1、第3讲合情推理与演绎推理1推理(1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程(2)分类：推理2合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理(3)模式：三段论 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳
2、推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案：(1)(2)(3)(4) (教材习题改编)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1解析：选C.由a11，anan12n1，则a2a12214；a3a22319；a4a324116，所以ann2. (2017高考全国卷)甲、乙、
3、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D.依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选择D. 推理“矩形是平行四边形，三角形不是平行四边形，三角形不
4、是矩形”中的小前提是_解析：由演绎推理三段论可知，是大前提，是小前提，是结论答案： 在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：18归纳推理(高频考点)归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度稍大，属中高档题高考对归纳推理的考查常有以下三个命题角度：(1)与数字(数列)有关的等式的推理；(2)与不等式(式子)有关的推理；(3)与图形变化有关的推理 典例引领 角度一与数字(数列)有关的等式的推理 有一个奇数组成的数阵排列如下：1 3 7 13215 9 152311172519
5、2729则第30行从左到右第3个数是_【解析】观察每一行的第一个数，由归纳推理可得第30行的第1个数是146810601929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n，第3个数比第2个数大2n2，所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60，第3个数比第2个数大62，故第30行从左到右第3个数是92960621 051.【答案】1 051角度二与不等式(式子)有关的推理 (2016高考山东卷)观察下列等式：12；23；34；45；照此规律，_【解析】每组角的分母恰好等于右边两个相邻正整数因数的和因此答案为n(n1)【答案】n(n1)角度三与图形变化有关的推理 我国的刺绣有着悠久的历史，如
6、图所示中的(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()Af(n)2n1 Bf(n)2n2Cf(n)2n22n Df(n)2n22n1【解析】我们考虑f(2)f(1)4，f(3)f(2)8，f(4)f(3)12，结合图形不难得到f(n)f(n1)4(n1)，累加得f(n)f(1)2n(n1)2n22n，故f(n)2n22n1.【答案】D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与“数字”相关问题：主要是观察数字特点，找出等式左右两侧的规律
7、(2)与不等式有关的推理：观察所给几个不等式两边式子的特点，注意纵向看、找出隐含规律(3)与图形有关推理：合理利用特殊图形归纳推理得出结论 通关练习1观察三角数阵，记第n行的第m个数为a(n，m)，则下列关系正确的是()1111211331146411104545101Aa(n1，m1)a(n，m)a(n，m1)Ba(n1，m1)a(n1，m1)a(n，m)Ca(n1，m1)a(n，m)a(n1，m)Da(n1，m1)a(n1，m)a(n，m1)解析：选A.观察分析得出三角数阵中的每一个数等于其“肩上”两个数之和所以a(n1，m1)a(n，m)a(n，m1)2(2018青岛模拟)某种平面分形图
8、如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120，依此规律得到n级分形图n级分形图中共有_条线段解析：分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3323条线段，二级分形图有93223条线段，三级分形图中有213233条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an32n3(nN*)答案：32n3(nN*)类比推理 典例引领 如图，在RtABC中，C90，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给
9、出空间中四面体性质的猜想【解】如题图所示，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2SSS成立 若本例条件“由勾股定理，得c2a2b2”换成“cos2 Acos2 B1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想解：如图，在RtABC中，cos2Acos2B1.于是把结论类比到四面体PABC中，
10、我们猜想，四面体PABC中，若三个侧面PAB，PBC，PCA两两互相垂直，且分别与底面所成的角为，则cos2cos2cos21. 通关练习1给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若z1，z2C，则z1z20z1z2”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若z1，z2C，则z1z20z1z2”其中类比得到的结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析：选C.由复数的减法运算可知正确；因为a，b，c，d都是有理数，是无理数，所
11、以正确；因为复数不能比较大小，所以不正确2(2018山东烟台五校联考)已知命题：在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)ABC的顶点B在椭圆上，顶点A，C分别为椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为e，则，现将该命题类比到双曲线中，ABC的顶点B在双曲线上，顶点A，C分别为双曲线的左、右焦点，设双曲线的方程为1(a0，b0)，双曲线的离心率为e，则有_解析：在双曲线中，设ABC的外接圆的半径为r，则|AB|2rsin C，|AC|2rsin B，|BC|2rsin A，则由双曲线的定义得|BA|BC|2a，|AC|2c，则双曲线的离心率e，即.答案：演绎推理 典例引领 数列an的前n项和记为Sn，
12、已知a11，an1Sn(nN*)证明：(1)数列是等比数列；(2)Sn14an.【证明】(1)因为an1Sn1Sn，an1Sn，所以(n2)Snn(Sn1Sn)，即nSn12(n1)Sn.故2，(小前提)故是以1为首项，2为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知4(n2)，所以Sn14(n1)4Sn14an(n2)又因为a23S13，S2a1a21344a1，所以对于任意正整数n，都有Sn14an.演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略；(2)在推
13、理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成 已知函数yf(x)满足：对任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数证明：设x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，所以x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，因为x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)为R上的单调增函数 把握合情推理与演绎推理的三个特点(1)合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的(2)在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则
14、只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误(3)应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的 易错防范(1)演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性(2)合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展的依据1正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确 D全不正确解析：选C.因为f(x)sin(x21)不是正
15、弦函数，所以小前提不正确2给出下列三个类比结论：(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中正确结论的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B.(ab)nanbn(n1，ab0)，故错误sin()sin sin 不恒成立，如30，60，sin 901，sin 30sin 60，故错误由向量的运算公式知正确3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似地，若各项均为正数的等比数列bn的公比为q
16、，前n项的积为Tn，则等比数列的公比为()A. Bq2C. D.解析：选C.由题意知，Tnb1b2b3bnb1b1qb1q2b1qn1bq12(n1)bq，所以b1q，所以等比数列的公比为，故选C.4(2018陕西渭南模拟)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，故将其称为三角形数，由以上规律，知这些三角形数从小到大形成一个数列an，那么a10的值为()A45 B55C65 D66解析：选B.第1个图中，小石子有1个，第2个图中，小石子有312个，第3个图中，小石子有6123个，第4个图中，小石子有101234个，故第
17、10个图中，小石子有1231055个，即a1055，故选B.5(2018安徽江淮十校联考)我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在 中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程x确定x2，则1()A. B.C. D.解析：选C.1x，即1x，即x2x10，解得x，故1，故选C.6在平面几何中：ABC的ACB内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_解析：由平面中线段的比转
18、化为空间中面积的比可得.答案：7(2018陕西咸阳模拟)观察下列式子：2，8，根据以上规律，第n(nN*)个不等式是_解析：根据所给不等式可得第n个不等式是.答案：cos Acos Bcos C.证明：因为ABC为锐角三角形，所以AB，所以AB，因为ysin x在上是增函数，所以sin Asincos B，同理可得sin Bcos C，sin Ccos A，所以sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.10给出下面的数表序列：表1表2表3113 135 4 4812其中表n(n1，2，3，)有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的
19、两数之和写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)解：表4为13574812122032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列1如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A. B.C.1 D.1解析：选A.设“黄金双曲线”的方程为1(a0，b0)，则B(0，b)，
20、F(c，0)，A(a，0)在“黄金双曲线”中，因为，所以0.又(c，b)，(a，b)，所以b2ac.而b2c2a2，所以c2a2ac.在等号两边同除以a2，得e21e，解得e.2学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有()A2人 B3人C4人 D5人解析：选B.利用推理以及逻辑知识求解首先要证，没有任意两个同学的数学成绩是相同的假设A，B两名同学的数学成绩
21、一样，由题知他们的语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有一个人比另一个人高，相应地由题可知，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾因此看得出，没有任意两个同学的数学成绩是相同的因为数学成绩等级只有3种，因而同学数量最大为3.之后要验证3名同学能否满足条件易证3名同学的成绩等级分别为(优秀，不合格)、(合格，合格)、(不合格，优秀)时满足条件，因此满足条件的最多人数是3.3考察等式：CCCCCCC，(*)其中n，m，rN*，rmb0)所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)(如图)，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积
22、公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于_解析：椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V2(V圆柱V圆锥)2(b2ab2a)b2a.答案：b2a5已知O是ABC内任意一点，连接AO，BO，CO并延长，分别交对边于A，B，C，则1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：1.请运用类比思想猜想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明解：结论：在四面体VBCD中，任取一点O，连接VO，DO，BO，CO并延长，分别交四个面于E，F，G，H点则1.证明如下：在四面体OBCD与VBCD中，设其高分别为h1，h，则.同理，；，所以1.6我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数yf(x)(xD)，对任意x，y，D均满足ff(x)f(y)，当且仅当xy时等号成立(1)若定义在(0，)上的函数f(x)M，试比较f(3)f(5)与2f(4)的大小；(2)设函数g(x)x2，求证：g(x)M.解：(1)对于ff(x)f(y)，令x3，y5得f(3)f(5)2f(4)(2)证明：gg(x1)g(x2)0，所以gg(x1)g(x2)，所以g(x)M.
