1、2016年春期高中二年级期终质量评估数学试题（理）参考答案一、选择题: DAAAA BBBDB A A二、填空题: 13. 14 15. 16. 三、解答题：17. 解：令x1，则展开式中各项系数和为(13)n22n，又展开式中二项式系数和为2n，22n2n992，即n5(1)n5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，T3(3x2) 290x6，T4(3x2)3 5分 (2)解法一：设展开式中第r1项系数最大，则Tr1()5r(3x2)r3r，于是因此r4，即展开式中第5项系数最大，T5(3x2)4 10分 (2)解法二：设展开式中第r1项系数最大，则Tr1()5r(3x2)r3r
2、，系数为，从而有，由上可知r4，即展开式中第5项系数最大，T5(3x2)4。 10分18.解：（1），即在恒成立， 4分（2）用数学归纳法证明：（i）当时，由题设； 5分（ii）假设时命题成立，即。那么当时，由（i）知：在上是增函数，又，所以，结合（i）（ii）有数学归纳法可得，对任意都有。 10分，因为，所以，。 12分19. 解：3个人排有6种，3人排好后包含两端共有4个“间隔”可以插入空位。（）若从第一个位置开始相邻坐下，有种坐法若从第二个位置开始相邻坐下，有种坐法同理，综上可知，共有424种坐法 4分（）空位都不相邻相当于将3个空位安插在4个“间隔”中，有种故有种 8分（）3个空位至少
3、有2个相邻的情况有两类：3个空位恰有2个相邻，另有1个不相邻有种3个空位都相邻，有24种综上可知，有72+2496种坐法 12分 20. 解：（I） 当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故 ，解得 或 又p ,所 以 . 6分（II）依题意知的所有可能取值为2,4,6. P(=2)= , P(=4)=(1-)=, P(=6)=1-= ,所以随机变量 的分布列为：246p 所以的数学期望E=2+4+6= . 12分21. 解：（）a=12，b=38，e=36，f=64, 2分， 4分，有97.5%的把握认为这两个班在这次测试中成绩的差异与实施课题实验有关.6分（）乙班测试成绩在
4、100，120）的有25人，可取0，1，2，3，8分的分布列是0123 10分 12分22解：（1）f（x）=ex（ax+b），g（x）=x2+2bx+2f（x）=ex（ax+a+b），g（x）=2x+2b，由题意它们在x=0处有相同的切线，f（0）=a+b=g（0）=2b，a=b，f（0）=b=g（0）=2，a=b=2，f（x）=2ex（x+1），g（x）=x2+4x+2 3分（2）由题意F（x）=2xex+x2+2x+2，F（x）=2（ex+1）（x+1），由F（x）0，得x1；由F（x）0，得x1，F（x）在（1，+）上单调递增，在（，1）上单调递减，F（x）极小值=F（1）=10，函数F（x）的零点个数为0 6分（3）f（x）=2ex（x+2），由f（x）0，得x2，由f（x）0，得x1，F（x）在（2，+）单调递增，在（，2）单调调递减，t3，t+12当3t2时，f（x）在（t，2）单调递减，（2，t+1）单调递增，当t2时，f（x）在t，t+1单调递增，（t）=， 9分当3t2时，（t）4e2，当t2时，（t）=2et（t+1），当2t1时，（t）4e2，当t1时，（t）=2et（t+1）是增函数，又（2）=6e2，1t2，不等式（t）4e2的解集为（3，2 12分
