1、81二分法与求方程近似解81.1函数的零点新课程标准解读核心素养1.结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系数学抽象、直观想象、数学运算2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理直观想象、逻辑推理路边有一条河，小明从A点走到了B点问题观察图，推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？知识点函数的零点1零点的概念把使函数yf(x)的值为的实数x称为函数yf(x)的零点2函数的零点、方程的根、图象与x轴的交点之间的关系函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数解，就是它的图象与x轴交点的横坐标3函数零点存在定理若函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)f
2、(b)0，则函数yf(x)在区间(a，b)上有零点1函数的零点是实数，而不是点如函数f(x)x1的零点是1，而不是(1，0)2并不是所有的函数都有零点，如函数f(x)，yx21均没有零点3若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程f(x)0有两个不等实数解x1，x2，则函数yf(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)()(3)若函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)f(b)0.()(4)函数的零点不是点，它是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)0的实数解()答案：(1)(2)(3
3、)(4)2函数f(x)log2x的零点是()A1 B2C3 D4答案：A3函数f(x)2x的零点所在的区间是()A(1，) BC. D答案：B4函数f(x)(x1)(x23x10)的零点有_个答案：3求函数的零点例1(链接教科书第216页练习2题)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是x3.(2)令x22x40，由于22414120时，f(x)log2x0x1，所以函数f(x)的所有零点构成的集合为1，12已知函数f(x)x23(m1)xn的零点是1和
4、2，则mn_解析：因为f(x)x23(m1)xn的零点为1和2，所以1和2是方程x23(m1)xn0的两个实数解，所以解得所以mn4.答案：4函数零点所在区间问题例2(链接教科书第215页例1)f(x)exx2的零点所在的区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析法一：f(0)10，f(x)在(0，1)内有零点法二：exx20，即ex2x，原函数的零点所在区间即为函数yex和y2x的图象交点的横坐标所在的区间如图，由图象可得函数yex和y2x的图象交点所在的区间为(0，1)答案C确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程
5、，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点；(3)数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断跟踪训练1函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1，2) B(2，3)C(3，4) D(e，)解析：选Bf(1)20，f(2)ln 210，f(2)f(3)0，f(x)在(2，3)内有零点2函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是()A(1，3) B(1，2)C(0，3) D(0，2)解析：选C易知函数f
6、(x)2xa在区间(1，2)内是增函数，又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1，2)内，所以所以0a0时，法一(函数单调性法)：f(x)2x6ln x.而f(1)216ln 140，所以f(1)f(3)0时，f(x)0只有一个解综上，函数f(x)共有2个零点(2)如图，当xm时，f(x)|x|.当xm时，f(x)x22mx4m，在(m，)为增函数若存在实数b，使方程f(x)b有三个不同的根，则m22mm4m|m|.因为m0，所以m23m0，解得m3.答案(1)2(2)(3，)判断函数yf(x)零点个数的方法(1)解方程法：方程f(x)0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数；(2)定理法
7、：借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断；(3)图象法：如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断特别地，对于形如yh(x)g(x)的函数，可通过函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数yh(x)g(x)的零点的个数跟踪训练1(2021河南郑州质检)已知函数f(x)cos x，则f(x)在0，2上的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C如图，作出g(x)与h(x)cos x的图象，可知其在0，2上的交点个数为3，所以函数f(x)在0，2上的零点个数为3，故选C.2已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，2是它的一个零点，且在(0，)上是增函数，则该函数有_个零点
8、，这几个零点的和等于_解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，)上是增函数，所以f(0)0.又因为f(2)0，所以f(2)f(2)0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.答案：30二次函数实数根的分布问题例4已知二次函数f(x)x22ax4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：(1)两个零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内解(1)由已知并结合二次函数的图象，得解得2a，故实数a的取值范围是.(2)由已知并结合二次函数的图象得f(1)52a0，解得a，因此实数a的取值范围是.(3)由已知并结合二
9、次函数的图象与零点存在定理，得解得a，因此实数a的取值范围是.二次函数零点的分布，一般有两种题型(1)二次函数在某一个区间内有两个零点，一般情况下需要从以下三个方面考虑：对应一元二次方程根的判别式；区间端点函数值的正负；对应二次函数的图象抛物线的对称轴x在区间内(2)二次函数在某一个区间内仅有一个零点，只需考虑区间端点函数值的正负跟踪训练1已知函数f(x)x22xa在区间(2，0)和(2，3)内各有一个零点，则实数a的取值范围是()A(3，0) B(3，)C(，0) D(0，3)解析：选A已知函数f(x)x22xa在区间(2，0)和(2，3)内各有一个零点，则即解得3a0.2关于x的方程mx2
10、2(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围解：原方程可化为：x2x20，令f(x)x2x2，则f(4)0，即1620，即13，解得m0.故实数m的取值范围是.1函数f(x)2x23x1的零点是()A，1 B，1C.，1 D，1解析：选B方程2x23x10的两根分别为x11，x2，所以函数f(x)2x23x1的零点是，1.2(2021安徽调研测试)已知a，b，c，d都是常数，且ab，cd.若f(x)2 021(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacdb BadcbCcdab Dcabd解析：选A由题意设g(x)(xa)(xb)，则f(x)2
11、 021g(x)，所以g(x)0的两个根是a，b，由题意知f(x)0的两根c，d就是g(x)2 021的两根，画出g(x)(开口向上)以及直线y2 021的大致图象，如图所示，则g(x)的图象与直线y2 021的交点的横坐标就是c，d，g(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是a，b.又ab，cd，且c，d在区间(b，a)内，所以由图得，acdb，故选A.3若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(0)0，f(1)0，f(2)0，则yf(x)有唯一零点需满足的条件是()Af(3)0D函数f(x)在定义域内是减函数解析：选D因为f(1)0，f(2)0，f(1)40，所以在(3，1)内必有根又f(2)40，所以在(2，4)内必有根5已知函数f(x)2xx2，则方程f(x)0在区间1，0内_解(填“有”或“无”)解析：因为f(1)21(1)20，f(0)200210，且函数f(x)2xx2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间1，0内有零点，即方程f(x)0在区间1，0内有解答案：有
