1、2.2双曲线第1课时双曲线及其标准方程核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P45P48的内容，回答下列问题(1)观察教材P45图2.21，思考下列问题：在点M移动的过程中，的值发生变化吗？提示：不变.|FF2|.动点M的轨迹是什么？提示：双曲线(2)利用教材P46图2.22所建立的坐标系，类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？提示：设M(x，y)，F1(c,0)，F2(c,0)，由2a，可得1，令b2c2a2，则双曲线标准方程为1(a0，b0)2归纳总结，核心必记(1)双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨
2、迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距(2)双曲线的标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2问题思考(1)双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？提示：双曲线的一支(2)在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”，“常数大于|F1F2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？提示：如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1，
3、F2为端点的两条射线(包括端点)如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线(3)如何判断方程1(a0，b0)和1(a0，b0)所表示双曲线的焦点位置？提示：若x2的系数为正，则焦点在x轴上，若y2的系数为正，则焦点在y轴上(4)方程1表示哪种曲线呢？提示：当mn0时表示圆；当mn0或nm0时表示椭圆；当mn0，b0)，由于点P和Q在双曲线上，所以解得(舍去)若焦点在y轴上，设双曲线的方程为1(a0，b0)，将P、Q两点坐标代入可得解得所以双曲线的标准方程为1.法二：设双曲线方程为1(mn0，b0)依题设有解得所求双曲线的标准方程
4、为y21.法二：焦点在x轴上，c，设所求双曲线方程为1(其中06)双曲线经过点(5,2)，1，5或30(舍去)所求双曲线的标准方程是y21.类题通法求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2ny21(mn0，b0)，则解得双曲线的方程为1.(2)法一：设双曲线方程为1.由题意易求得c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线的方程为1.法二：设双曲线方程为1(4
5、k16)，将点(3，2)代入得k4，所求双曲线方程为1.知识点2双曲线定义的应用讲一讲2如图，若F1，F2是双曲线1的两个焦点(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32，试求F1PF2的面积尝试解答双曲线的标准方程为1，故a3，b4，c5.(1)由双曲线的定义得2a6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16x|6，解得x10或x22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将2a6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，|PF1|
6、2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F1PF2中，由余弦定理得cos F1PF20，F1PF290，SF1PF2|PF1|PF2|3216.类题通法(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于ca)(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件2a的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用练一练2已知双曲线1的左、右焦点分别是
7、F1、F2，若双曲线上一点P使得F1PF260，求F1PF2的面积解：由1，得a3，b4，c5.由定义和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，则SF1PF2|PF1|PF2|sinF1PF26416.知识点3与双曲线有关的轨迹问题讲一讲3如图，在ABC中，已知|AB|4，且三内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程尝试解答以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，
8、则A(2，0)，B(2，0)由正弦定理，得sin A，sin B，sin C(R为ABC的外接圆半径)因为2sin Asin C2sin B，所以2ac2b，即ba，从而有|CA|CB|AB|2)类题通法(1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：列出等量关系，化简得到方程；寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：双曲线的焦点所在的坐标轴；检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支练一练3.如图所示，已知定圆F1：(x5)2y21，定圆F2：(x5)2y242，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程解：圆F1：(x5)2y2
9、1，圆心F1(5,0)，半径r11；圆F2：(x5)2y242，圆心F2(5,0)，半径r24.设动圆M的半径为R，则有|MF1|R1，|MF2|R4，|MF2|MF1|310|F1F2|.点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a，c5，于是b2c2a2.动圆圆心M的轨迹方程为1.课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是双曲线的定义及标准方程的求法，难点是双曲线定义的应用2本节课要重点掌握的规律方法 (1)双曲线标准方程的求法，见讲1；(2)利用双曲线的定义解决与焦点有关的三角形问题，见讲2；(3)求与双曲线有关的轨迹问题，见讲3.3双曲线定义中2a(2ab不一定成立要注意与椭圆中a，b，
10、c的区别在椭圆中a2b2c2，在双曲线中c2a2b2.这是本节课的两个易错点课下能力提升(九)学业水平达标练题组1双曲线的标准方程1设，则关于x，y的方程1所表示的曲线是()A焦点在y轴上的双曲线B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在x轴上的椭圆解析：选B由题意，知1，因为，所以sin 0，cos 0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线，故选B.2已知双曲线的a5，c7，则该双曲线的标准方程为()A.1B.1C.1或 1D.0或 0解析：选C由于焦点所在轴不确定，有两种情况又a5，c7，b2725224.3若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A(1,3) B(1，)C(3，)
11、D(，1)解析：选B依题意，应有m10，即m1.4已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)因为P1，P2两点在双曲线上，所以解得于是所求双曲线的标准方程为1.故选B.题组2双曲线定义的应用5已知F1(5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|PF2|2a，当a分别为3和5时，点P的轨迹分别为()A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线解析：选C依题意，得|F1F2|10.当a3时，|PF1|PF2|2a6n0)和双曲线1(s，t
12、0)有相同的焦点F1和F2，而P是这两条曲线的一个交点，则|PF1|PF2|的值是()Ams B.(ms)Cm2s2 D.解析：选A不妨设点P是两曲线在第一象限内的交点，由题意得解得则|PF1|PF2|()()ms.题组3与双曲线有关的轨迹问题8已知动圆M过定点B(4,0)，且和定圆(x4)2y216相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x0) B.1(x0)C.1 D.1解析：选C设动圆M的半径为r，依题意有|MB|r，另设A(4,0)，则有|MA|r4，即|MA|MB|4，亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，又40)，另两边的斜率之积等于m(m0)求顶点A的轨迹方
13、程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形解：设顶点A的坐标为(x，y)，则kAB，kAC.由题意，得m，即1(y0)当m0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(两顶点除外)；当m0且m1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)，其中当1m0时，椭圆焦点在x轴上；当m0,0a24，且4a2a2，所以可解得a1，故选D.2已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则APF的面积为()A. B. C. D.解析：选D法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(
14、2,3)，因为点A(1,3)，所以APx轴，又PFx轴，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x2时，代入双曲线C的方程，得41，解得y3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以(1,0)，(0，3)，所以0，所以APPF，所以SAPF|PF|AP|31.3已知定点A，B且|AB|4，动点P满足|PA|PB|3，则|PA|的最小值为()A. B. C. D5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为ac2.4已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(，0)，点P位于该双曲线上
15、，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21C.1 D.1解析：选B由题意可设双曲线方程为1，又由中点坐标公式可得P(，4)，1，解得a21.5已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断：当1t4或t1时， 曲线C表示双曲线；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t4.其中判断正确的是_(只填正确命题的序号)解析：错误，当t时，曲线C表示圆；正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)0，t4; 正确，若C为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10.1t4.答案：6已知双曲线1(a0，b0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|m，则AB
16、F2的周长为_解析：由双曲线的定义，知|AF2|AF1|2a，|BF2|BF1|2a，所以|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)4am4a，于是ABF2的周长l|AF2|BF2|AB|4a2m.答案：4a2m7双曲线1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上若PF1PF2，求点P到x轴的距离解：设点P为(x0，y0)，而F1(5,0)，F2(5,0)，则(5x0，y0)，(5x0，y0)PF1PF2，0.即(5x0)(5x0)(y0)(y0)0，整理，得xy25.P(x0，y0)在双曲线上，1.联立，得y，即|y0|.因此点P到x轴的距离为.8已知双曲线过点(3，2)且与椭圆4x29y236有相同的焦点(1)求双曲线的标准方程；(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|MF2|6，试判断MF1F2的形状解：(1)椭圆方程可化为1，焦点在x轴上，且c，故设双曲线方程为1，则有解得a23，b22，所以双曲线的标准方程为1.(2)不妨设点M在右支上，则有|MF1|MF2|2，又|MF1|MF2|6，故解得|MF1|4，|MF2|2.又|F1F2|2，因此在MF1F2中，边MF1最长，因为cos MF2F10，所以MF2F1为钝角，故MF1F2为钝角三角形
