1、江西省2020届高三数学下学期调研考试试题（三）文（含解析）一、选择题1.若集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集运算得到，进而可得答案.【详解】因为或，所以，故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.已知是纯虚数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简复数后，根据纯虚数的概念可得，再根据复数的模的计算公式可得答案.【详解】，因为是纯虚数，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题考查了复数乘法运算，考查了复数的概念，考查了复数的模长公式，属于基础题.3.若且，则下列结论恒成立的是（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】D【解析】【分析】对于选项，分别取满足且的特殊值，进行排除；由展开可得选项正确.【详解】取，可排除A，取，可排除B，取，可排除C，由可得，展开得，故选：D【点睛】本题考查了特值排除法，考查了不等式的性质，属于基础题.4.已知圆关于双曲线的一条渐近线对称，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将圆心的坐标代入渐近线可得结果即可.【详解】因为圆关于双曲线的一条渐近线对称，则圆心在渐近线上，所以，故选：D.【点睛】本题考查了圆的一般方程，考查了圆的对称性，考查了双曲线的渐近线方程，属于基础题.5.已知是单位向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析
3、】【分析】将已知等式两边平方，结合单位向量可得，再根据计算可得结果.【详解】因为是单位向量，所以，所以，所以所以，故选：A【点睛】本题考查了平面向量的数量积的运算，考查了求平面向量的模，属于基础题.6.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等差数列的项的下标的性质可得，再根据计算可得结果.【详解】由题意得，可得，所以，故选：D【点睛】本题考查了等差数列的项的下标的性质，考查了等差数列的前项和公式，属于基础题.7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有名密切接触者，现把这人分为组（一组人，一组人），分别送
4、到个医院进行隔离观察，则在同一个医院的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出所有共10种结果，统计满足条件的种数，得到概率.【详解】把分为组（一组人，一组人），结果有：，共种，在同一个医院的结果有：，共种，所以所求概率，故选：C.【点睛】本题考查了古典概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.8.已知函数，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对分情况讨论，依次代入四个选项中进行计算，可得到结果.【详解】解：由，可得当时，当时，当时，所以A正确；当时，成立，当时，成立，当时，成立，所以B正确，由，可知C错误，由，可知,D正确，故选：
5、C.【点睛】此题考查分段函数和复合函数求值问题，考查了分类讨论思想，属于基础题.9.已知函数满足，则的图象在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知构建方程求得参数，进而由导数的几何意义求得切线方程.【详解】由可得，即，所以，故，则，又因为，所以的图象在处的切线方程为，故选：A【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，还考查了由导数的几何意义求切线方程，属于简单题.10.算法统宗全称新编直指算法统宗，共卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧
6、人数的算法的程序框图，则图中可分别填入（ ）A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】D【解析】【分析】表示小僧人数，表示大僧人数，由已知“大僧三个更无争，小僧三人分一个”可设馒头数为，则；馒头共有100个，即可作为判断程序结束的条件.【详解】由程序框图可知，表示小僧人数，表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为，则，所以中填入，当时结束程序，输出，故选：D【点睛】本题考查完善程序框图的执行框与判断框，属于简单题.11.如图，正三角形为圆锥的轴截面，为的中点，为弧的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别取和中点，连接，得
7、到所以就是直线与所成角，设，在直角中，即可求解.【详解】如图所示，取中点，中点，连接，则,所以就是直线与所成角，设，则，可得，则，因为为弧的中点，可得,进而可得平面，因为平面，所以,在直角中，可得，即直线与所成角的余弦值为，故选：C.【点睛】本题主要考查了圆锥的几何结构特征，以及异面直线所成角的求解，其中解答中熟练应用圆锥的几何结构特征，熟记异面直线所成角的概念与计算方法是解答的关键.12.已知椭圆的右焦点为，设，直线与椭圆在第四象限交于点，点在轴上的射影为，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由及可求出即，代入直线的方程求出A点的坐标，A点的坐标代入椭
8、圆方程即可利用a、c的齐次式求得离心率.【详解】由轴可得，即，点A在直线上，则，代入椭圆的方程得，所以.故选：B【点睛】本题考查向量的数量积运算、直线与椭圆的交点坐标、椭圆的离心率，属于中档题.二、填空题13.若函数的值域为，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】当时，要的值域为,只需满足时，讨论的取值情况，即可得出结论.【详解】当时，若，时，的值域不是；若，时，的值域不是，若，时，所以当时，的值域为，所以的取值范围是.故答案为: .【点睛】本题考查已知分段函数值域求参数取值范围问题,考查分类讨论的思想,属于中档题.14.正项数列满足，则使的最小的值为_.【答案】【解析】【分析】已知条件化
9、简可得，即可证得为等比数列，进而求得通项公式得出结果.【详解】由得，即，因为，所以，即为等比数列.所以，所以使的最小的值为.故答案为：9.【点睛】本题考查由递推公式证明数列为等比数列，考查等比数列通项公式中基本量的计算，属于基础题.15.已知，若方程在上只有个不同实根，则的最小值为_.【答案】.【解析】【分析】由在的图象及已知可求出的取值范围,借助正弦函数的对称性推理可得,计算即可得出结果.【详解】作出在图象如图所示：当时，当时，即时，因为方程在上只有个不同实根时，所以.由三角函数性质可知当即时,关于 对称.因为,所以,即.所以,即的最小值为.故答案为: .【点睛】本题考查正弦函数图象和性质的
10、应用，考查函数与方程的应用，考查学生数形结合的能力,属于中档题.16.在中，点在上，且，将沿折起，使点到达点位置，且，则三棱锥的外接球半径为_.【答案】【解析】【分析】根据余弦定理求出,根据勾股定理可证得,通过补全几何体可知三棱锥在与直三棱柱有相同的外接球，由正弦定理可求得底面外接圆的半径，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点,根据公式即可求得球的半径.【详解】由题意，由余弦定理可求得,则，又因为，则.因为，所以三棱锥中，底面，把三棱锥补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，由正弦定理可得底面外接圆半径，又，所以三棱锥外接球半径.故答案为
11、： 【点睛】本题考查正余弦定理在空间几何体的外接球问题中的应用，考查学生的空间想象能力和计算求解的能力，属于中档题.三、解答题17.年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限12345倒闭企业数量（万家）5.284.723.582.702.15倒闭企业所占比例21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%（1）由所给数据可用线性回归模型拟合与的
12、关系，请用相关系数加以说明；（2）建立关于的回归方程，预测年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：，相关系数，样本的最小二乘估计公式为，.【答案】（1）详见解析；（2）；预测年成立的企业中倒闭企业所占比例为【解析】【分析】（1）由题意计算出相关的数据，代入公式即可得，由相关系数的意义即可得解；（2）由题意求出所需数据，代入公式求得、后，即可求得线性回归方程，代入即可预测年成立的企业中倒闭企业所占比例.【详解】（1）由表中数据及参考数据可得，由可得，所以，所以，因为与的相关系数近似为，说明与的相关程度很高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系；（2）由题意，再结合（1）中数据可得，则，所以关于的
13、回归方程为；当时，所以预测年成立的企业中倒闭企业所占比例为.【点睛】本题考查了相关系数的求解与应用，考查了线性回归方程的求解与应用，保证运算的正确性是解决这类问题的关键，属于中档题.18.已知中，角的对边分别为，且满足.（1）求的值；（2）若点在边上，平分角，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理，结合三角恒等变换公式对已知式子进行整理得，由，即可求出的值.(2)由角平分线结合二倍角公式，可求出；由三角形的面积公式，可知，整理后即可知，从而可求出的值.【详解】解：(1)由及正弦定理可得，即，因为，且，即，所以.（2）因为，所以，因为平分角，所以，由，可得，整理得，所以
14、.【点睛】本题考查了正弦定理，三角形的面积公式，考查了二倍角公式.本题的关键是由正弦定理进行边角互化，对已知式子进行整理.本题的难点在于第二问，通过面积列出边的等量关系.19.如图，在三棱柱中，底面，点为中点，点为点关于直线的对称点，.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接与交于，可证明四边形为平行四边形，由面面垂直的性质可判定平面，即可由面面垂直的判定证明平面平面；（2）根据线面平行性质可知点到平面的距离相等，结合及三棱锥体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：设的中点为，连接与交于，如下图所示，则点为中点，连接，则，
15、且.又为的中点，所以，且，所以四边形平行四边形，所以，因为底面，所以平面平面，因为，为中点，所以平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）由（1）知，所以点到平面的距离相等，所以.由，可得，因为平面平面，平面，又的面积，所以，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查了面面垂直的性质及判定，等体积法求三棱锥体积的应用，应用时注意选择合适的底和高，属于中档题.20.已知抛物线与直线只有一个公共点，点是抛物线上的动点.（1）求抛物线的方程；（2）若，求证：直线过定点；若是抛物线上与原点不重合的定点，且，求证：直线的斜率为定值，并求出该定值.【答案】（1）（2）证明见解析证明见解析，【解析】【分析】（1
16、）联立抛物线与直线方程,再根据二者只有一个交点可得,即可求解；（2）设,由直线斜率公式代入可得,由直线的斜率公式可得,进而将代入直线的方程,化简后即可求解；设,利用直线斜率公式代入中化简可得,即,再根据直线斜率公式求解即可.【详解】解:（1）与联立得,因为抛物线与直线只有一个公共点,所以,即,所以抛物线的方程为.（2）证明:设,则,所以,又,所以直线的方程为,即,当时,所以直线过定点.证明:设,则,即,所以,则,所以直线的斜率为,因为为定点,所以直线的斜率为定值.【点睛】本题考查由直线与抛物线的位置关系求抛物线方程,考查直线斜率公式的应用,考查抛物线中直线恒过定点问题,考查直线斜率的定值问题.
17、21.已知函数.（1）若，讨论的单调性；（2）若，求证：.【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意得，分和两种情况讨论，从而得出结论；（2）由题意分析，只需证，由得，设，根据导数研究其单调性与最值，从而得出证明【详解】解：（1），若，则，当时，是增函数，当时，是减函数；若，即，当和时，是增函数，当时，是减函数；综上可得，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）当时，要证，只需证，即证，设，则，在上是增函数，因此成立【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查利
18、用导数证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题22.平面直角坐标系中，点坐标为，在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的参数方程；（2）若是曲线上的不同两点，且，求证：线段的中点恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】（1）曲线的参数方程（为参数）.（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）由极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的相互转化求解即可；（2）结合曲线的参数方程，设，然后结合中点坐标公式求解即可.【详解】解：（1）因为，由，得曲线的直角坐标方程为，即，设，得曲线的参数方程（为参数）.（2）设，设线段
19、的中点，则，由，得，整理得，即，所以点恒在直线上，所以此直线的直角坐标方程为.【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的相互转化，重点考查了参数方程的应用，属中档题.23.已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）若对满足的任意实数，关于的方程的解集为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意，再用分类讨论法解不等式；（2）由绝对值三角不等式可得，利用三个数的均值不等式可得，由此可得，解出即可【详解】解：（1）当时，当时，不成立，当时，由，得，当时，成立，不等式的解集为；（2），又，当，即，时取等号，若对满足的任意实数，关于的方程的解集为，则，解得，的取值范围是【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用，考查均值不等式的应用，考查计算能力，属于中档题
