1、1温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(四十九)一、选择题1.(2013郑州模拟)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起,使得平面ABD平面CBD,则异面直线AD,BC所成的角为()(A)120(B)30(C)90(D)602.在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为边长为1的正三角形,侧棱AA1底面ABC,点D在棱BB1上,且BD=1,若AD与平面AA1C1C所成的角为,则sin的值为()(A)(B)(C)(D)3.(2013佛山模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-
2、C1的余弦值为()(A)(B)(C)(D)4.(2013湛江模拟)在三棱锥S-ABC中,ABC是边长为4的正三角形,平面SAC平面ABC,SA=SC=2,M,N分别为AB,SB的中点,如图所示,则点B到平面CMN的距离为()(A)(B)(C)(D)5.(2013三亚模拟)如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为()(A)(B)-(C)(D)-6.如图,平面ABCD平面ABEF,四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,且AF=AD=a,G是EF的中点,则GB与平面AGC所成
3、角的正弦值为()(A)(B)(C)(D)二、填空题7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别是C1D1,CC1的中点,则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为.8.如图,正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则点O到平面ABC1D1的距离为.9.二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则该二面角的大小为.10.(2013江门模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.若PD=AD,
4、则二面角A-PB-C的余弦值为.三、解答题11.(2013安阳模拟)如图,正方形ABCD所在平面与等腰三角形EAD所在平面相交于AD,EA=ED,AE平面CDE.(1)求证:AB平面ADE.(2)设M是线段BE上一点,当直线AM与平面EAD所成角的正弦值为时,试确定点M的位置.12.(2013东莞模拟)如图,四棱锥P-ABCD中,PB底面ABCD,CDPD,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ABBC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA.(1)求直线PC与平面PAD所成角的余弦值.(2)求证:PC平面EBD.(3)求二面角A-BE-D的余弦值.13.(能力挑战题)已知正方形AB
5、CD的边长为2,ACBD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.(1)当a=2时,求证:AO平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120时,求二面角A-BC-D的正切值.答案解析1.【解析】选D.建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0,0),B(0,0),C(0,0,),D(0,-,0),=(-,-,0),=(0,-,),|=2,|=2,=2,cos=.异面直线AD,BC所成的角为60.2.【解析】选D.如图,建立坐标系,易求点D(,1),平面AA1C1C的一个法向量是n=(1,0,0),所以cos=,即sin=.3.【解析】选D.设正方体
6、棱长为1,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,易知A1EBD,C1EBD,则A1EC1是二面角A1-BD-C1的平面角,=(,-,1),=(-,1),cos=.【方法技巧】求二面角的策略(1)法向量法.其步骤是:建系;分别求构成二面角的两个半平面的法向量;求法向量夹角的余弦值;根据题意确定二面角的余弦值或其大小.(2)平面角法.该法就是首先利用二面角的定义,找出二面角的平面角,然后用向量法或解三角形法求其余弦值.4.【解析】选C.取AC的中点O,连接OS,OB.SA=SC,AB=BC,ACSO,ACBO.平面SAC平面ABC,平面SAC平面ABC=AC,SO平面ABC,SOBO.如图所示,建
7、立空间直角坐标系O-xyz,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),S(0,0,2),M(1,0),N(0,).=(3,0),=(-1,0,),=(-1,0).设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,则取z=1,则x=,y=-,n=(,-,1).点B到平面CMN的距离d=5.【解析】选A.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,ACB=90,F,G分别是线段AE,BC的中点.以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,A(0,2,0),B(2,0,0),D(0,0,2),G(1,0,0),F(0,2,1),=(0,-2,2),=(-1
8、,2,1),|=2,|=,=-2,cos=-.直线AD与GF所成角的余弦值为.【误区警示】本题容易忽视异面直线所成角的范围而误选B.【变式备选】在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M为DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成的角是()(A)(B)(C)(D)【解析】选D.建立坐标系,通过向量的坐标运算可知AMOP恒成立,即AM与OP所成的角为.6.【解析】选C.如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,2a),G(a,a,0),F(a,0,0),=(a,a,0),=(0,2a,2a),=(a,-
9、a,0),=(0,0,2a).设平面AGC的一个法向量为n1=(x1,y1,1),由n1=(1,-1,1).设为GB与平面AGC所成的角,则sin=.7.【解析】以D为坐标原点,分别以,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则B1(2,2,2),N(0,2,1),=(2,0,1),又M(0,1,2),D(0,0,0),B(2,2,0),则=(2,2,0),=(0,1,2),可得平面BDM的一个法向量n =(2,-2,1),因为cos=,故直线B1N与平面BDM所成角的正弦值是.答案:8.【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示
10、,则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),O(,1),=(0,1,0),=(-1,0,1),设平面ABC1D1的法向量n =(x,y,z),由得令x=1,得n=(1,0,1).又=(-,-,0),O到平面ABC1D1的距离d=.答案:9.【解析】由条件,知=0,=0,=+,|2=|2+|2+|2+2+2+2=62+42+82+268cos=(2)2,cos=-,=120,二面角的大小为60.答案:6010.【解析】如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA,DB,DP分别为x轴,y轴,z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(
11、0,0), C(-1,0),P(0,0,1).=(-1,0),=(0,-1),=(-1,0,0).设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z),则即因此可取n=(,1,).设平面PBC的一个法向量为m,则可取m=(0,-1,-),则cos=-.由图形知二面角A-PB-C为钝角.故二面角A-PB-C的余弦值为-.答案:-11.【解析】(1)AE平面CDE,CD平面CDE,AECD.在正方形ABCD中,CDAD,ADAE=A,CD平面ADE.ABCD,AB平面ADE.(2)由(1)得平面EAD平面ABCD,取AD中点O,连结EO.EA=ED,EOAD,EO平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系
12、,设AB=2,则A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1).设M(x,y,z).=(x-1,y-2,z),=(-1,-2,1),B,M,E三点共线,设=,M(1-,2-2,),=(-,2-2,).设AM与平面EAD所成角为,平面EAD的一法向量为n=(0,1,0),sin=|cos|=,解得=,即点M为BE的中点.【变式备选】(2013石家庄模拟)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长都是2,底面正方形两条对角线相交于O点,M是侧棱PC的中点.(1)求此正四棱锥的体积.(2)求直线BM与侧面PAB所成角的正弦值.【解析】(1)由题可得,PO底面ABCD.在RtAOP中,AO=AC=
13、,AP=2,PO=.故VP-ABCD=S底PO=4=.(2)由(1)知PO底面ABCD,且OAOB,以O点为原点,OA,OB,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为A(,0,0),B(0,0),P(0,0,),M(-,0,),=(,-),=(-,0),=(-,0,).设平面ABP的一个法向量为n=(x,y,z),则有即取x=1,则y=1,z=1,n=(1,1,1),sin=cos(90-)=.12.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.设BC=a,则A(0,3,0),P(0,0,3),D(3,3,0),C(a,0,0),=(3-a,3,0)
14、,=(3,3,-3).CDPD,=0,即3(3-a)+9=0.a=6.设平面PAD的一个法向量为n=(x,y,1),则所以n=(0,1,1).设直线PC与平面PAD所成角为,则sin=,cos=,所以,直线PC与平面PAD所成角的余弦值为.(2)连接AC交BD于G,连接EG,=,又=,=,PCEG.又EG平面EBD,PC平面EBD,PC平面EBD.(3)设平面BED的一个法向量为n1=(x1,y1,1),因为=(0,2,1),=(3,3,0),由得所以于是n1=(,-,1),又因为平面ABE的一个法向量n2=(1,0,0),所以cos=,二面角A-BE-D的余弦值为.13.【解析】(1)根据题
15、意,在AOC中,AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2,所以AOCO.又AOBD,BDCO=O,所以AO平面BCD.(2)方法一:由(1)知,COOD,以O为原点,OC,OD所在的直线分别为x轴、y轴建立如图的空间直角坐标系O-xyz,则有O(0,0,0),D(0,0),C(,0,0),B(0,-,0).设A(x0,0,z0)(x00),则=(x0,0,z0),=(0,0).平面ABD的一个法向量为n=(z0,0,-x0).平面BCD的一个法向量为m=(0,0,1),且二面角A-BD-C的大小为120,所以|cos|=|cos120|=,得=3.因为|OA|=,所以=.解得x0
16、=-,z0=.所以A(-,0,).平面ABC的一个法向量为l=(1,-1,).设二面角A-BC-D的平面角为,所以cos=|cos|=|=.所以tan=.所以二面角A-BC-D的正切值为.方法二:折叠后,BDAO,BDCO.所以AOC是二面角A-BD-C的平面角,即AOC=120.在AOC中,AO=CO=,所以AC=.如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,因为BDCO,BDAO,且COAO=O,所以BD平面AOC.因为AH平面AOC,所以BDAH.又COAH,且COBD=O,所以AH平面BCD.所以AHBC.过点A作AKBC,垂足为K,连接HK,因为BCAH,AKAH=A,所以BC平面AHK.因为HK平面AHK,所以BCHK.所以AKH为二面角A-BC-D的平面角.在AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.在RtCHK中,HK=,在RtAHK中,tanAKH=.所以二面角A-BC-D的正切值为.关闭Word文档返回原板块。
