1、专题四 概率与统计 第 2 讲 概率与统计1(2019全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A.16B.14 C.13D.12解析：设两位男同学分别为 A，B，两位女同学分别为 a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示由图知，共有 24 种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“”的情况)共有 12 种，故所求概率为122412.答案：D2.(2018全国卷)如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色
2、部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3解析：因为 SABC12ABAC，以 AB 为直径的半圆的面积为12(AB2)28AB2，以 AC 为直径的半圆的面积为12(AC2)28AC2，以 BC 为直径的半圆的面积为12(BC2)28BC2，所以 S12ABAC，S8BC212ABAC，S(8AB28AC2)(8BC212ABAC)12ABAC.所以 SS.由几何概型概率公式得 p1SS总，p2SS总.所以 p1p2.故选 A.答案：A3(2018天津卷)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志
3、愿者人数分别为 240，160，160.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？(2)设抽出的 7 名同学分别用 A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”，求事件 M 发生的概率解：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7 名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人，2 人，2 人(2)从抽出的 7 名同学中随机抽
4、取 2 名同学的所有可能结果为A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，A，G，B，C，B，D，B，E，B，F，B，G，C，D，C，E，C，F，C，G，D，E，D，F，D，G，E，F，E，G，F，G，共 21 种由，不妨设抽出的 7 名同学中，来自甲年级的是 A，B，C，来自乙年级的是 D，E，来自丙年级的是 F，G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为A，B，A，C，B，C，D，E，F，G，共 5 种所以，事件 M 发生的概率为 P(M)521.4(2019北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学
5、生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的 1 000 名学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式 不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于 2 000 元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查 1 人，发现他本月的支付金额大于 2 000
6、 元结合(2)的结果，能否认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于 2 000 元的人数有变化？说明理由解：(1)由题知，样本中仅使用 A 的学生有 27330(人)，仅使用 B 的学生有 24125(人)，A，B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 1003025540(人)估计该校学生中上个月 A，B 两种支付方式都使用的人数为 401001 000400.(2)记事件 C 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取1 人，该学生上个月的支付金额大于 2 000 元”，则P(C)1250.04.(3)记事件 E 为“从样本仅使用 B 的学生中随
7、机抽查1 人，该学生本月的支付金额大于 2 000 元”假设样本仅使用 B 的学生中，本月支付金额大于 2 000 元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)0.04.答案示例 1：可以认为有变化，理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于 2 000 元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例 2：无法确定有没有变化理由如下：事件 E 是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定有没有变化本讲高考命题的主要内容是古典概型、几何概型的概率计算，同时渗透互斥事件，对立事件的概率，以客观题形式呈出，概率常与统计知识
8、渗透命题，主要以解答题形式，中等难度1几何概型的概率公式P(A)构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.2几何概型应满足两个条件(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等1某单位试行上班刷卡制度，规定每天 8：30 上班，有 15 分钟的有效刷卡时间(即 8：158：30)，一名职工在 7：50 到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是()A.23 B.58C.13D.38解析：该职工在 7：50 到 8：30 之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段 A
9、B，且 AB40，职工的有效刷卡地间是 8：15 到 8：30 之间，设其构成的区域为线段 CB，且 CB15，如图所以该职工有效刷卡上班的概率 P154038.答案：D2若函数 f(x)ex，0 x1，ln xe，1xe在区间0，e上随机取一个实数 x，则 f(x)的值不小于常数 e 的概率是()A.1eB11e C.e1eD.11e解析：当 0 x1 时，恒有 f(x)ex7.879，所以有 99.5%的把握认为选择科目与性别有关(3)从 90 个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽取 6 名，这 6 名学生中有 4 名男生，记为 a，b，c，d；有 2 名女生，记为 A，B.抽取 2 人所有的情况为(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共 15 种，选取的 2 人中至少有 1 名女生情况的有(a，A)，(a，B)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(d，A)，(d，B)，(A，B)，共 9 种故所求概率为 P 91535.
