1、江西省2020届高三数学6月联考试题 文（含解析）一选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解出集合、中的不等式即可.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力，较简单.2.复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先化简复数，再根据定义求.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的运算，考查运算求解能力，属于基础题型.3.已知，且，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的夹角公式即可求出。【详解】由题意可得，由于向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.故
2、选：A【点睛】本题主要考查向量夹角公式的应用，属于容易题4.随着社会的发展与进步，传播和存储状态已全面进入数字时代，以数字格式存储，以互联网为平台进行传输的音乐数字音乐已然融入了我们的日常生活.虽然我国音乐相关市场仍处在起步阶段，但政策利好使音乐产业逐渐得到资本市场更多的关注.对比如下两幅统计图，下列说法正确的是（ ）2011-2018年中国音乐产业投融资事件数量统计图2013-2021年中国录制音乐营收变化及趋势预测统计图A. 20112018年我国音乐产业投融资事件数量逐年增长B. 20132018年我国录制音乐营收与音乐产业投融资事件数量呈正相关关系C. 2016年我国音乐产业投融资事件
3、的平均营收约为亿美元D. 20132019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2018年【答案】B【解析】【分析】根据所给柱状统计图逐个选项分析即可.【详解】对于A，2013年我国音乐产业投融资事件数为10，比2012年我国音乐产业投融资事件数11少，故A错误；对于B，由图可知20132018年我国录制音乐营收随音乐产业投融资事件数量的增加而增加，故呈正相关关系，故B正确；对于C，2016年我国音乐产业投融资事件的平均营收为亿美兀，故C错误；对于D，20132019年我国录制音乐营收年增长率最大的是2015年，年增长率为%，故D错误.故选：B【点睛】本题考查统计图的实际应用，考查数据处理能力，属
4、于容易题.5.已知实数，满足不等式组，则的最小值为（ ）A. 0B. 2C. 6D. 30【答案】B【解析】【分析】画出可行域，解出可行域的顶点坐标，代入目标函数求出相应的数值，比较大小得到目标函数最值.【详解】由同理如图，直线平移到B点时，取最小值为故选：B【点睛】本题考查线性规划的线性目标函数的最优解问题. 线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形，我们可以直接解出可行域的顶点，然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值.6.用一个平面去截正方体，截面
5、的形状不可能是（ ）A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C【解析】【分析】不难作出截面是正三角形和正方形的例子，正六边形的例子是由相应棱的中点连接而成，利用反证法，和平面平行的性质定理可以证明不可能是正五边形【详解】如图所示：截面的形状可能是正三角形（图1），正方形（图2），正六边形（图3） 图1 图2 图3假若截面是正五边形，则截面中的截线必然分别在5个面内，由于正方体有6个面，分成两两平行的三对，故必然有一对平行面中有两条截线，而根据面面平行的性质定理，可知这两条截线互相平行，但正五边形的边中是不可能有平行的边的，故截面的形状不可能是正五边形故选：C【点睛】本题主
6、要考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，掌握正方体以及平面图形的几何特征，难点是借助于反证法，利用面面平行的性质定理判定C错误，属于基础题7.设等差数列的前项和为，且，则（ ）A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】B【解析】【分析】首先根据等差数列性质可知，再代入前项和公式求.【详解】因为，所以，则.故选：B【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和公式，属于基础题型.8.已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据已知可得，再结合值域为，即可确定的范围，进而可求出的取值范围.【详解】因为，所以，因为，所以，解得，故的取值范围是.
7、故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力，属于基础题.9.已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，当时，则（ ）A. 3B. C. 7D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得，再将化成，即可得到答案；【详解】由题意可得，所以.故选：D.【点睛】本题考查函数的性质，考查运算求解能力与推理论证能力.10.在四面体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把四面体补成一个长，宽，高分别为，1的长方体，取的中点，连接，运用条件可得是等腰直角三角形，然后可得出答案.【详解】如图，把四面体补成一个长，宽，
8、高分别为，1的长方体，取的中点，连接，.因为，分别是，的中点，所以，同理，因为，所以，所以是等腰直角三角形，则，即异面直线与所成的角为.故选：B【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与运算求解能力，属于基础题.11.设双曲线的右焦点为，点.已知点在双曲线的左支上，且，不共线，若的周长的最小值是，则双曲线的离心率是（ ）A. 3B. C. 5D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线定义可得，结合图示，可得当共线时，的周长最小，进而可得a与c的关系，代入公式，即可求出离心率。【详解】如图，设为的左焦点，连接， 则，所以的周长.因为，所以的周长.因为的周长的最小值是，所以，所以，所以双曲
9、线的离心率是.故选D【点睛】本题考查双曲线的定义，离心率的求法，关键在于根据已知条件得到共线时，的周长最小，再根据条件化简求值即可，考查运算求解能力与推理论证能力，属中档题。12.设函数是定义在上的单调函数，且，.若函数有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，由得出，可求得的值，可得出，然后考查直线与函数的图象相切时的值，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】由题意可得为常数，设，所以，则函数为增函数，由，解得，故，.函数有两个零点等价于函数与的图象有两个不同的交点，当直线与曲线相切时，设切点，则，解得，此时，.如下图所示：由图象可知，要使得函数与
10、的图象有两个不同的交点，则.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数零点问题，解答的关键就是求出函数的解析式，考查数形结合思想的应用，属于中等题.二填空题13.已知函数，若，则_.【答案】1【解析】【分析】将代入函数的解析式，解方程即可求出的值.【详解】由题意可得，解得.【点睛】本题主要考查解对数方程，考查运算求解能力，属于基础题.14.辊子是客家传统农具，南方农民犁开田地后，仍有大的土块.农人便用六片叶齿组成辊轴，两侧装上木板，人跨开两脚站立，既能掌握平衡，又能增加重量，让牛拉动辊轴前进，压碎土块，以利于耕种.这六片叶齿又对应着菩萨六度，即布施持戒忍辱精进禅定与般若.若甲乙每人依次有放回地从这六
11、片叶齿中随机取一片，则这两人选的叶齿对应的“度”相同的概率为_.【答案】【解析】【分析】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为，然后列出所有的基本事件和满足所求事件的基本事件即可.【详解】记布施，持戒，忍辱，精进，禅定，般若分别为，则基本事件有，共36个，其中符合条件的有6个，故所求概率.故答案为：【点睛】本题考查数学文化与古典概型，考查运算求解能力.15.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且，线段的垂直平分线过点，则抛物线的方程是_；若直线过点，则_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据焦半径公式可得，再根据可得，联立即可求出，得到抛物线的方程；再联立直线和抛物线
12、的方程，可解得，再根据，即可解出【详解】设，由抛物线的焦半径公式可得，则，即.因为点在线段的垂直平分线上，所以，则.因为，所以，因为，所以，则，解得，故抛物线的方程是.因为直线过点，所以直线的方程是，联立，整理得，则，从而，因为，所以，解得.故答案为：；【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，意在考查学生转化与化归的能力以及数学运算能力，属于基础题16.在数列中，且，则_.(用含的式子表示)【答案】【解析】【分析】将条件变形为，即数列是首项为，公比为3的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，所以所以.故答案为：
13、【点睛】本题考查数列，考查化归与转化的数学思想与运算求解能力，属于中档题.三解答题17.针对某新型病毒，某科研机构已研发出甲乙两种疫苗，为比较两种疫苗的效果，选取100名志愿者，将他们随机分成两组，每组50人.第一组志愿者注射甲种疫苗，第二组志愿者注射乙种疫苗，经过一段时间后，对这100名志愿者进行该新型病毒抗体检测，发现有的志愿者未产生该新型病毒抗体，在未产生该新型病毒抗体的志愿者中，注射甲种疫苗的志愿者占.产生抗体未产生抗体合计甲乙合计（1）根据题中数据，完成列联表；（2）根据（1）中的列联表，判断能否有的把握认为甲乙两种疫苗的效果有差异.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）列联表答
14、案见解析.（2）有的把握认为甲乙两种疫苗的效果有差异.【解析】【分析】（1）根据题目所给条件，计算并填写列联表.（2）计算出的值，由此判断有的把握认为甲乙两种疫苗的效果有差异.【详解】（1）由题意可得未产生该新型病毒抗体的志愿者的人数为，则注射甲种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为；注射乙种疫苗的志愿者中未产生抗体的人数为，产生抗体的人数为.产生抗体未产生抗体合计甲48250乙42850合计9010100（2），因为，所以有的把握认为甲乙两种疫苗的效果有差异.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，属于基础题.18.在中，角，所对的边分别为，.已知.（1）求；（2）若，为的角平
15、分线，在上，且，求.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）通过正弦定理将边化为角，结合三角形内角和定理和以及两角和的正弦公式可得，最后由恒等式可得结果；（2）设，首先求出，然后根据列式即可求出的值.【详解】（1）因为，所以，所以，所以.因为，所以，故.（2）设，则.因为为的角平分线，所以，因为，所以，则.因为，所以，即，解得.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理实现边角互化，两角和的正弦公式，三角形的面积公式的应用，属于中档题.19.在三棱锥中，平面，为的中点，且.（1）证明：平面.（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析.（2）【解析】【分析】（1）根据为的中点，且，可得，即
16、，根据平面，得到，又，利用线面垂直的判定定理证得平面；（2）利用等积法，求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：因为为的中点，且，所以，所以，所以.因为，所以，即.因为平面，且平面，所以.因为平面，平面，且，所以平面.（2）解：由（1）可知.因为，所以，所以，则的面积为.因为为的中点，所以的面积为.因为平面，所以，所以，则的面积为.设点到平面的距离为，因为，所以，解得.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，点到平面的距离，属于简单题目.20.已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大
17、值(为坐标原点).【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的右顶点到直线的距离为3可求，然后利用离心率可求，结合的关系可得椭圆的方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理可求，结合三角形面积公式及基本不等式可求的面积的最大值.【详解】（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为3，所以，解得或（舍）.因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以.故椭圆的方程为.（2）由题意可知直线的斜率不为0，则可设直线方程为，联立，整理得，则，从而.故的面积.设，则，故，当且仅当，即时，的面积取得最大值2.【点睛】本题主要考查椭圆的方程求解及三角形面积的最值问题，三角形面积最值一般根据目标式的特征，选
18、择合适的方法求解最值，常用基本不等式法，侧重考查数学运算的核心素养.21.（1）试比较与的大小.（2）若函数的两个零点分别为，求的取值范围；证明：.【答案】（1）答案见解析.（2）.证明见解析【解析】【分析】（1）设，然后利用导数求出的单调性，然后结合函数值即可比较出大小；（2）利用导数求出的最小值即可；不妨设，则，结合（1）中结论可推出，然后可得，将其分解因式可证明.【详解】（1）设，则，故在上单调递减.因为，所以当时，；当时，；当时，.即当时，；当时，；当时，.（2）因为，所以，令，得；令，得，则在上单调递减，在上单调递增，故.因为有两个零点，所以，即.因为，所以当有两个零点时，的取值范围
19、为.证明：因为，是的两个零点，不妨设，则.因为，所以，即，则，即，即.因为，所以，则，即.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点，考查了学生处理综合问题的能力，属于压轴题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数).（1）求曲线，的普通方程；（2）已知点，若曲线，交于，两点，求的值.【答案】（1）：，：.（2）【解析】【分析】（1）消去参数可得曲线普通方程；将y平方消去可得曲线的普通方程；（2）将直线改写成过的标准直线参数方程，再联立曲线的普通方程化简可得关于的一元二次方程，根据的几何意义，结合韦达定理，即可求出的值。【详解】（1）由曲线的参数方程为
20、(为参数)，消去得.由曲线的参数方程为(为参数)，消去得.（2）曲线的标准参数方程为(为参数).代入，整理得，所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查参数方程与直角坐标方程的互化，同时也考查了直线参数方程的几何意义，易错点在于要先将直线参数方程化为标准形式，再代入求解，属中档题。23.已知函数.（1）求不等式解集；（2）若函数的最小值为，且实数，满足，求的最大值.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）首先将写成分段函数的形式，然后解出即可；（2）首先求出，然后利用柯西不等式求解即可.【详解】（1），等价于或或，解得或或.故不等式的解集为.（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，所以，则，故(当且仅当，时取等号)，即的最大值为.【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
