1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。63平面向量基本定理及坐标表示63.1平面向量基本定理【问题1】在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？【问题2】如果e1，e2是两个不共线的向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，a是这一平面内的任一向量结论有且只有一对实数1，2，使a1e12e2有关概念若e1，e2不共线，我们把叫做表示这一平
2、面内所有向量的一个基底正确理解平面向量基本定理(1)作用和意义平面向量基本定理告诉我们，平面内任何一个向量都可以沿着两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的(2)基底的性质不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一个基底，基底不同，表示也不同不唯一性对基底的选取不唯一平面内任一向量a都可被这个平面的一个基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的，若基底选取不同，则表示同一向量的实数1，2可以不同，也可以相同存在1，2R，1，2R，且a1e12e2，a1e12e2，那么1，1，2，2有何关系？提示：由已知得1e12e21e12e2，即(11)e1(22)e2.因为
3、e1与e2不共线，所以110，220，所以11，22.10能与另外一个向量a构成基底吗？2若e1，e2是平面内两个不共线的向量，则e1e2(，R)可以表示平面内的所有向量吗？3若e1，e2为不共线向量，且01e12e2，则有且只有120吗？提示：1.不能2.可以3.是的阅读教材第26页例2的解答过程，想一想：若取，为基底，如何进行证明？提示：设a，b，则ba，ba，所以2ba，所以a(2ba)2aba2，因为CDAB，所以CDAD，所以b2(ba)2，整理得2aba20，即0，所以CACB.于是ABC是直角三角形1如图，设O是ABCD两对角线的交点，有下列向量组：与；与；与；与.其中可作为该平
4、面内所有向量基底的是()A B C D【解析】选B.与不共线，与不共线，则可以作为该平面内所有向量的基底2如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_【解析】由题图可知，4e13e2.答案：4e13e2基础类型一正确理解基底的概念(数学抽象)1点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是()A， B，C， D，【解析】选B.由题图可知，与，与，与共线，不能作为基底向量，与不共线，可作为基底向量2如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分，(不包括边界)，若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0【解析】选C.当点P落
5、在第部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a0.3设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2.其中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是_(写出满足条件的序号).【解析】设e1e2e1，则无解，所以e1e2与e1不共线，即e1与e1e2能作为一个基底设e12e2(e22e1)则(12)e1(2)e20，则无解，所以e12e2与e22e1不共线，即e12e2与e22e1能作为一个基底因为e12e2(4e22e1)，所以e12e2与4e22e1共线，即e12e2与4e22e1不能作为一个基底设e
6、1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20，则无解，所以e1e2与e1e2不共线，即e1e2与e1e2能作为一个基底答案：1对基底的理解两个向量能否作为一个基底，关键是看这两个向量是否共线若共线，则不能作基底，反之，则可作基底2对平面向量基本定理的理解(1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的(2)对于固定基底而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的微提醒：平面向量基本定理的实质是向量的分解基础类型二用基底表示向量(数学运算)【典例】如图所示，在ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF
7、交于点G，若a，b，试用基底a，b表示向量，.【解析】ab.ba.1本例条件不变，试用基底a，b表示.【解析】由平面几何知识知BGBF，故aabaab.2若将本例中的向量“，”换为“，”，即若a，b，试用基底a，b表示向量，.【解析】222ba.222ab.【备选例题】 如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示，.【解析】设a，b，则ab，ab，由得解得即cd，cd.【知识拓展】方程组法表示向量类比解方程组的方法，将所要表示的向量看成未知数，根据题目条件列出所要表示的向量的方程组，解方程或方程组即得用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依
8、据：向量加法的三角形法则和平行四边形法则；向量减法的几何意义；数乘向量的几何意义(2)模型：如图正六边形ABCDEF，设a，b，M为CD的中点，试用a，b表示.【解析】由题意，22()()2(ab)(b)2a2bb2ab.【加固训练】 如图，在等腰梯形ABCD中，DCAB，BCCDDA，DEAC 于点E，则()A BC D【解析】选A.因为CDDA，DEAC，所以E是AC 的中点，所以，又因为DCAB，DCAB，所以，所以.综合类型平面向量基本定理的应用(逻辑推理)唯一性及其应用【典例】已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.
9、【解析】因为a，b不共线，所以可设cxayb，x，yR，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又因为e1，e2不共线，所以解得x1，y2，所以ca2b.任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再建立方程或方程组，解方程或方程组求出1，2.【加固训练】 设e1，e2是不共线的
10、非零向量，且ae12e2，be13e2.(1)证明：a，b可以作为一个基底；(2)以a，b为基底表示向量c3e1e2.【解析】(1)假设ab(R)，则e12e2(e13e2).由e1，e2不共线，得所以不存在故a与b不共线，可以作为一个基底(2)设cmanb(m，nR)，则3e1e2m(e12e2)n(e13e2)(mn)e1(2m3n)e2.所以解得所以c2ab.用基底表示向量及应用【典例】(2021济南高一检测)如图，平行四边形ABCD中，a，b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BFBC.(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若3，4，a与b的夹角为120，求.【解析】(1
11、)因为平行四边形ABCD中，a，b，H，M是AD，DC的中点，BFBC，所以ba，abbab.(2)因为3，4，a与b的夹角为120，所以ab34cos 1206，所以a2b2ab916(6).平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决【加固训练】 在边长为1的菱形ABCD中，A60，E是线段CD上一点，满足|2|，如图所示，设a，b.(1)用a，b表示；(2)在线段BC上是否存在一点F满足AFBE？若存在，确定F点的位置，并求|；若不存在，请说明理由【解析】(1)根据题意得：b，a，所以ba；(2)在线段BC上存在使得4|的一
12、点F满足AFBE，此时|.理由如下：设ttb，因为点F在线段BC上，所以0t1，所以atb，因为在边长为1的菱形ABCD中，DAB60，|a|b|1，ab|a|b|cos 60，因为AFBE，所以(atb)aba2tb2t0，解得t，从而ab，所以|.创新拓展用向量解决平面几何问题(逻辑推理)【典例】如图所示，L，M，N分别为ABC的边BC，CA，AB上的点，且l，m，n，若0，求证：lmn.【证明】令a，b为一个基底，根据已知有la，mb.因为ab，则有nnanb.所以(l1)ab，amb，na(1n)b，又0.所以(ln)a(mn)b0.根据平面向量基本定理，有lnmn0.故lmn.用向量
13、解决平面几何问题的一般步骤(1)选取不共线的两个平面向量作为基底(2)将相关的向量用基底中的向量表示，将几何问题转化为向量问题(3)进行向量运算，得向量问题的解(4)再将向量问题的解转化为平面几何问题的解创新思维平面向量基本定理(直观想象)【典例】如图所示，向量，的长度分别是2，1.AOB120，AOC150，试用，表示.【解析】不妨设mn，则m0，n0.如图，构建OACB，其中，且，则AOC30，BOC90，于是|tan 60|，|sin 60|，所以|，|，所以|，|，从而m，n.所以.【思维难点】本题考查解平面向量基本定理的推导过程，故思维难点在于对推导过程的理解及平行四边形法则的灵活应
14、用【加固训练】 如图，在平面内有三个向量，|1，与的夹角为120，与的夹角为30，|5，设mn(m，nR)，则mn_.【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，则COQOCP90，在RtQOC中，2OQQC，|5.则|5，|10，所以|10，又|1，所以10，5，所以105，所以mn10515.答案：151已知AD是ABC的中线，a，b，以a，b为基底表示，则()A(ab) B2baC(ba) D2ba【解析】选B.如图，AD是ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而()，则22ba.2设D为ABC所在平面内一点，3，则()A BC D【解析】选A.().3已知e1，e2不共线，ae12e2，b2e1e2，要使a，b能作为平面内的一个基底，则实数的取值范围为_【解析】若能作为平面内的一个基底，则a与b不共线ae12e2，b2e1e2，由akb即得4.答案：(，4)(4，)4已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x4y)e1(2x3y)e26e13e2，则xy_【解析】由平面向量基本定理，得所以所以xy3.答案：35在平行四边形ABCD中，M为DC的中点，N为BC的中点，设b，d，m，n.(1)以b，d为基底，表示；(2)以m，n为基底，表示.【解析】如图所示(1)()()bd.(2)因为md，nd，所以由消去d，得nm.关闭Word文档返回原板块
