1、第 1 页，共 16 页 娄底一中 2021 年上期高二期中考试数学试卷 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.集合=*|2 2+，=*|1 3+，那么 =()A.*|2 3+B.*|1 2+C.*|2 1+D.*|2 1,若 f()=2，则 x 等于()A.log32 B.2 C.log32或2 D.2 4.已知直线 l 经过点(1,2)，且与直线2+3 1=0 垂直，则 l 的方程为()A.2+3+4=0 B.2+3 8=0 C.3 2 7=0 D.3 2 1=0 5.函数()=|+2ln|的图象可能是()A.B.C.D
2、.6.已知=(79);14，=(97)15，=(78);15，则 a，b，c 的大小顺序为()A.B.C.D.7.已知函数()=3+2+为定义在,2 1,3 -上的奇函数，则(2 1)+()0的解集为()A.13,4 B.,2,4-C.13,3 D.,2,3-8.如右图，扇形的半径为 1，圆心角=150，点 P 在弧 BC 上运动，=+，则3 的最小值是()A.0 B.3 C.2 D.1 二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。）9.甲、乙、丙三家企业某产品的成本分别为 1000
3、0 元、12000 元、15000 元，其成本构成如图所示，则关于这三家企业，下列说法错误的是()第 2 页，共 16 页 A.成本最高的企业是甲企业 B.其他费用最高的企业是丙企业 C.工资支出最低的企业是乙企业 D.材料费用最高的企业是丙企业 10.在下列区间中，存在函数()=+32的零点的是()A.(0,12)B.(12,1)C.(1,2)D.(2,3)11.在 中，给出下列 4 个命题，其中正确的命题是()A.若 ，则 B.若 ，则 ，则1tan2 1tan2 D.若 cos2 12.如图，正方体 1111的棱长为 1，动点 E 在线段11上，F、M分别是 AD、CD 的中点，则下列结
4、论中正确的是()A.B.平面1 C.存在点 E，使得平面平面11 D.三棱锥 的体积为定值 三、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 ，条件 p：2 0)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_ 14.若1，2 是夹角为60的两个单位向量，向量=2 1+2，则|=_ 15.若sin(4+)=13，则sin2=_ 16.如图所示，在三棱锥 中，=3，=3，=2，则三棱锥 的外接球的表面积为_ 第 3 页，共 16 页 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.(10 分)已知数列*+是公比为 3 的等比数列，且2，3+6，4成等差数列()求
5、数列*+的通项公式；()记=+log3:1，求数列*+的前 n 项和18.(12 分)在 中，A，B，C 的对边分别是 a，b，c，3 =0(1)求角 B 的大小；(2)若=7，+=5，求 AC 边上的高19.(12 分)已知函数()=2 (+2)+4()(1)关于 x 的不等式()4 2的解集恰好为,2,5-，求 a 的值；(2)若对任意的 ,1,4-，()+1 0恒成立，求实数 a 的取值范围第 4 页，共 16 页 20.(12 分)如图，在四棱锥 中，底面 ABCD，/，=1，=2，点 E为棱 PC 的中点(1)证明：/面 PAD；(2)证明：面 面 PDC；(3)求直线 PD 与面
6、PBC 所成角的正弦值21.(12 分)已知函数=3sin(+4)(0)(1)若=4，求函数的单调增区间和对称中心；(2)函数的图象上有如图所示的 A，B，C 三点，且满足 求的值；求函数在 ,0,2)上的最大值，并求此时 x 的值22.(12 分)已知点(1,0)，(4,0)，曲线 C 任意一点 P 满足|=2|(1)求曲线 C 的方程：(2)设点(3,0)，问是否存在过定点 Q 的直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 E，F，无论直线 l 如何运动，x 轴都平分，若存在，求出 Q 点坐标，若不存在，请说明理由第 5 页，共 16 页 答案和解析1.【答案】A【解答】解：集合=*|2 2+，
7、=*|1 3+，所以 =*|2 1时，=2，=2(舍去)=log32.故选 A 4.【答案】C【解答】解：直线 l 与直线2+3 1=0垂直，所以直线 l 的斜率为32，又直线 l 经过点(1,2)，所以直线 l 的方程为：(2)=32(1)化简得：3 2 7=0故选 C 5.【答案】C【解答】解：函数的定义域是(,0)(0,+)，0时，()=1+2，单调递增，当=1时，()=1，当 0，()；当 1，87 1，所以=(97)为增函数，又14 15，又=15为增函数，且97 87，所以 ，故选 B 7.【答案】C【解答】解：函数()为定义在,2 1,3 -上的奇函数，2 1+3 =0，得到=2
8、，因为函数()为奇函数，所以满足()+()=0，则()3+2 +3+2+=0，所以22=0，所以得到=0所以()=3+，即函数()的定义域为,5,5-，则(2 1)+()0等价于(2 1)+()0，(2 1)()=()，因为()=32+1 0，所以函数()在,5,5-上单调递增，5 2 1 55 52 1 ，解得13 0，()为增函数，在区间(1,+)上，()0，()为减函数，依次分析选项：对于 A，()在(0,12)上递增，(12)=ln12 12+32=12 12 0，在()在(0,12)上存在零点，A 正确，对于 B，()在(12,1)上递增，(12)=1 2 0，(1)=1 1+32=
9、12 0，在()在(12,1)上不存在零点，B 错误，对于 C，()在(1,2)上递减，(1)=12 0，(2)=2 2+32=2 12 0，在()在(1,2)上不存在零点，C 错误，对于 D，()在(2,3)上递减，(2)=2 12 0，(3)=3 3+32=3 32 0，在()在(2,3)上存在零点，D 正确，故选：AD 根据题意，求出函数的导数，分析()的单调区间，由函数零点判断定理依次分析选项，综合即可得答案 本题考查函数的零点判断定理，解题的关键是确定区间端点对应的函数值异号，属于基础题 11.【答案】ABD【解答】解：.若 ，则 ，由正弦定理得到2 2，则sin sin 正确；B.
10、若sin sin，由正弦定理2 2，所以 ，则 ，当=60，=30，显然1tan 2 1tan 2不成立，错误；D.若 ，0 ，所以sin2 1 sin2，即cos2 cos2，正确，故选 ABD 12.【答案】ABD【解答】解：在 A 中，因为,分别是,的中点，所以，故 A 正确;在 B 中，因为tan=2，tan=2，故=，故+=+=2.故 ，第 9 页，共 16 页 又有 1，1=，,1 平面1，所以 平面1，故 B 正确；在 C 中，BF 与平面11有交点，所以不存在点 E，使得平面平面11，故 C 错误 在 D 中，三棱锥 以三角形 BCF 为底，则高是定值，所以三棱锥 的体积为定值
11、，故 D 正确 故选：ABD 13.【答案】(0,1-【解析】解：因为 ，条件 p：2 0)，所以 q 对应的集合为=(0,1-；因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 ，所以1 1，所以0 0，3 =0，可得=3，(0,)，=3(2)设 AC 边上的高为 h，=3，=7，+=5，2=2+2 2=2+2 ，即7=(+)2 3，=6，=12 =332，=12 =72，332=72，解得=3217，即 AC 边上的高是3217 【解析】(1)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式，结合 0，可得=3，结合范围 (0,)，可求 B 的值(2)设 AC 边上的高为 h，利用余弦定理可求 ac
12、 的值，进而根据三角形的面积公式即可求解 本题主要考查了三角函数公式，正弦、余弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，考查化归与转化思想等，属于基础题 19.【答案】解：(1)()2+4，即2 (+2)+2 0，()(2)0，当 2时，不等式解集为*|2 +，当=2时，不等式解集为*|=2+，当 2时，不等式解集为*|2+，又解集恰好为,2,5-，所以=5；第 12 页，共 16 页(2)对任意的 ,1,4-,()+1 0恒成立，即2 (+2)+5+0恒成立，即对任意的 ,1,4-，(1)2 2+5恒成立=1时，不等式为0 4恒成立，此时 ；当 (1,4-时，2;2:5;1=1+4
13、;1，1 4，0 0，无论直线 l 如何运动，x 轴都平分，则+=0，11;3+22;3=0，2 2;41:2 (3)21:2 6=0，化为：，可得直线经过定点.43,0/，易知当 l 斜率不存在时也满足题意 存在过定点.43,0/的直线 l 与曲线 C 相交于不同两点 E，F，无论直线 l 如何运动，x 轴都平分【解析】本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、斜率计算公式、直线经过定点问题，属于中档题(1)设(,)，由|=2|.可得(4)2+2=2(1)2+2，化简即可得出；(2)设存在定点 Q 满足条件，设直线 l 的方程为=+.设(1,1)，(2,2).直线 l 的方程与圆的方程联立化为：(1+2)2+2+2 4=0，由无论直线 l 如何运动，x 轴都平分，可得+=0，可得第 16 页，共 16 页 11;3+22;3=0，(1+)(2 3)+(2+)(1 3)=0，利用根与系数的关系代入即可得出结果
