1、52.2函数的和、差、积、商的导数新课程标准解读核心素养能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数数学运算已知f(x)x，g(x).Q(x)f(x)g(x)，H(x)f(x)g(x)问题(1)f(x)，g(x)的导数分别是什么？(2)试求yQ(x)，yH(x)的导数并观察Q(x)，H(x)与f(x)，g(x)的关系 知识点函数的和、差、积、商的求导法则1条件：f(x)，g(x)是可导的2结论：(1)(f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)(Cf(x)Cf(x)(C为常数)；(3)(f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)(g(x)0)应用导数公式
2、的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算，即u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)；(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导同上可推广到有限个函数的函数乘积的导数即：af(x)bg(x)af(x)bg(x)；u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程 1函数ysin xcos x的导数是()Aycos 2xsin 2xByco
3、s 2xCy2cos xsin x Dycos xsin x答案：B2函数yxcos xsin x的导数为_答案：xsin x 3函数f(x)x在x1处的导数是_解析：因为f(x)x1，所以f(1)110.答案：0利用函数的和、差、积、商的求导法则求导例1(链接教科书第190页例2，例3)求下列函数的导数：(1)f(x)x2log3x；(2)f(x)x3ex；(3)f(x).解 (1)f(x)(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)f(x)(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exex(x33x2)(3)f(x).利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法
4、则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式；(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等；(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导 跟踪训练求下列函数的导数：(1)f(x)sin x2x2；(2)f(x)cos xln x；(3)f(x).解：(1)f(x)(sin x2x2)(sin x)(2x2)cos x4x.(2)f(x)(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x.(
5、3)f(x).与切线有关的综合问题例2已知直线l1为曲线yx2x2在点(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.求直线l2的方程解y2x1，直线l1在点(1，0)处的斜率为2113，由直线的点斜式方程可得直线l1的方程为y3x3.设直线l2与曲线yx2x2切于点B(b，b2b2)，则曲线在点B处的切线的斜率为2b1.l1l2，2b1，即b，B，故直线l2的方程为yx.母题探究(变设问)若本例条件不变，试求由直线l1，l2和x轴所围成的三角形的面积解：解方程组得直线l1和l2的交点坐标为.又l1，l2与x轴的交点坐标分别为(1，0)，故所求三角形的面积为S.导数应用主要有：求在某
6、点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用解决此类问题的方法为先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用 跟踪训练1若存在过点(1，0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a的值为()A1或B1或C或 D或7解析：选A设过点(1，0)的直线与曲线yx3相切于点(x0，x)，则切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1，0)在切线上，代入以上方程得x00或x0.当x00时，直线方程为y0.由y0与yax2x9相切可得a.当x0时，
7、直线方程为yx.由yx与yax2x9相切可得a1.2已知函数f(x)ax2ln x的导数为f(x)(1)求f(1)f(1)；(2)若曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围解：(1)由题意，函数的定义域为(0，)，由f(x)ax2ln x，得f(x)2ax，所以f(1)f(1)3a1.(2)因为曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x(0，)内导函数f(x)2ax存在零点，即f(x)0，所以2ax0有正实数解，即2ax21有正实数解，故有a0，所以实数a的取值范围是(，0).利用函数的导数求参数例3(1)(2019全国卷)已知曲线yf(x)aexxl
8、n x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1Cae1，b1 Dae1，b1(2)已知函数f(x)ax3bx2cx的图象过点(1，5)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_解析(1)yf(x)aexln x1，kf(1)ae1， 切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.又 切线方程为y2xb， 即ae1，b1.故选D.(2)因为f(x)3ax22bxc，f(1)0，f(2)0，f(1)5，所以解得故函数f(x)的解析式是f(x)2x39x212x.答案(1)D(2)f(x)2x39x212x利用导数求参数的常见题型利用导数
9、求参数，常涉及(1)已知曲线的切线(导数的几何意义)求参问题；(2)已知导函数的图象求原函数问题(或某点处的函数值)，这些都要根据导数的几何意义或某点处的导数值列方程(组)求解参数特别地由于三次函数的导数是二次函数，因此将导数的计算与二次函数的图象和性质结合起来就很容易理解了解题时应考虑二次函数的单调性、最值、图象的对称轴、二次项系数等对图象的影响 跟踪训练如图有一个图象是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，且a0)的导函数的图象，则f(1)()A. BC. D或解析：选Bf(x)x22axa21x(a1)x(a1)，图与中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a0，与题设不符合，故图中
10、的图象是函数f(x)的导函数的图象由图知f(0)0，由根与系数的关系得解得a1.故f(x)x3x21，所以f(1).1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为()A1 B.C1 D0解析：选Af(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1.2. 已知物体的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为()A. B.C. D.解析：选Ds(t)2t，s(2)4.3求下列函数的导数：(1)f(x)(x2)(x22x4)；(2)f(x)2x.解：(1)法一：f(x)(x2)(x22x4)(x2)(x22x4)x22x4(x2)(2x2)3x2.法二：f(x)(x2)(x22x4)x38.f(x)3x2.(2)f(x)2xln 22xln 2ln x2xln 2.
