1、单元质检卷十概率(时间:100分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京人大附中高三三模)为了解某年级400名女生五十米短跑情况,从该年级中随机抽取8名女生进行五十米跑测试,她们的测试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,小数部分为叶)如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为9.4秒)的人数为()A.150B.250C.200D.502.(2020江西九江高三模拟)某学校在校学生2 000人,为了学生的“德、智、体”全面发展,学校举行了跑步和登山比赛活动,每人都参加而且只参与其
2、中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:年级高一高二高三跑步人数abc登山人数xyz其中abc=253,全校参与登山的人数占总人数的14.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高三年级参与跑步的学生中应抽取()A.15人B.30人C.40人D.45人3.一试验田某种作物一株生长果实个数x服从正态分布N(90,2),且P(xk)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.82819.(12分)某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”,收集了使用该型号电动
3、汽车1年以上的部分客户的相关数据,得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”.从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组,从年龄在40岁(含40岁)以上的客户中抽取10位归为B组,将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图,其中“+”表示A组的客户,“”表示B组的客户.注:“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值.(1)记A,B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m,n,根据图中数据,试比较m,n的大小(结论不要求证明);(2)从A,B两组客户中随机抽取2位,求其中至少有一位是A组的客户的概率;(3)如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”
4、不小于350,那么称该客户为“驾驶达人”,从A,B两组客户中,各随机抽取1位,记“驾驶达人”的人数为,求随机变量的分布列及其数学期望E().20.(12分)交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率就越高,具体浮动情况如表:交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上
5、一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了解某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了100辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计如下表:类型A1A2A3A4A5A6数量201010302010以这100辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率,完成下列问题:(1)按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定,a=950(元),记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用,求X的分布列与数学期望.(2)某二手车销
6、售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5 000元,一辆非事故车盈利10 000元.若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求这三辆车中至多有一辆事故车的概率;若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求该销售商获得利润的期望值.21.(12分)某公司年会举行抽奖活动,每位员工均有一次抽奖机会.活动规则如下:一只盒子里装有大小相同的6个小球,其中3个白球,2个红球,1个黑球,抽奖时从中依次摸出3个小球.若所得的小球同色,则获得一等奖,奖金为300元;若所得的小球颜色互不相同,则获得二等奖,奖金为200元;若
7、所得的小球恰有2个同色,则获得三等奖,奖金为100元.(1)求小张在这次活动中获得的奖金数X的分布列及数学期望;(2)若每个人获奖与否互不影响,求该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率.22.(12分)某市为了制定扶贫战略,统计了全市1 000户农村贫困家庭的年纯收入,并绘制了如下频率分布直方图:(1)若这1 000户家庭中,家庭年纯收入不低于5千元,且不超过7千元的户数为40户,请补全频率分布图,并求出这1 000户家庭的年纯收入的平均值x(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图,可以认为这1 000户的家庭年纯收入X服从正态分布N(,2),其中近似为年纯收入
8、的平均值x,2近似为样本方差,经计算知2=9.26;设该市的脱贫标准为家庭年纯收入为x千元(即家庭年纯收入不低于x千元,则该户家庭实现脱贫,否则未能脱贫),若根据此正态分布估计,这1 000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,试求该市的脱贫标准x;(3)若该市为了加大扶贫力度,拟投入一笔资金,帮助未脱贫家庭脱贫,脱贫家庭巩固脱贫成果,真正做到“全面小康路上一个也不能少”,方案如下:对家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭每户家庭给予扶持资金15千元,对家庭年纯收入超过5.92千元,但不超过8.96千元的家庭每户家庭给予扶持资金12千元,对家庭年纯收入超过8.96千元,但不超过15.04千元的家
9、庭每户家庭给予扶持资金8千元,对家庭年纯收入超过15.04千元的家庭不予以资金扶持,设Y为每户家庭获得的扶持资金,求E(Y)(结果精确到0.001).附:若随机变量XN(,2),则P(-X+)0.683,P(-2X+2)0.954,9.263.04.参考答案单元质检卷十概率1.B由茎叶图可知,成绩在9.4秒以内的都为合格,即合格率为P=58,故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为40058=250.2.D全校参与登山的人数是200014=500,所以参与跑步的人数是1500,应抽取1500200020032+5+3=150310=45(人).3.BxN(90,2),且P(x110)=0.2,
10、P(90x110)=0.5-0.2=0.3,XB(10,0.3),X的方差为100.3(1-0.3)=2.1.故选B.4.C设事件A1为“他乘火车来”,A2为“他乘船来”,A3为“他乘汽车来”,A4为“他乘飞机来”,B为“他迟到”.易见A1,A2,A3,A4构成一个完备事件组,由全概率公式得P(B)=i=14P(Ai)P(B|Ai)=0.30.25+0.20.3+0.10.1+0.40=0.145.5.C事件AB为“所取2张卡片上的数字之和为小于9的偶数”,以(a,b)为一个样本点,则事件AB包含的样本点有(1,3),(1,5),(1,7),(2,4),(2,6),(3,5),共6个,由古典概
11、型的概率公式可得P(AB)=6C82=314,事件A为“所取2张卡片上的数字之和为偶数”,则所取的两个数全是奇数或全是偶数,由古典概型的概率公式可得P(A)=2C42C82=37,因此,P(B|A)=P(AB)P(A)=31473=12,故选C.6.B最后乙队获胜事件含3种情况:第三局乙胜,其概率为13;第三局甲胜,第四局乙胜,其概率为2313=29;第三局和第四局都是甲胜,第五局乙胜23213=427.故最后乙队获胜的概率P=13+29+427=1927.7.A根据题意,结合范例画出648345的表格,从表格中可以看出,共有18个数,其中奇数有5个,所以从表内任取一数,恰取到奇数的概率为P=
12、518.8.D根据题意,设第k发子弹击中目标的概率最大,而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率P(n=k)=C19k0.8k0.219-k(k=0,1,2,19),则有f(k)f(k+1)且f(k)f(k-1),即C19k0.8k0.219-kC19k+10.8k+10.218-k,C19k0.8k0.219-kC19k-10.8k-10.220-k,可解得15k16,即第15或16发子弹击中目标的可能性最大,则他射完19发子弹后,击中目标的子弹数最可能是15或16发.9.BD易见A1,A2,A3是两两互斥的事件,故D正确,P(B|A1)=511,故B正确,P(B)=P(BA1)+P(BA2)
13、+P(BA3)=510511+210411+310411=922,故A不正确,事件B与事件A1不相互独立,故C不正确,故选BD.10.ACD因为退休前工资收入为8000元/月,每月储蓄的金额占30%,则该教师退休前每月储蓄支出800030%=2400(元),故A正确;因为退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元,则该教师退休后每月储蓄的金额为900元,所以该教师退休后工资收入为90015%=6000(元/月),故C正确;该教师退休前的旅行支出为80005%=400(元),退休后的旅行支出为600015%=900(元),所以该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的2.25倍,故B错
14、误;该教师退休前的其他支出为800020%=1600(元),退休后的其他支出为600025%=1500(元),所以该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少,故D正确.11.ACD对于选项A,+30=280,=250,正确;对于选项B,C,利用越小越集中,30小于40,B不正确,C正确;对于选项D,由于白玫瑰的日销量X服从正态分布N(280,402),所以P(280X320)0.68312=0.3415,正确.12.ABD选项A,从中任取3球,恰有一个白球的概率是C42C21C63=35,故正确;选项B,从中有放回的取球6次,每次任取一球,每次抽到白球的概率为26=13,则恰好有两次白球的概率
15、为C62234132=80243,故正确;选项C,现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为C41C31C41C51=35,故错误;选项D,从中有放回的取球3次,每次任取一球,每次抽到红球的概率为46=23,则至少有一次取到红球的概率为1-C30133=2627,故正确.13.16记布施,持戒,忍辱,精进,禅定,般若分别为a,b,c,d,e,f,则样本点有(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,
16、e),(c,f),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(d,f),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e),(e,f),(f,a),(f,b),(f,c),(f,d),(f,e),(f,f),共36个,其中符合条件的有6个,故所求概率P=636=16.14.12E()=0,由表中数据可知E()=(-1)14+0a+1b=0,解得b=14.又14+a+b=1,a=12.所以D()=(-1-0)214+012+(1-0)214=12.15.47250因为甲及格的概率为45,乙及格的概率为35,丙及格的概率为710,所以仅甲及格的概率为451-351-710
17、=24250;仅乙及格的概率为1-45351-710=9250;仅丙及格的概率为1-451-35710=14250.三人中只有一人及格的概率为24250+9250+14250=47250.16.73213128事件S8=2表示反复抛掷8次硬币,其中出现正面的次数是5次.其概率P=C85125123=732.事件“S20,S8=2”表示前两次全正或全负,则概率为C63128+C65128=13128.17.解(1)样本点总数有16个,分别为(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(
18、3,1),(3,2),(3,3),记“获得飞机玩具”为事件A,则事件A包含的样本点有3个,分别为(2,3),(3,2),(3,3),每对亲子获得飞机玩具的概率p=316.(2)记“获得汽车玩具”为事件B,“获得饮料”为事件C,事件B包含的样本点有6个,分别为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),每对亲子获得汽车玩具的概率P(B)=616=38,每对亲子获得饮料的概率P(C)=1-P(A)-P(B)=716,每对亲子获得汽车玩具的概率小于获得饮料的概率.18.解(1)由题意知,男士人数为10035=60,女士人数为10025=40,由此填写22列联表如下:性别政
19、策有效政策无效总计男生501060女生251540合计7525100可知a=50,b=15.由表中数据,计算2=100(5015-2510)260407525=5.5566.635.所以没有99%的把握认为“政策是否有效与性别有关”.(2)从被调查的该餐饮机构的市民中,利用分层抽样抽取10名市民,男士抽取6人,女士抽取4人,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=C64C104=114,P(X=1)=C41C63C104=821,P(X=2)=C42C62C104=37,P(X=3)=C43C61C104=435,P(X=4)=C44C104=1210.所以X的分布列为X012
20、34P114821374351210数学期望为E(X)=0114+1821+237+3435+41210=85.19.解(1)mn.(2)设“从抽取的20位客户中任意抽取2位,至少有一位是A组的客户”为事件M,则P(M)=C101C101+C102C202=2938.所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是2938.(3)依题意的可能取值为0,1,2.则P(=0)=C91C81C101C101=1825;P(=1)=C11C81+C91C21C101C101=1350;P(=2)=C11C21C101C101=150.所以随机变量的分布列为012P1825135015
21、0所以随机变量的数学期望E()=01825+11350+2150=310,即E()=310.20.解(1)由题意可知,X的可能取值为0.9a,0.8a,0.7a,a,1.1a,1.3a,由统计数据可知:P(X=0.9a)=15,P(X=0.8a)=110,P(X=0.7a)=110,P(X=a)=310,P(X=1.1a)=15,P(X=1.3a)=110,X的分布列为X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP1511011031015110E(X)=0.9a15+0.8a110+0.7a110+a310+1.1a15+1.3a110=9.810a=931.(2)由统计数据可知任意一辆该品
22、牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为310,三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=C3031001-3103+C3131011-3102=0.784.设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润,Y的可能取值为-5000,10000,P(Y=-5000)=310,P(Y=10000)=710,Y的分布列为Y-500010000P310710E(Y)=-5000310+10000710=5500.该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100E(Y)=550000(元)=55(万元).21.解(1)小张在这次活动中获得的奖金数X的所有可能取值为100,200,300.P(
23、X=300)=C33C63=120,P(X=200)=C31C21C11C63=620=310,P(X=100)=C32C31+C22C41C63=9+420=1320,或P(X=100)=1-P(X=200)-P(X=300)=1320所以奖金数X的概率分布列为X100200300P1320310120奖金数X的数学期望E(X)=1001320+200310+300120=140.(2)设3个人中获二等奖的人数为Y,则YB3,310,所以P(Y=k)=C3k310k7103-k(k=0,1,2,3),设“该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖”为事件A,则P(A)=P(Y=2)+P(Y=3
24、)=C323102710+C333103=27125.则该公司某部门3个人中至少有2个人获二等奖的概率为27125.22.解(1)家庭年纯收入不低于5千元且不超过7千元的频率为401000=0.04,纵坐标为0.02;家庭年纯收入不低于15千元,但不超过17千元的家庭频率为1-2(0.02+0.05+0.12+0.16+0.06+0.04)=0.1,纵坐标为0.05,补全频率分布直方图如下图:这1000户家庭的年纯收入的平均值为x=60.04+80.1+100.24+120.32+140.12+160.1+180.08=12.(2)1000户家庭中有841.35户家庭实现脱贫,则未脱贫概率为1-841.351000=0.15865,设该市的脱贫标准为x,则P(xX2-x)1-0.158652=0.683,根据P(-X+)0.683,得脱贫标准x=-=12-9.2612-3.04=8.96.(3)=12,=9.26=3.04,-2=5.92,-=8.96,+=15.04,家庭年纯收入不超过5.92千元的家庭频率为P(X5.92)=P(X15.04)=P(X+)1-0.6832=0.1585,则每户家庭获得的扶持资金Y的数学期望E(Y)=150.0223+120.1355+80.683+00.15857.425.
