，所以，即，所以，即，又，所以，故选C【点睛】本题考查正弦定理、辅助角公式，诱导公式，利用正弦定理将已知等式中的边、角关系转化为角之间的关系式,再利用诱导公式、两角和的正弦公式是本题的关键，属于中档题.12.已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，根据椭圆C上存在两点关于直线对称，将A，B两点代入椭圆方程，两式作差可得，点M在椭圆C内部，可得，解不等式即可.【详解】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，则，.又因为A，B在椭圆C上，所以，两式
9、相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系以及在圆锥曲线中“设而不求”的思想，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.若实数，满足则的最大值为_.【答案】10【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】根据题意画出可行域，如图所示：由图可知目标函数经过点时，取得最大值10.故答案为：10.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.14.已知数列的前项和为，且满足，
10、则_【答案】【解析】【分析】对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.【详解】解：，可得时，时，又，两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.15.设函数，若为奇函数，则过点且与曲线相切的直线方程为_.【答案】【解析】【分析】根据函数是奇函数，构造求出值.再另设切点，求出切线方程，将代入切线方程，即可求出切点横坐标，切线方程可求.【详解】函数为奇函数，.解得，.设切点为，则.设切线方程为.，.该直线过点，解得，所求直线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查了函
11、数奇偶性的应用以及导数的几何意义，属于中档题.16.已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积.【详解】解析：过点作平面于点，记球心为.在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，.球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，.在中，即，解得，外接球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题主要考查正三棱锥的外接球的表面积以及计算能力，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明
12、过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答17.已知是公差不为零的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设的公差为，由已知列方程组求解首项与公差，则通项公式可求；（2），再由数列的分组求和得答案.【详解】解：（1）设的公差为，.，成等比数列，即，整理，得.又，.又，联立，得解得.（2），.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了数列的分组求和，是中档题.18.如图所示，四棱锥的底面是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点，连
13、接，. （1）证明：平面，平面平面；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结OE，推导出，从而平面BDE，推导出，从而平面，由此能证明平面平面；（2）由平面，得，推导出，从而，由此能求出四棱锥的体积.【详解】（1）证明：连接.，分别为，的中点，.平面，平面，平面.平面，.在正方形，.又，平面，平面，平面.又平面，平面平面；（2）解：取的中点，连接，易得.平面，.，分别是，中点，即.在中，.【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.19.为抗击新型冠状
14、病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答
15、案】（1），74.5分；（2）表格见解析，有【解析】【分析】（1）根据频率和为1，求出，按照平均数公式，即可求解；（2）由频率直方图求出，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的人数，补全列联表，求出的观测值，结合提供数据，即可得出结论.【详解】（1）由题可得，解得.因为，所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：优秀非优秀合计男生女生合计的观测值，有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”.【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养，属于基础题.20
16、.已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.（）求抛物线的方程；（）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.【答案】（）；（）见解析.【解析】【分析】（）根据及抛物线定义可求p，从而得到方程；（）设出直线方程，与抛物线方程相联立，写出韦达定理，结合可得关系，从而得到定点坐标.【详解】（）由抛物线的定义可以，,抛物线的方程为. （）由（）可知，点的坐标为当直线斜率不存在时，此时重合，舍去. 当直线斜率存在时，设直线的方程为设，将直线与抛物线联立得：又，即，将代入得，即得或 当时，直线为，此时直线恒过;当时，直线为，此时直线恒
17、过（舍去）所以直线恒过定点.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及直线和抛物线的综合问题，直线过定点一般是寻求之间的关系式.侧重考查数学运算的核心素养.21.已知函数.（1）当时，讨论极值点的个数；（2）若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）极大值点，且是唯一极值点；（2）【解析】【分析】（1）将代入，求导得到在上单调递减，则在上存在唯一零点，进而可判断出是的极大值点，且是唯一极值点；（2）令，得到，则与的图象在上有2个交点，利用导数，数形结合即可得到的取值范围.【详解】解：（1）由知.当时，显然在上单调递减.又，在上存在零点，且是唯一零点，当时，；当时，是的极大值点，且是唯一极值点.（2
18、）令，则.令，则和的图象在上有两个交点，.令，则，所以在上单调递减，而，故当时，即，单调递增；当时，即，单调递减.故.又，当且时，且，结合图象，可知若和的图象在上有两个交点，只需，所以的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间，求函数极值，利用导数数形结合判断函数零点个数，属于中档题.（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，椭圆的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求经过椭圆右焦点且与直线垂直的直线的极坐标方程；（2）若为椭圆上
19、任意-点，当点到直线距离最小时，求点的直角坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）消去参数得到椭圆的标准方程，从而得到右焦点的坐标由极坐标方程可得直线的直角坐标方程为，由此可得过点F且与垂直的直线的方程，化为极坐标方程即可（2）设点，可得点到直线的距离，然后根据三角函数的有关知识求解试题解析：（1）将参数方程（为参数）消去参数得，椭圆的标准方程为，椭圆的右焦点为，由得，直线的直角坐标方程为，过点与垂直的直线方程为，即，极坐标方程为 （2）设点，则点到直线的距离，其中，当时，取最小值，此时， 点坐标为选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数图象的最低点为，正数，满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先将写为分段函数的形式，然后根据分别解不等式即可；（2）先求出的最小值，然后根据图象的最低点为，求出和的值，再利用基本不等式求出的取值范围.【详解】解：（1）由，得由可得或或解得或或，综上，；（2）当时，取得最小值3，函数图象的最低点为，即，.，.当且仅当，即，时取等号，.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题.
