1、甘肃省武威第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求）1. 已知全集 ，集合 ，集合 ，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】,所以，故选A.考点：集合的运算.2. 已知全集U=R，则正确表示集合M= 1，0，1 和N= x |x+x=0 关系的韦恩（Venn）图是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：先化简集合N，得N=1，0，再看集合M，可发现集合N是M的真子集，对照韦恩（Venn）图即可选出答案解：由N=x|x2+x
2、=0，得N=1，0M=1，0，1，NM，故选B考点：Venn图表达集合的关系及运算3. 下列函数中，与函数相同的函数是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过分析函数的定义域、值域和对应关系，由此确定正确选项.【详解】函数的定义域和值域都为.对于A选项，函数的定义域为，故与不相同.对于B选项，定义域、值域都为，对应关系为，故与相同.对于C选项，函数的定义域为，故与不相同.对于D选项，函数的定义域为，故与不相同.故选B.【点睛】本小题主要考查两个函数相等的概念，考查函数的定义域、值域、对应关系，属于基础题.4. 函数的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
3、【分析】的定义域满足：，解得答案.【详解】的定义域满足：，解得.故选：D.【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.5. 下列各式错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数,对数函数的单调性判断即可.【详解】对A,因为为增函数,故正确.对B,因为为减函数,故正确对C,因为为减函数,故,故C错误.对D,因为为增函数,故正确故选C【点睛】本题主要考查指数与对数函数的单调性判断函数值的大小,属于基础题型.6. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数解析式直接判断函数的奇偶性和单调性可得解.【详解】函数不是
4、奇函数，故A不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故B不正确；函数是奇函数，但不是增函数，故C不正确；的图象如图：所以函数是奇函数且是增函数.故选：D7. 函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】 ，根据指数函数的性质，作出分段函数的图象即可.【详解】，当时，因为，所以过点且单调递增，结合指数函数的图象特点，排除选项A、C、D，故选：B8. 设f(x)是R上的偶函数，且在0，)上单调递增，则f(2)，f()，f(3)的大小顺序是()A. f()f(3)f(2)B. f()f(2)f(3)C. f(3)f(2)f()D. f(3)f()f(2)【答案】A【解析】f(x)
5、是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)故选A.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系.9. 若函数f(x)ax2(a2b)xa1是定义在(a，0)(0，2a2)上的偶函数，则f等于
6、（ ）A. 1B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意结合偶函数的性质可得a2a20、a2b0，代入即可得解.【详解】因为函数f(x)ax2(a2b)xa1是定义在(a，0)(0，2a2)上的偶函数，所以a2a20，解得a2，所以f(x)2x2(22b)x1，又f(x)= f(x)即2x2(22b)x1=2x2-(22b)x1，所以22b0，即b1，所以f(x)2x21，.故选：B.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10. 如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2
7、，1)，Q(2，2)，G中，可以是“好点”的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象特征，即可容易判断选择.【详解】设指数函数为y=ax(a0，且a1)，显然其图象不过点M，P；设对数函数为y=logbx(b0，且b1)，显然其图象不过点N.故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数图象的特征，属综合基础题.11. 已知函数是定义域R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解.【详解】若f（x）是定义域（-，+）上的减函数，则满足 即 ，整理得
8、.故选B【点睛】本题考查了分段函数单调性应用，根据分段函数的性质建立不等式是解决本题的关键.12. 已知函数是上的奇函数，且当时，函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由题意，以及题中函数图像，得到时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果.【详解】当时，由得；由函数图像可知，；由函数是定义在上的奇函数，其图像关于原点对称，所以当时，此时满足；当时，不满足；当，此时满足；综上，不等式的解集为.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请
9、把答案填写在答题卡上）13. 函数的图象一定过定点，则点的坐标是_.【答案】【解析】【分析】令，得，再求出即可得解.【详解】令，得，所以点坐标是.故答案为：14. 若，则_.【答案】【解析】【分析】由已知方程构造出一个方程，解方程组得到，可求得.【详解】由，得，2-，得，得，所以.故答案为：.【点睛】关键点点睛：由已知方程构造出一个方程，解方程组得到是解题关键.15. 设函数，则满足的的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据分段函数，分段解不等式，最后求并集.【详解】当时，因为，解得：， ，当时，解得：，所以，综上，原不等式的解集为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式，涉及
10、指数与对数运算，属于基础题.16. 对于区间和函数，若同时满足：在上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“不变”区间.根据以上信息函数的“不变”区间是_.【答案】【解析】【分析】设函数的“不变”区间是，根据“不变”区间的定义列式可解得结果.【详解】设函数的“不变”区间是，因为函数在上单调递增，所以，所以，又，所以，所以函数的“不变”区间是.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用“不变”区间的定义求解是解题关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 化简：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质可求
11、得结果；（2）根据对数的运算性质可得结果.【详解】（1）原式. （2）原式.18. 已知集合.（1）若，求的值；（2）若，求常数所有可能的取值组成的集合.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据1,2为方程的根可求得结果；（2）分类讨论，化简集合，根据子集关系列式可求得结果.【详解】（1），1,2为方程的根，解得，所以. （2）当时，集合，当时，集合，或.解得或.常数组成的集合为.19. 已知函数，且.（1）判断的奇偶性并说明理由；（2）判断在区间上的单调性，并证明你的结论；（3）若对任意实数，有成立，求的最小值.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）单调递增，证明见解析；（3）.
12、【解析】【分析】（1）求出后，利用奇函数的定义可得结果；（2）判断出单调性后，根据增函数的定义可证结论；（3）转化为的最大值，根据函数的单调性求出其最大值即可得解.【详解】（1），即.其定义域为，关于原点对称.又，为奇函数. （2）在上单调递增，证明如下：任取，且，则.，即.在上单调递增. （3）由题意得，对任意实数，恒成立，只要的最大值即可.在区间上单调递增，的最大值为.故的最小值为.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：若在上恒成立，则；若在上恒成立，则；若在上有解，则；若在上有解，则.20. 已知的定义域为实数集，对任意，都有，且时，求在区间上的最大值和最
13、小值.【答案】最大值为6，最小值为.【解析】【分析】取，得，设，得，得函数为奇函数.再根据减函数的定义可知，函数是减函数，根据单调性可求得结果.【详解】因为对任意，都有，于是取，可得， 设，得，所以，即，知函数为奇函数. 下面证明它是减函数：任取，则，又时，即，.所以函数在区间上是减函数. 当时，函数取最大值；当时，函数取最小值.；【点睛】关键点点睛：判断出函数的单调性是解题关键.21. 2018年1月8日，中共中央国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值与这
14、种新材料的含量（单位：克）的关系为：当时，是的二次函数；当时，测得数据如表（部分）012903（1）求关于的函数关系式（2）求函数的最大值 【答案】（1）；（2）4【解析】【试题分析】（1）当时，设出二次函数的一般式，代入表格中所给的三个数据，列方程组求得二次函数的解析式.当时，代入表格所给第四个数据，由此求得的值.（2）分别最求出分段函数两段的最大值，比较这两个最大值求得整体的最大值.【试题解析】（1）当时，由题意，设.由表格数据可得，解得.所以，当时，.当时，由表格数据可得，解得.所以当时，综上，.（2）当时，.所以当时，函数的最大值为4；当时，单调递减，所以的最大值为.因为，所以函数的最
15、大值为4.【点睛】本题主要考查待定系数法求函数的表达式，考查分段函数的概念与性质，考查二次函数与指数函数最值的求法.由于题目给定时函数为二次函数，故可设出二次函数的一般式，代入三个已知点，解方程组就可以求出解析式. 时求法也一样.22. 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数.（1）已知，利用上述性质，求函数单调区间和值域；（2）对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值.【答案】（1）减区间，增区间为；（2）.【解析】【分析】（1）设，则，根据函数的性质，可得单调性，根据单调性可得值域；（2）根据单调性求出函数在上的值域，再根据的值域是的值域的子集列式可解得结果.【详解】（1），设，则，由已知性质得，当，即时，单调递减，所以减区间为；当，即时，单调递增，所以增区间为；由，得的值域为；（2）因为为减函数，故函数在上的值域为.由题意，得的值域是的值域的子集，所以，所以.【点睛】本题考查了对勾函数的单调性，考查了利用函数的单调性求值域，考查了转化化归思想，属于中档题.
