1、安徽省六安市第一中学2020届高三数学下学期模拟考试题（六）理（含解析）测试范围：学科内综合共150分，考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对集合和进行化简，然后根据集合交集运算，得到答案.【详解】集合，即，解得，所以集合.集合，解得，所以集合，所以.故选：C.【点睛】本题考查解指数不等式，解一元二次不等式，集合的交集运算，属于简单题.2.已知实数满足（其中为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D
2、. 【答案】A【解析】【分析】根据得到的值，从而得到复数，在得到复数的共轭复数.【详解】因为，所以，所以，解得，所以所以复数的共轭复数为.故选：A.【点睛】本题考查根据复数相等求参数的值，求共轭复数，属于简单题.3.已知命题，则命题的真假以及命题的否定分别为（ ）A. 真，B. 真，C. 假，D. 假，【答案】B【解析】【分析】根据命题，当时，判断出命题为真命题，根据含有一个量词的命题的否定，写出命题的否定.【详解】命题，当时，所以命题为真命题；命题的否定为：，.故选：B.【点睛】本题考查判断命题的真假，含有一个量词的命题的否定，属于简单题.4.已知向量，若，且，则实数的值为（ ）A. 2B.
3、 4C. 或2D. 或4【答案】C【解析】【分析】根据已知得到的坐标，然后根据，得到关于，的方程组，从而得到答案.【详解】向量，所以，因为，所以，解得或所以的值为或.故选：C.【点睛】本题考查根据向量平行求参数的值，根据向量的模长求参数的值，属于简单题.5.运行如下程序框图，若输出的的值为6，则判断框中可以填（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据框图得到和的变化规律，根据输出的的值为，得到时的值，从而得到判断语句，得到答案.【详解】根据框图可知，要使的输出值为，此时，所以判断框内的语句可以为.故选：B.【点睛】本题考查框图中根据输出值填写判断语句，属于简单题.6.（ ）A
4、. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式，两角和的正切公式的逆用，对条件中的式子进行化简，结合特殊角的三角函数值，得到答案.【详解】.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，两角和的正切公式，特殊角的三角函数值，属于简单题.7.已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的图象关于对称B. 函数的图象关于对称C. 函数的图象关于中心对称D. 函数的图象关于中心对称【答案】D【解析】【分析】先求出函数的定义域，根据定义域得到对称中心的横坐标或者对称轴，然后进行判断，得到答案.【详解】函数，所以，解得即函数的定义域为，若函数的对称中心横坐标为，或者对称轴为，则此时得到所以不是关于对
5、称，.所以函数关于成中心对称.故选：D.【点睛】本题考查判断函数的对称性，求函数的对称中心，属于中档题.8.将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数图象关于对称，则当取到最小值时，函数的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据平移，得到平移后的解析式，然后由对称轴为，得到的表达式，从而得到的最小值，确定出的解析式，再求出的单调递增区间.【详解】函数的图象向右平移个单位，得到，因为图象关于对称，所以，整理得，因为，所以当时，的最小值为，所以，解得，所以的单调增区间为.故选：C.【点睛】本题考查函数平移后的解析式，根据正弦型函数的对称轴求参数的值，求正弦型函数的单调
6、区间，属于简单题.9.已知实数满足，若，且恒成立，则实数的取值不可能为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】A【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，将目标函数化为斜截式，然后得到过点时，取最小值，根据恒成立，得到关于的不等式，从而得到的范围，确定出答案.【详解】实数满足，根据约束条件，画出可行域，如图所示，将目标函数化为斜截式，根据选项可知的值为正，即直线斜率大于所以当直线过点时，在轴上的截距最大，即最小，解得，即此时因为恒成立，所以解得，所以不可取值为.故选：A.【点睛】本题考查线性规划求最小值，考查了数形结合的思想，属于中档题.10.已知某几何体的三视图如下所示，若网格纸上小正
7、方形的边长为1，则该几何体的最短棱长为（ ）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】根据三视图还原出几何体，得到将几何体放入到长方体中，根据长方体棱长，求出几何体的各棱的长度，从而得到最短的棱长.【详解】根据三视图还原出几何体，为三棱锥，如图所示，根据三视图中的数据，可将几何体放入长为，宽为，高为的长方体中，则，为长方体侧棱的中点，所以由图可知三棱锥中，最短棱为.故选：B. 【点睛】本题考查三视图还原几何体，根据三视图求几何体的最短棱长，属于中档题.11.已知椭圆的离心率为，且是椭圆上相异的两点，若点满足，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据
8、椭圆的离心率，求出的值，得到椭圆的标准方程，然后根据，结合，得到的坐标表示，得到关于的函数，结合的范围，得到答案.【详解】椭圆的，其离心率为，所以，所以，所以，所以椭圆标准方程为，设，则因为，所以，所以所以是关于的二次函数，开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值为当时，取得最小值为，所以.故选：A.【点睛】本题考查根据离心率求椭圆的标准方程，向量数量积的坐标表示，二次函数求值域，属于中档题.12.已知函数的定义域为，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可知，在上单调递减，将不等式两边同时乘以，变形为，不妨设，则，构造新函数，根据
9、函数单调性定义可知，若使得对任意的，恒成立，则需恒成立，即，求解即可.【详解】函数的定义域为，即函数在上单调递减.变形为即不妨设，则，即令则若使得对任意的，恒成立.则需恒成立.则恒成立.即恒成立.所以.即实数的取值范围是.故选：B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，等价变形，构造新函数，是解决本题的关键，本题属于难题.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上）13.杨辉，字谦光，南宋时期杭州人.在他1261年所著的详解九章算法一书中，辑录了如图所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自11世纪中叶（约公元1050年）
10、贾宪的释锁算术，并绘画了“古法七乘方图”.故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”.杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：基于上述规律，可以推测，当时，从左往右第22个数为_.【答案】253【解析】【分析】根据，共有个数，则所求为这一行的倒数第个数，找到每一行倒数第个数的规律，从而得到所求.【详解】当时，共有个数，从左往右第个数即为这一行的倒数第个数，观察可知，每一行倒数第个数（从第行，开始）为，即为，所以当时，左往右第个数为.故答案为：.【点睛】本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.14.多项式的展开式中，含项的系数为_.【答案】420【解析】【分析】先确定多项式的通项，再求二项式
11、的通项，然后根据，求解，即可.【详解】多项式的通项为由题意可知，且若求项的系数，则需求二项式中含项二项式的通项为：由题意可知，且令即若使得且，且成立则则所求系数为.故答案为：【点睛】本题考查二项式定理，属于中档题.15.已知四棱锥中，底面四边形为等腰梯形，且，若平面平面，则四棱锥外接球的表面积为_.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，求出四棱锥中各棱的长度，四棱锥外接球的球心在平面的射影为中点，得到为中点，作，得到，利用勾股定理得到关于的方程，解得的值，再求出半径的值，从而求出外接球的表面积.【详解】因为四边形为等腰梯形，故；因为,，故；取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心；设四棱锥外接球的球心
12、为，所以在平面的射影为，作于，则为中点，因为平面平面，平面平面所以平面，而平面，所以由，可得在平面中，作，则，由，可得，即，解得，所以，所以四棱锥外接球的表面积为.、故答案为：.【点睛】本题考查求四棱锥外接球的表面积，确定球心的位置，属于中档题.16.如图所示，四边形被线段切割成两个三角形分别为和，若，则四边形面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】设，在中，利用余弦定理，表示出，根据，得到，从而把的面积用表示，然后得到四边形面积关于的函数，从而得到其最大值.【详解】设，在中，由余弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以为等腰直角三角形，所以所以，所以当时，面积最大，最大值为.故答案为：【点睛
13、】本题考查余弦定理解三角形，三角形面积公式，辅助角公式，正弦型函数的最值，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意得到，根据是的等差中项，得到的值，从而得到的通项公式；（2）由（1）可知，利用等比数列的求和，得到，由恒成立，得到的取值范围.【详解】（1）因为数列是公差为的等差数列，所以，故，所以；所以数列是公比为3的等比
14、数列，因为是的等差中项，所以，所以，解得；数列的通项公式为； （2）由（1）可知，故数列是以1为首项，为公比的等比数列，因为恒成立，所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查等差中项的应用，求等比数列的通项，等比数列求和，属于简单题.18.某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙、丙两位同学从四种比赛中任选两种参与.（1）求甲、乙同时参加围棋比赛的概率；（2）记甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数为，
15、求的分布列及期望.【答案】（1）（2）见解析，2【解析】【分析】（1）甲、乙同时参加围棋比赛为相互独立事件，由于甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，则甲参加围棋比赛的概率为，乙同时参加围棋比赛的概率为，利用相互独立事件的概率乘法公式,计算即可.（2）已知甲同学必选“中国象棋”，则甲、乙、丙三人中选择“中国象棋”比赛的人数的可能取值为1，2，3，则乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为.分别求解，即可.【详解】（1）由题意可知，甲、乙同时参加围棋比赛的概率.（2）由题意可知，选择“中国象棋”比赛的人数的可能取值为1，2，3；乙或丙选择“中国象棋”比赛的概率为；的分布列为：123故所求期望.【点
16、睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的概率分布列及数学期望，属于中档题.19.如图，三棱锥中，分别为的中点，；连接，平面平面.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根面面垂直的性质定理可知底面，从而证明，根据题意以及线面垂直的判定定理可知，平面，再根据线面垂直的性质定理，证明即可.（2）以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，确定平面的法向量，平面的法向量，利用，求解即可.【详解】（1），平面平面平面平面，平面底面又底面，平面，平面平面平面（2）由（1）可知，底面，底面以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标
17、系，则由题意可知，即，平面，平面平面，即平面的法向量为设平面的法向量为，即，取，则.则二面角的余弦值为.【点睛】本题考查由线线垂直的证明以及求二面角的余弦值，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，点是椭圆上的点.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知斜率存在又不经过原点的直线与圆相切，且与椭圆交于两点.探究：在椭圆上是否存在点，使得，若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）根据题意列方程组， 求解即可.（2）假设在椭圆上存在点，使得.设直线，圆心到直线的距离等于半径1，可知，整理的，直线与椭圆联立得，设，则，根据，表示出点，代入椭圆得，求
18、解即可.【详解】（1）依题意，故.将代入椭圆方程中，可得.联立，解得故椭圆的标准方程为.（2）假设在椭圆上存在点，使得.依题意，设直线，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即整理得.当时，不合题意，舍去；当且时，得，把代入椭圆的方程得：.易知，圆在椭圆内，所以直线与椭圆相交，设，则，.因为，故，即的坐标为.又因为在椭圆上，所以，得.把代入得；因为，所以，即或，综上所述实数的取值范围为.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆位置关系问题，属于较难的题.21.已知函数.（1）若函数的图象在点处的切线的斜率为，求函数在上的最小值；（2）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围
19、.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求，导数的几何意义求解，利用导数求函数的最值，即可.（2）由题意可知，若使得关于的方程在上有两个解，则需在有两个解. 令，利用导数研究函数的极值与最值，令，求解即可.【详解】（1）由题意可知，则，即，故；令，即；当时，在上单调递减.当时，在上单调递增.因为，所以故函数在上的最小值为. （2）依题意，；若使得关于的方程在上有两个解则需在有两个解.令，当时，所以在上单调递增由零点存在性定理，在至多一个零点，不符合题意舍去 当时，令，则0单调递增极大值单调递减因为，所以要使在内有两个零点，则即可，即，又因为，所以综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题考查
20、利用导数研究函数的极值与最值，以及利用导数研究函数零点问题，属于较难的一道题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22.在平面直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；（2）将曲线向左平移2个单位，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的，得到曲线，求曲线上的点到直线的距离的最小值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）曲线的参数方程化简消参后得到普通方程，利用，对直线的极坐标方程进行化简，得到的直角坐标方程；（2）根据变换规则，得到
21、变换后的曲线的方程，写出其参数方程，从而得到曲线上任一点的坐标，利用点到直线的距离公式，结合正弦型函数的值域，得到最小值.【详解】（1）曲线的参数方程为（为参数）所以，两式平方后相加得，即曲线的普通方程为：.直线的极坐标方程为，即，因为，所以直线的直角坐标方程为：（2）曲线：向左平移2个单位，得到，再将曲线上的所有点的横坐标缩短为原来的得到，即曲线；所以曲线的参数方程为（为参数)，设曲线上任一点，则点到直线的距离为：则(其中)，当时，取最小值，为所以点到直线的距离的最小值为.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的转化，曲线方程的平移和伸缩，参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意得到，可以先确定，从而去掉绝对值，化一次不等式，得到解集；（2）分和，得到的分段形式，从而得到其最小值，然后根据恒成立，得到关于的不等式，解得的范围.【详解】（1）当时，不等式，即，因为，所以，所以由，得，解得，故不等式的解集为； （2）依题意，当，故，因为不等式恒成立，所以，解得；当时，故，因为不等式恒成立，所以，解得；综上所述，实数的值为.【点睛】本题考查含绝对值的不等式，求分段函数的最小值，不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于中档题.
