1、江苏省苏州市常熟中学2019-2020学年高二数学下学期六月质量检测试题（含解析）一、单项选择题1.已知为虚数单位，设复数，则（ ）A. 0B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算可得，再由复数模的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算及复数模的求解，考查了运算求解能力，属于基础题.2.已知二面角的大小为60，和是两条异面直线，且，则与所成的角的大小为（ ）A. 120B. 90C. 60D. 30【答案】C【解析】【分析】，直线的方向向量分别是平面的法向量，根据二面角与法向量的关系，即可求解.【详解】设直线的方向向量，所以分别是平
2、面的法向量，二面角的大小为60，的夹角为或，因为异面直线所的角为锐角或直角，所以与所成的角为.故选:C.【点睛】本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意判断每项的奇偶性及单调性，即可得解.【详解】对于A，因为函数在定义域内为奇函数且单调递增，所以函数在其定义域内既是奇函数又是减函数，故A正确；对于B，函数在其定义域内不单调，故B错误；对于C，函数的单调递减区间为，但在其定义域内不单调，故C错误；对于D，函数为非奇非偶函数，故D错误.故选：A.【点睛】本题考查了常见函数
3、的单调性、奇偶性的判断，牢记常见函数的性质是解题关键，属于基础题.4.为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知，该班某学生的脚长为，据此估计其身高为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由已知,， 故选C.5.若多项式，则（ ）A. 9B. 10C. -9D. -10【答案】D【解析】， ，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1 故选D.6.已知球O的半径是1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点和A、C两点间的球面距离都是，B、C两点间的球面距离是，则二面角的
4、大小是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】做出示意图，由已知得出，过B做于D，连接CD，则就是二面角的平面角，求解可得，得解.【详解】由已知做出示意图如下图所示，则，所以所以， 过B做于D，连接CD，则，则就是二面角平面角，在中，所以，所以，因为B，C两点的球面距离是，所以，所以是正三角形，所以，所以在中，有，所以，所以二面角的大小是，故选D.【点睛】本题考查两点的球面距离和求二面角的大小，属于中档题，关键在于根据两点的球面距离得出其球心角的大小，再作出二面角的平面角后求解三角形，此类问题还培养了空间想象能力.7. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人
5、中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：第一步从后排8人中选2人有种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法8.已知e为自然对数的底数,设函数,则( )A. 当k=1时,f(x)x=1处取到极小值B. 当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D. 当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值【答案】C【解析】当k=1时，函数f(
6、x)=(ex1)(x1).求导函数可得f(x)=ex(x1)+(ex1)=(xex1)f(1)=e10，f(2)=2e210，则f(x)在在x=1处与在x=2处均取不到极值，当k=2时，函数f(x)=(ex1)(x1)2.求导函数可得f(x)=ex(x1)2+2(ex1)(x1)=(x1)(xex+ex2)当x=1，f(x)=0，且当x1时，f(x)0，当x0x1时(x0为极大值点)，f(x)0，故函数f(x)在(1,+)上是增函数；在(x0,1)上是减函数，从而函数f(x)在x=1取得极小值对照选项故选C.二、多项选择题9.设某高中的男生体重()与身高()具有线性相关关系，根据一组样本数据，
7、用最小二乘法建立的回归方程为，则下列结论中正确的是（ ）A. 与有正的线性相关关系B. 回归直线过样本点的中心C. 若该高中某男生身高增加1，则其体重约增加0.85D. 若该高中某男生身高为170，则可断定其体重必为63.79【答案】ABC【解析】【分析】由可判断A，由线性回归方程的性质可判断B，由回归直线方程的应用可判断C、D，即可得解.【详解】对于A，由可得与有正的线性相关关系，故A正确；对于B，由回归直线方程的性质可得回归直线过样本点的中心，故B正确；对于C，该高中某男生身高增加，由线性回归方程中的可知，预测其体重约增加，故C正确；对于D，若该高中某男生身高为，则预测其体重约（不是断定）
8、为，故D错误.故选：ABC.【点睛】本题考查了线性回归方程的性质、意义及应用，熟练掌握知识点是解题关键，属于基础题.10.已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ）A. 展开式中所有项的系数之和为256B. 展开式中含的一次项为C. 展开式中有3项有理项D. 展开式中系数最大项为第3项和第4项【答案】BCD【解析】【分析】由题意写出该二项式展开式的通项公式，由等差数列的性质可得；令即可判断A；令，代入即可判断B；令为整数，即可判断C；令，解不等式即可判断D；即可得解.【详解】由题意展开式的通项公式为，所以，解得或（舍去），所以，对于A，令，则，所以展开式中所有项的系数之
9、和为，故A错误；对于B，令即，此时，所以展开式中含的一次项为，故B正确；对于C，若要使为有理项，则为4的倍数，当、时，为有理项，所以展开式中有3项有理项，故C正确；对于D，令，解得，所以展开式中系数最大项为第3项和第4项，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，合理赋值、细心计算是解决本题的关键，属于中档题.11.若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则（ ）A. B. 平面平面C. 三棱锥的体积为D. 三棱锥的外接球的表面积为【答案】CD【解析】【分析】以为正交基底建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算值即可判断A；分别求出平面，平面的法
10、向量，判断它们的法向量是否共线，即可判断B；利用等体积法，求出三棱锥的体积即可判断C；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故求出长方体的外接球的表面积即可判断D.【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，因为，所以与不垂直，故A错误；，设平面的一个法向量为，则由，得，所以，不妨取，则，所以，同理可得设平面的一个法向量为，故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；在长方体中，平面，故是三棱锥的高，所以，故C正确；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.【点睛】本题主要考查用向量法判断线线垂直、面面平行，等体积法的应
11、用及几何体外接球的表面积.12.现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是（ ）A. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B. 若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C. 若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D. 若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种【答案】BCD【解析】【分析】由分步乘法计数原理即可判断A，由分类加法、分步乘法结合排列、组合的知识可判断B，由分步乘法、排列、组合的知识可判断C，由枚举
12、法可判断D，即可得解.【详解】对于A，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有种放法，故A错误；对于B，若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒，则一个盒子放3个小球，另一个盒子放1个小球或两个盒子均放2个小球，共有种放法，故B正确；对于C，若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒，则两个盒子中各放1个小球，另一个盒子中放2个小球，共有种放法，故C正确；对于D，若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同，若代表编号为1，2，3，4的盒子放入的小球编号分别为2，1，4，3，列出所
13、有符合要求的情况：，共9种放法，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了计数原理的综合应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，合理分类、分步，完整枚举是解题关键，属于中档题.三、填空题13.函数的定义域为_.【答案】【解析】【分析】由题意结合分母不为0、偶次方根的被开方数非负可得，解指数不等式即可得解.【详解】若要使函数有意义，则即，解得，所以函数的定义域为.故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域的求解，考查了指数不等式的求解及运算求解能力，属于基础题.14.已知随机事件，且，则_.【答案】【解析】【分析】由题意结合条件概率公式可得，再由条件概率公式即可得解.【详解】因为，所以，所以.故答
14、案为：.【点睛】本题考查了条件概率公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.15.如图，在三棱锥中，分别是的中点，分别是的中点，设三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，则_【答案】【解析】【分析】分别找到底面积和高的比值即可得解.【详解】设，点到平面的距离为，由题意易知，点到平面的距离为，.故答案为：【点睛】本题考查了立体图形体积的计算，属于基础题.16.设函数.若，则的最大值为_；若无最大值，则实数取值范围是_.【答案】2【解析】试题分析：如图，作出函数与直线的图象，它们的交点是，由，知是函数的极小值点，当时，由图象可知最大值是；由图象知当时，有最大值；只有当时，无最大值，所以所求的取值范围是【
15、考点】分段函数求最值,数形结合【名师点睛】1.求分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系若自变量的值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期若给出函数值求自变量的值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2.在研究函数的单调性时，需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程四、解答题17.假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为
16、.（1）求的概率分布；（2）分别求均值和方差.【答案】（1）见解析；（2），.【解析】【分析】（1）由题意的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，进而可得分布列；（2）由题意结合均值公式、方差公式直接运算即可得解.【详解】（1）由题意得的所有可能取值为1，2，3，所以的概率分布为：123（2）由题意均值；方差.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列、均值及方差的求解，考查了运算求解能力，属于中档题.18.已知函数，.（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）解不等式；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先求出
17、函数的定义域，再结合指数、对数运算性质可得，即可得解；（2）由题意结合对数函数的性质可转化条件为，解不等式即可得解；（3）转化条件得对任意恒成立，结合指数函数的性质及换元法求得在时的最小值即可得解.【详解】（1）由题意，由可得且，所以的定义域为，因为，所以，所以函数为奇函数；（2）由可得，所以，解得，所以不等式的解集为；（3）因为不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，令，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以.【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断、对数不等式的求解及函数不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力及换元法的应用，属于中档题.19.已知函数.（1）求证：当时，；（2）当时，讨论函数的
18、单调性，并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（1）证明见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令，求导后由函数的单调性即可得证；（2）对函数求导得，按照、分类讨论，求出、的解集即可得函数单调区间，进而可得函数的极值.【详解】（1）证明：令，则，所以在上单调递增，所以当时，即，所以当时，；（2）由题意，由（1）可得在上单调递增，所以当时，即，当时，即，令，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，函数无极值；当时，由可得；由可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，极大值，极小值.综上，当时，函数在上单调递增，函数无极值；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值，极小值.【点睛】本题考查
19、了利用导数证明不等式、讨论函数的单调性及极值，考查了运算求解能力、逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.20.山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考
20、生的原始成绩从高到低分为、共8个等级参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为、.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩.举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为5869，则该同学化学学科的原始成绩属等级.而等级的转换分区间为6170，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为，求得.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合
21、理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布.（i）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为8293，求小明转换后的物理成绩；（ii）求物理原始分在区间的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布列和数学期望.（附：若随机变量，则，）【答案】(1)（i）83.;（ii）272.(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足，结合正态分布的对称性即可求得内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人
22、数（2）根据各等级人数所占比例可知在区间内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解【详解】（1）（i）设小明转换后的物理等级分为，求得.小明转换后的物理成绩为83分；（ii）因为物理考试原始分基本服从正态分布，所以.所以物理原始分在区间的人数为（人）；（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，随机抽取4人，则.，.的分布列为01234数学期望.【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题21.如图，长方体中，分别是，的中点，分别是，的中点，.（1）
23、求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接、，由平面几何的知识可得，再由线面平行、面面平行的判定可得平面平面，再由面面平行的性质即可得证；（2）取的中点，过点作于，连接、，由题意结合长方体的几何特征、线面垂直的判定与性质可得即为二面角的平面角，计算出的长度即可得解；（3）由题意可得，由三棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）证明：取的中点，连接、，如图：因为分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，因为平面，所以平面；（2）取的中点，过点作于，连接、，如图：因为是中点
24、，所以，由长方体的性质可得平面，所以，又，所以平面，所以即为二面角的平面角，因为，所以，所以，所以，所以，所以二面角的正弦值为；（3）由题意三棱锥的体积，又分别是，的中点，所以四边形为矩形，所以，所以，所以三棱锥的体积为.【点睛】本题考查了长方体几何特征及线面平行、面面平行的性质、判定的应用，考查了几何体体积的求解，属于中档题.22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）是否存在一个正实数，满足当时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）时，的增函数区间为，无减函数区间；时，的增函数区间为，减函数区间为；时，的增函数区间为，减函数区间为；（2）存在， .【解析】【分析
25、】（1）根据题意，分析函数定义域，求导，分类讨论参数不同的取值范围时函数单调性，即可求解；（2）根据题意，由（1）知的最大值为，若对任意实数，恒成立，只须使即可.又因为，所以不等式等价于：，即：，设，对求导，分析单调性，讨论的范围，判断不等式成立条件.【详解】（1）函数的定义域为，若在上为增函数；若，当时，；当时，；所以在上为增函数，在上为减函数；若，当时，；当时，；所以在上为减函数，在为增函数综上可知，时，的增函数区间为，无减函数区间；时，的增函数区间为，减函数区间为；时，的增函数区间为，减函数区间为；（2）由（1）知，时，的最大值为，若对任意实数，恒成立，只须使即可.又因为，所以不等式等价于：，即：，设，则，当时，；当时，所以，在上为减函数，在上为增函数，当时，不等式不成立，当时，不等式不成立，当时，不等式成立，存在正实数且时，满足当时，恒成立.【点睛】本题考查（1）利用导数研究函数单调性（含参）（2）利用导数研究恒成立问题，考查分类讨论思想，考查计算能力，综合性较强，属于难题.
