1、课后素养落实(十五)抛物线及其标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1设抛物线的顶点在原点，准线方程x2，则抛物线的方程是()Ay28xBy24xCy28xDy24xC由准线方程x2，顶点在原点，可得两条信息：该抛物线焦点为F(2，0)；该抛物线的焦准距p4故所求抛物线方程为y28x2若动点P到定点F(1，0)和直线l：y0的距离相等，则动点P的轨迹是()A线段B直线C椭圆D抛物线B设动点P(x，y)，则|y|化简得x1故动点P的轨迹是直线x13抛物线y212ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()Ay28xBy212xCy216xDy220xA准线方
2、程l：x3a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则33a5a抛物线方程为y28x，故选A4抛物线y24x上一点P到焦点的距离是10，则点P的坐标是()A(6，9)B(9，6)C(9，6)D(6，9)B设P(x0，y0)，则|PF|x0(1)x0110，x09，y36，y065已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)是抛物线y22px上的三点，点F是抛物线y22px的焦点，且|P1F|P3F|2|P2F|，则()Ax1x32x2Bx1x32x2Cx1x30)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则_如图，由抛物线定义：|AF|AA1|，
3、|BF|BB1|又已知AB的倾斜角为30，|BB1|AA1|AB|(|AF|BF|)，|BF|AF|(|AF|BF|)，整理得|BF|3|AF|，三、解答题9分别求符合下列条件的抛物线方程：(1)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A(2，3)；(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为解(1)由题意，方程可设为y2mx或x2ny将点A(2，3)的坐标代入，得32m2或22n3，m或n所求的抛物线方程为y2x或x2y(2)由焦点到准线的距离为可知p所求抛物线方程为y25x或y25x或x25y或x25y10学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验设计方案如图，航天器运行(按顺序时
4、针方向)的轨迹方程为1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴、M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)观测点A(4，0)、B(6，0)同时跟踪航天器(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解(1)设曲线方程为yax2，由题意可知，064a，a曲线方程为yx2(2)设变轨点为C(x，y)，联立得4y27y360y4或y(不合题意，舍去)由y4得x6或x6(不合题意，舍去)C点的坐标为(6，4)，此时|AC|2，|BC|4故当观测点A，B测得AC，BC
5、距离分别为2，4时，应向航天器发出变轨指令11已知A为抛物线C：y22px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p()A2B3C6D9C法一：因为点A到y轴的距离为9，所以可设点A(9，yA)，所以y18p又点A到焦点的距离为12，所以12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6故选C法二：根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以129，解得p6故选C12若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4D8D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为(，0)由
6、题意得，p0(舍去)或p8故选D13设圆C与圆x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心的轨迹为()A抛物线B双曲线C椭圆D圆A法一：设圆C的半径为r，则圆心C到直线y0的距离为r由两圆外切，得圆心C到点(0，3)的距离为r1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线法二：设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r，点A(0，3)，由题意得|CA|r1y1，y1，化简得yx21，圆心的轨迹是抛物线14(一题两空)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则ABC重
7、心的坐标为_；|_(1，0)6因为0，所以点F(1，0)为ABC的重心，则xAxBxC3，所以|xA1xB1xC1615(多选题)如图所示，抛物线yx2，AB为过焦点F的弦，过A，B分别作抛物线的切线，两切线交于点M，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM)，则下列结论正确的有()A若AB的斜率为1，则|AB|8B|AB|min4CxAxB4D若AB的斜率为1，则xM2ABCD由题意得，焦点F(0，1)，对于A，lAB的方程为yx1，与抛物线的方程联立，得 消去x，得y26y10，所以yAyB6，则|AB|yAyBp8，则A正确；对于B，|AB|min2p4，则B正确；设lAB的方程为ykx1，与抛物线的方程联立，得 消去y，得x24kx40，所以xAxB4k，xAxB4，则C正确；对于D，当AB的斜率为1时，设过点A抛物线的切线方程为yxk，代入yx2得，x24kxx4kxA 0，则 16k24x16kxA 0，即k，过点A抛物线的切线方程为y xx，同理过点B抛物线的切线方程为y xx，联立解得xM2，则D正确
