1、高二数学参考答案与评分细则 第1页 共 9 页 岳阳市 2021 年高二教学质量检测 数学参考答案及评分细则 一、单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A A B C D B 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分）题号 9 10 11 12 答案 CD BCD BD ABC 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.0 14.8
2、15.110 16.54,13 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本题满分 10 分）已知函数()sin()sin()3sin cos44f xxxxx=+（1）求()f x 的最小正周期以及单调增区间；（2）在ABC中，若()12Af=，2a=，求ABC周长的取值范围【解答】（1）3()sin()cos()sin 2442f xxxx=+13sin(2)sin 2222xx=+13cos2sin 222sin(2)6xxx=+=+3 分 所以()f x 的最小正周期为 ；4 分 单调增区间由2 2+2 ,262kxkkZ+解得：,36k
3、kkZ+5 分 高二数学参考答案与评分细则 第2页 共 9 页 （2）()sin()126AfA=+=，(0,)A，所以=3A6 分 由正弦定理：24 3=22=sinsinsin3sin 3bcaRRBCA=，所以4 34 3sin,sin33bBcC=，2=3BCA+=，7 分 4 3(sinsin)34 32 sinsin()334 333=(sincos)322=4sin()6bcBCBBBBB+=+=+因为2(0,)3B，9 分 所以1sin()(,162B+，(2,4bc+，所以ABC周长(4,6bca+10 分 18（本题满分 12 分）夏天来了，又是一个冷藏饮料销售旺季某生活小
4、超市据以往统计某天的偏温差()C,3xx（超出常温度数）和某种饮料的销售量 y（瓶）的情况及有关数据如下：偏温差Cx 1x 2x 3x 4x 5x 6x 销售量 y（瓶）8 11 14 20 23 26 其中6154.9iix=，()()6194iiixxyy=，()6216iixx=（1）请用相关系数加以说明是否可用线性回归模型拟合销售量 y 与偏温差 x 的关系；（2）建立 y 关于 x 的回归方程（精确到0.01），预测当偏温差升高4 C时该种饮料的销售量会有什么变化？（销售量精确到整数）参考数据：72.646 高二数学参考答案与评分细则 第3页 共 9 页 参考公式：相关系数：()()
5、()()12211niiinniiiixxyyrxxyy=，回归直线方程是 yabx=+aybx=，()()()121niiiniixxyybxx=【解答】（1）8 11 14202326176y+=，()621252iiyy=，又6154.9iix=，()()6194iiixxyy=，()6216iixx=.故()()()()12211940.996 6 7niiinniiiixxyyrxxyy=.可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系；6 分（2）54.99.156x=，942.6136b=，172.61 9.156.88a=，y 关于 x 的回归方程为2.616.88yx=.11 分
6、当4x=时，2.61 410y=.预测当偏温差升高4 C时该种饮料的销售量会增加 10 瓶.12 分 19（本题满分 12 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，1112 2A AA BAC=，2ABAC=，90BAC=（1）证明：平面1ABC 平面111A B C；（2）求四棱锥111ABCC B的体积 高二数学参考答案与评分细则 第4页 共 9 页 【解答】（1）如图，作 BC 的中点 M，连1,AMAM 因为2ABAC=，90BAC=，所以2 2BC=，2AM=又因为112 2A BAC=，所以16A M=在1A AM中，由12 2A A=，满足22211A AAMAM=+所以1A M
7、AM，且1AMBC，BCAMM=所以1A M 平面 ABC，又1A M 平面1A BC 所以平面1A BC 平面 ABC 又平面 ABC 平面111A B C 所以平面1A BC 平面111A B C7 分（2）由（1）可知1A M 平面 ABC 四棱锥111ABCC B的体积 11 1114 6=2=226=33ABCC BAABCVV 12 分 20（本题满分 12 分）在124,SSS 成等比数列且550S=，2844nnnSaa=+，12mS =，8mS=，118mS+=，这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答本题 问题：已知等差数列na的公差为()0d d，前n 项和为nS，
8、且满足_（1）求na；（2）若1Sn的前n 项和为nT，证明：2(1)nnTn+C1B1ABA1CMC1B1ABA1C高二数学参考答案与评分细则 第5页 共 9 页 注：如果选择多种情况分别解答，按第一种解答计分【解答】（1）选择条件 由550S=，得()115 4552502adad+=+=，即1210ad+=，由1S，2S，4S 成等比数列，得2214SS S=，即22211114446aa ddaa d+=+，即12da=，解得12a=，4d=，因此42nan=6 分 选择条件 由2844nnnSaa=+得，2+1+1+1844nnnSaa=+，两式相减，并整理得：11()(4)0,nn
9、nnaaaanN+=，又0d，所以10nnaa+所以1=4nnaa+，即4d=令1n=，211118=844Saaa=+，解得12a=，故42nan=6 分 选择条件 等差数列na的前n 项和1(1)2nn nSnad=+，故112nSnadn=+，所以nSn为等差数列，于是11211mmmSSSmmm+=+，即2182 811mmm+=+，解得2m=故11232,8,18SaSS=，解得基本量12,4ad=，因此42nan=6 分（2）由12a=，42nan=可得22nSn=211111 11()22(1)21nSnn nnn=+，所以 12111111111(1)()()22231nnTS
10、SSnn=+2(+1)nn=12 分 高二数学参考答案与评分细则 第6页 共 9 页 21（本题满分 12 分）某企业参加 A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10 万元根据现实的需要，从 A 项目中调出 x 人参与 B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润310()500 xa 万元（0a），A 项目余下的工人每人每年创造利润提高0.2%x（1）若要保证 A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000 名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加 B 项目从事售后服务工作？（2）在（1）的条件下，当从 A 项目调出的人数不能超过总人数的50%时，才能使得 A 项目中留岗
11、工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数 a 的取值范围【解答】设调出 x 人参加 B 项目从事售后服务工作（1）由题意得：10(1000)(1 0.2%)10 1000 xx+，即25000 xx，又0 x，所以0500 x 即最多调出 500 名员工从事第三产业 5 分（2）由题知，0500 x，从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500 xax万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500 xx+万元，则310(500 xa)10(1000)(1 0.2%)xxx+，所以223110002500500 xaxxxx+，所以22100050
12、0 xaxx+，即210001500 xax+恒成立，因为0500 x，所以 21000210001 2+15500500 xxxx+=，所以5a，又0a，所以05a，即a 的取值范围为(0,5 12 分 22（本题满分 12 分）已知动点 M 与两个定点(0,0)O，(3,0)A的距离的比为 12，动点 M 的轨迹为曲线C 高二数学参考答案与评分细则 第7页 共 9 页 （1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x=上的动点(3,)Pp 分别作C 的两条切线,PQ PR（Q、R 为切点），(1,0)B，PB 交QR 于点 N （i）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ii）是
13、否存在点 P，使ABN的面积最大？若存在，求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由【解答】（1）设(),M x y，由12MOMA=，得222212(3)xyxy+=+.化简得22230 xyx+=，即()2214xy+=.故曲线C 是以1,0 为圆心，半径为2 的圆.4 分（2）（i）证明方法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ、PR 与圆相切，Q、R 为切点，则 BQPQ，BRPR，则 B、R、P、Q 四点共圆，Q、R 在以 BP 为直径的圆上(如图).设()1,0B，又()()3,0Ppp，则 BP 的中点为 1,2p，216BPp=+.以线段 BP 为直径的圆的方程为()2
14、22216122ppxy+=，整理得22230 xyxpy+=(也可用圆的直径式方程()()()()1300 xxyyp+=化简得.)又Q、R 在C：22230 xyx+=上，由两圆方程作差即 得：40 xpy+=.xyNRQABOP高二数学参考答案与评分细则 第8页 共 9 页 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40 xpy+=.8 分 则QR 恒过坐标原点()0,0O.9 分 证明方法二(求 Q、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)：设()1,0B，()11,Q x y，()22,R xy.由 BQPQ，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT BQ=(如图)，即切线 PQ
15、方程为()()()()1111100 xxxyyy+=.整理得()221111110 xxy yxyx+=.又22111230 xyx+=，整理得()111130 xxy yx+=.同理，可得 R 处的切线 PR 方程为()222130 xxy yx+=.又()3,Pp 既在切线 PQ 上，又在切线 PR 上，所以()()11122231303130 xpyxxpyx+=+=，整理得11224040 xpyxpy+=+=.显然，()11,Q x y，()22,R xy的坐标都满足直线40 xpy+=的方程.而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为 40 xpy+=.8 分 则QR 恒过坐标原点()0,0O.9 分 （ii）1|2|2ABNNNSAByy=，因为 PBQR，所以点 N 在以 BO 为直径的圆周上，xyRQABOP高二数学参考答案与评分细则 第9页 共 9 页 故max1|2Ny=，即max()1ABNS=，此时11(,)22N 又由点,P N B 三点共线，所以BPPNkk=，14p=，所以4p=，即(3,4)P12 分
