1、小专题(七)旋转中的计算与证明类型1基于“半角”的旋转在很多题目中都有这样的题设条件：一个大角中有一个共顶点的小角，小角正好是大角的一半(如例1)当面对这样的信息时，往往可以考虑使用旋转变换，并且旋转后，多半还有一对轴对称的全等三角形出现，此时，很多问题即可迎刃而解了总结此类问题解题的思路即是：半角信息带形旋转轴对称的全等三角形【例1】如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于O.设E，F分别是AB上不同的两个点，且EOF45，请你用等式表示线段AE，BF和EF之间的数量关系，并证明【思路点拨】将OFB绕点O顺时针旋转90，得OHA.连接HE，利用条件可证EOHEOF，从而得EH
2、EF.然后在RtAEH中，利用勾股定理得EH2AH2AE2，进而得出结论1已知在ABC中，ABAC，D，E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD，连接DE.(1)如图1，当BAC120时，DAE60时，求证：DEDE；(2)如图2，当DEDE时，DAE与BAC有怎样的数量关系？请写出，并说明理由(3)如图3，在(2)的结论下，当BAC90，BD与DE满足怎样的数量关系时，DEC是等腰直角三角形？(直接写出结论，不必说明理由)类型2基于“等边三角形”的旋转方法归纳：将等边三角形内的一个小三角形，旋转60度，从而使小三角形的一边与原等边三角形的边重合，连接小三角形的钝角顶点，得三角形通过旋
3、转将不相关的线段转化到同一个三角形中，将分散的已知条件集中起来，使问题得以解决【例2】如图，点P为等边ABC内一点，且PA2，PB1，PC，求APB的度数【思路点拨】将APC绕点A顺时针旋转60，得ADB.连接DA，DP，DB，得ADAP，DBPC，DAP60.从而可证ADP为等边三角形，所以DPAP2，DPA60.在DPB中，利用勾股定理逆定理可得DBP90，DPB60.从而可得APB120.2如图所示，点P是等边ABC内一点，PB2，PC1，BPC150，求PA的长3如图所示，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一角等于60.角的两边分别交AB、
4、AC于M、N，连接MN，构成一个AMN，求AMN的周长参考答案【例1】AE2BF2EF2.证明：将OFB绕点O顺时针旋转90，得OHA.连接HE，OHOF，AHBF，BOFAOH，HOF90.四边形ABCD是正方形，DAB90，AOB90.EOF45，AOEBOFAOBEOF904545.AOEAOHEOH45.EOHEOF.在EOH和EOF中，OHOF，EOHEOF，OEOE，EOHEOF(SAS)EFEH.在RtAEH中，由勾股定理得EH2AH2AE2，AHBF，AE2BF2EF2.1.(1)证明：ABD绕点A旋转得到ACD，ADAD，CADBAD.BAC120，DAE60，DAECADC
5、AEBADCAEBACDAE1206060.DAEDAE.在ADE和ADE中，ADAD，DAEDAE，AEAE，ADEADE(SAS)DEDE.(2) DAEBAC.理由如下：在ADE和ADE中，ADAD，AEAE，DEDE，ADEADE(SSS)DAEDAE.BADCAECADCAEDAEDAE.DAEBAC.(3)BAC90，ABAC，BACBACD45.DCE454590.DEC是等腰直角三角形，DECD.由(2)可得DEDE，ABD绕点A旋转得到ACD，BDCD.DEBD.【例2】ABC为等边三角形，ABAC，BAC60.将APC绕点A顺时针旋转60，得ADB.连接DA，DP，DB，得
6、ADAP2，DBPC，DAP60.ADP为等边三角形，所以DPAP2，DPA60.在DPB中，DB，BP1，DP2，DP2BP2DB2.DBP90，DPB60.APBDPBDPA6060120.2.将APC绕点C按逆时针旋转60，使CA移至CB处，PC移到PC，PA移到PB.PCP60，PCP是等边三角形PPC60，PPPC1.BPC150，BPP90.在RtBPP中，BP2，PPPC1，由勾股定理得PBPA.PA.3.因为ABC为等边三角形，DBC为等腰三角形，BDC120，所以以D为旋转中心，按顺时针方向将DBM旋转120如图，且N、C、E三点在同一条直线上所以DMDE，CEBM，BDMCDE.因为MDN60，所以BDMNDC60.所以NDE60.在DMN和DEN中，DMDE，MDNEDN，DNDN，所以DMNDEN.所以NEMN.所以AMN的周长AMMNANAMNEANAMNCCEANAMNCMBAN.即AMN的周长ABAC.因为ABAC1，故AMN的周长为2.
