1、甘肃省武威第一中学2021届高三数学上学期第二阶段考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：，因为故选：D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.2. 已知，有解，则下列选项中是假命题的为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】分别判断、q命题的真假，然后判断选项即可.【详解】恒成立，对，有解所以p是真命题.取，满足，q也是真命题.是假命题，
2、故选B【点睛】本题考查简单命题以及复合命题真假的判断，属于基础题.3. 1943年，我国病毒学家黄祯祥在美国发表了对病毒学研究有重大影响的论文“西方马脑炎病毒在组织培养上滴定和中和作用的进一步研究”，这一研究成果，使病毒在试管内繁殖成为现实，从此摆脱了人工繁殖病毒靠动物、鸡胚培养的原始落后的方法.若试管内某种病毒细胞的总数和天数的函数关系为：，且该种病毒细胞的个数超过时会发生变异，则该种病毒细胞实验最多进行的天数为（ ）天（）A. 25B. 26C. 27D. 28【答案】C【解析】【分析】计算，得到，得到答案.【详解】取，故，即，故该种病毒细胞实验最多进行的天数为.故选：.【点睛】本题考查了
3、指数函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.4. 函数f（x）的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】题目中条件：“函数的零点个数”转化为方程的根的个数问题及一次函数的根的个数问题，分别画出方程左右两式表示的函数图象即得【详解】对于函数的零点个数转化为方程的根的个数问题，分别画出左右两式表示的函数：如图由图象可得两个函数有两个交点又一次函数的根的个数是：1故函数的零点个数为3故选：【点睛】函数的图象直观地显示了函数的性质，在判断方程是否有解、解的个数及一次方程根的分布问题时，我们往往构造函数，利用函数的图象解题，体现了数形结合的数学思想，属于基础题5.
4、 已知，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义可知函数是增函数且是奇函数，即有，得到，即可解得.【详解】因为 均为增函数，所以是增函数，又因为，所以函数是奇函数，化为，所以即.故选：A【点睛】本题考查了判断函数的单调性、奇偶性，解题中需要根据增函数加增函数是增函数和奇函数定义判断，属于基本题型，关键是要准确掌握基本初等函数的单调性和指数的运算性质.6. 设函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意变量分离转为在上恒成立，只需，求出最大值即可得到实数的取值范围.【详解】由题意，
5、可得，即，当时，所以在上恒成立，只需，当时有最小值为1，则有最大值为3，则，实数的取值范围是，故选：A【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解决方法，常用变量分离转为求函数的最值问题，属于基础题.7. 已知函数的对称中心为，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分离常数、化简解析式，可得对称中心为，结合已知可得，确定解析式后将代入即可.【详解】其对称中心为，故选：C【点睛】本题考查函数值的求解，解题的关键是确定函数对称中心为，属于中档题.8. 已知实数，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，分别表示出，构造函数，利用函数图象
6、比较大小.【详解】设，则，在同一坐标系中分别画出函数，的图象，如图，当时，；当时，；当时，.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键.9. 函数y=sin2x的图象可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（
7、4）由函数的周期性，判断图象的循环往复10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ）A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 的图象关于直线对称D. 的图象关于点对称【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断单调区间，根据判断函数对称轴.【详解】由可得：，解得，令，开口向下，对称轴，所以函数在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可得在(一2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，因为，所以函数的图象关于x = 1对称，因此A,B,C正确，D错误，故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的单调性，“同增异减”，利用判定函数的对称轴，注意复合函数
8、的定义域是研究单调区间的前提.11. 已知直线是曲线与曲线的一条公切线，与曲线切于点，且是函数的零点，则的解析式可能为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先设出切点坐标，然后结合题意得到关于a的等式即可确定的解析式的一个可能值.【详解】由可得，由可得，设公切线在上的切点坐标为，在上的切点坐标为，利用导函数研究函数切线的性质可得：，整理可得：， 结合斜率公式有：， 将代入中整理可得：，则的解析式可能为.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程，切线的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12. 当直线y=kx与曲线有3个公共点时，实数k的取值
9、范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由时，得到；时， ；时， ；画出函数图象可得答案.【详解】当时，曲线；当时，曲线；当时，曲线；所以的图象如图所示，其中，直线y=kx与曲线有3个公共点时，实数k的取值范围.故选：A.【点睛】本题考查直线与曲线的公共点的问题，常用的方法：（1）直接法：直接求解方程组得到方程的根；（2）数形结合法：先对解析式变形，构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13. 求值_.【答案】【解析】【分析】直接利用指数与指数幂的运算、对数的运算求解即可.【详解】
10、故答案为：.14. 已知函数在处有极大值，则常数c的值为_.【答案】【解析】【分析】求得函数的导函数，根据在处有极大值，求得的值.【详解】依题意，所以，依题意，解得或.当时，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极小值，不符合题意.当时，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极大值，符合题意.故常数的值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的极值，属于基础题.15. 已知定义在上的函数满足，且当时，则_.【答案】【解析】【分析】根据题意可得函数的周期为4，结合奇偶性得出，代入即可得结果.【详解】由知函数为奇函数，所以函数的周期为4，又时，故答案为：.【点睛】本题主要考查通过函数的奇偶
11、性以及周期性求函数的值，得到周期性是解题的关键，属于中档题.16. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则下列结论中正确的序号是_.当时，； 函数有3个零点；的解集为；，都有.【答案】【解析】【分析】利用函数是定义在R上的奇函数，且时，求出在R上的解析式，判断错；由分别令，解出零点，判断对；由令，求出解集，判断对；当时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明，即证明最大值与最小值的差的绝对值小于，对【详解】对于，当时，则由题意得， 函数是奇函数， ，且时，错； ，对于，当时，由得，当时，由得， 函数有3个零点，对；对于，当时，由得，当时，由得， 的解集为
12、，对；对于，当时，由得，由得，由得， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在上有最小值，且，又 当时，时，函数在上只有一个零点，当时，函数的值域为，由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为， 对，都有，对.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查函数的性质，根据函数的奇偶性求出解析式是关键，然后利用性质求函数的零点、解不等式和证明不等式 ，对于 的证明，只须求出最大值与最小值的差的绝对值小于即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知函数，若使得f（x）没有零点的a的取值范围为集合A，使得f（x）在区间（m，m+3）上不是单调函数的a的取值范
13、围为集合B.（1）求集合A，B；（2）若是的充分不必要条件，求m的范围【答案】（1）A=，B=；（2）.【解析】【分析】（1）根据f(x)没有零点，由求解. f(x)对称轴，根据函数在区间(m，m+3)上不是单调函数求解.（2）根据是的充分不必要条件，由AB求解.【详解】（1）因为f(x)没有零点， 所以，解得，即A=；因为f(x)的对称轴为：，且在区间(m，m+3)上不是单调函数，所以， 即B=.（2）因为是的充分不必要条件，所以AB，所以，且等号不同时成立，解得：经检验，m=-2或m=-1满足题意，所以.18. 已知函数是奇函数（1）求；（2）若，求的范围【答案】（1）；（2）【解析】【分
14、析】（1）由是奇函数可得，即可列出等式求解a；（2）原不等式等价于或，分别解两个不等式组，结果取并集即可.【详解】（1）是奇函数，即，解得； （2）若，则或，解得；，解得.综上所述，.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，利用指数函数、对数函数的单调性解不等式，属于中档题.19. 已知函数在x=1处取得极值-6. （1）求实数a，b的值； （2）求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【答案】（1） ；（2）【解析】【分析】（1）求导，根据函数在x=1处取得极值-6，由求解. （2）由（1）知，分别求得极值和端点的函数值求解.【详解】（1）由得：. 由题意知： 即 解得：经检验符合题意. （2）由
15、（1）知，令得：或，当x变化时，的变化情况如下：x-2(-2 1)1(1, 2)2-0+21单调递减-6单调递增5由表可知：【点睛】方法点睛：（1）导数法求函数的最值时，要先求函数yf(x)在a，b内所有使f(x)0的点，再计算函数yf(x)在区间内所有使f(x)0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得；（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，再列方程求解参数20. 已知函数 （1）如果函数f（x）的单调递减区间为，求f（x）的表达式； （2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由是方程的两根，可得答案；（2）转化为对任意x0恒成立，然后
16、构造函数，求其最小值可得答案.【详解】（1），由题意的解集为， 即的两根是，由此解得.所以 （2）即不等式对任意x0恒成立，即对任意x0恒成立，令，则，令，得或 (舍)当时，；当时，所以，所以实数a的取值范围是.【点睛】关键点睛：本题第二问考查的是常量分离求参数的取值范围问题，解决的关键是构造函数，利用导数求最值，如果导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试再求一次求导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.21. 已知函数.（1）若a= -2，求函数f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求证.【答案】（1）单调递增区间为，单调递
17、减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由a= -2，求导，再由，求解即可,（2）求导，根据f(x)有两个极值点x1，x2，得到x1，x2为方程的两个不等实根，然后结合韦达定理得到，再令，用导数法证明即可.【详解】（1）f(x)的定义域是.当a= -2时，当时，当时，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），因为f(x)有两个极值点x1，x2，故x1，x2为方程的两个不等实根，所以，.,令，则，在单调递增，故.【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式常构造函数(x)，将不等式转化为(x)0(或0)的形式，然后研究(x)的单调性、最值，判定(x)与0的关系，从而证明不等式22.
18、 已知函数，.（1）若函数在区间内是增函数，求的取值范围；（2）证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，由题意可得出在区间上恒成立，利用参变量分离法得出在上恒成立，利用导数求出当时，由此可求得实数的取值范围；（2）由（1）推导出，令可得出，然后利用不等式的可加性可证得结论成立.【详解】（1）由题意，在上恒成立.当时，则，即上恒成立，令，则，所以，函数在上单调递减，则，因此，实数的取值范围是；（2）证明：由（1）知，当时，在是减函数，所以，即，则，令，代入可得，所以，上述不等式全部相加得：.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题：（1）直接构造法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
