1、专题7 解析几何第29练 与抛物线有关的热点问题抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点.考查形式有填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 123451.(2015四川改编)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.解析 答案(2,4)123452.(2015浙江改编)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点
2、的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是_.解析 答案 BF1AF1123453.(2016 四川改编)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM2MF，则直线OM的斜率的最大值为_.解析 答案 22123454.(2016课标全国乙改编)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 D，E 两点.已知 AB4 2，DE2 5，则 C 的焦点到准线的距离为_.4 解析 答案 12345解析答案 返回 5.(2015上海)抛物线y22px(p0)上的动点Q到
3、焦点的距离的最小值为1，则p_.所以有 PQminp21p2.解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时候，才与抛物线焦点的距离最小，2 高考必会题型 题型一 抛物线的定义及其应用 例1 已知P为抛物线y26x上一点，点P到直线l：3x4y260的距离为d1.(1)求d1的最小值，并求此时点P的坐标；解 设 P(y206，y0)，则 d1|12y204y026|5解析答案 110|(y04)236|，当 y04 时，(d1)min185，此时 x0y20683，当 P 点坐标为(83，4)时，(d1)min185.解析答案(2)若点P到抛物线的准线的距离为d2，求d1d2的最
4、小值.解 设抛物线的焦点为 F，则 F(32，0)，且 d2PF，d1d2d1PF，它的最小值为点 F 到直线 l 的距离|9226|56110，(d1d2)min6110.点评 解析答案 变式训练1(1)(2016浙江)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是_.解析 抛物线y24x的焦点F(1,0).准线为x1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x1的距离也为10，故M的横坐标满足xM110，解得xM9，所以点M到y轴的距离为9.9 解析答案(2)已知点P在抛物线y24x上，那么点P到Q(2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为_.所以点
5、 P 纵坐标为1，则横坐标为14，即 P(14，1).解析 抛物线y24x焦点为F(1,0)，准线为x1，作PQ垂直于准线，垂足为M，根据抛物线定义，PQPFPQPM，根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：PQPM的最小值是点Q到抛物线准线x1的距离.(14，1)题型二 抛物线的标准方程及几何性质 例2(2015福建)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且AF3.(1)求抛物线E的方程；解析答案 解 由抛物线的定义得 AF2p2.因为 AF3，即 2p23，解得 p2，所以抛物线E的方程为y24x.点评(2)已知点G(1,0)，延长AF
6、交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.解析答案 解析答案 变式训练2 已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2,1).(1)求抛物线C的方程；解 设抛物线C的方程为x22py(p0)，由点M(2,1)在抛物线C上，得42p，则p2，抛物线C的方程为x24y.解析答案(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；解析答案(3)过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k22时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值.题型三 直线和抛物线的位置关系
7、 例3 已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；解 抛物线 C：x21my，解析答案 它的焦点 F(0，14m)(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；解 RFyR 14m，解析答案 2 14m3，得 m14.点评(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 解析答案 变式训练 3(2015课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点
8、，(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；解析答案 返回(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由.解析答案 高考题型精练 12345678910 11 121.如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_.解析 答案 y23x 12345678910 11 12解析答案 2.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM_.解析 设抛物线方程为 y22px，则点 M(2，2 p).焦点p2，
9、0，点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，2p224p9，解得 p2(负值舍去)，故 M(2，2 2).OM482 3.2 312345678910 11 123.设 F 为抛物线 y28x 的焦点，A，B，C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0，则|FA|FB|FC|的值是_.解析 答案 12 12345678910 11 12解析答案 4.已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C 上一点，AF54x0，则x0_.解析 由题意知抛物线的准线为 x14.因为 AF54x0，根据抛物线的定义可得 x014AF54x0，解得 x01.1 12345678910 11 125.已知
10、抛物线C：y28x的焦点为F，点M(2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若AMB90，则k_.解析 答案 2 12345678910 11 12解析答案 6.已知A(x1，y1)是抛物线y28x的一个动点，B(x2，y2)是圆(x2)2y216上的一个动点，定点N(2,0)，若ABx轴，且x10)和E2：y22p2x(p20)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点(1)证明：A1B1A2B2；12345678910 11 12解析答案(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点记A
11、1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2，求S1S2的值12345678910 11 12解析答案 12.已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；证明 由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22pmyp2，即 y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21y224p2 p44p2p24.12345678910 11 12解析答案(2)1AF 1BF为定值；证明 1AF 1BF1x1p21x2p2x1x2px1x2p2x1x2p24.因为 x1x2p24，x1x2ABp，代入上式，得 1AF 1BFABp24 p2ABpp242p(定值).解析答案 返回 12345678910 11 12(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.垂足为 N，则 MN12(ACBD)12(AFBF)12AB.证明 设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
